2025年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年湖北省武汉市高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知集合/={1,a],B={2,3,4},且NU3={1,2,3,4},则实数°取值的集合是（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2}D.{3}

2.（5分）已知△/BC的三个角N,B,C的对边分别是a,b,c,若3a=26,B=2A,则cos3=（）

771

AR——C_±D.-

161688

3.（5分）二项式（2«-2）8的展开式中的常数项为（）

A.1792B.-1792C.1120D.-1120

3

4.（5分）如图，A,5是两个形状相同的杯子，且5杯高度是Z杯高度的：，则5杯容积与4杯容积之比

4

最接近的是（）

A.1：3B.2：5C.3：5D.3：4

5.（5分）已知数列{斯卜则“斯_2+斯+2=2即（几之3,几WN*）”是“数列{即}是等差数列”的（）

A.充分不必烈条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.（5分）若0Vq<6Vl,c>l,则（）

A.cb<caB.logcQ>logcb

cc

C.sin—>sin-rD.ac<bc

ab

7.（5分）如图展示了一个由区间（0,1）到实数集R的映射过程：区间（0,1）中的实数/对应数轴上

的点如图1；将线段围成一个圆，使两端点，、8恰好重合（从N到3是逆时针），如图2；再

将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在》轴上，点/的坐标为（0,1）,如图3.图3中直线

第1页（共20页）

与X轴交于点N（m0）,则加的象就是力记作/（加）=机则下列说法中正确命题的是（）

1

A.心=1

B.f（x）是奇函数

C./（%）在定义域上单调递增

D.f（x）的图象关于歹轴对称

8.（5分）已知点尸（-c,0）（c>0）是双曲线区一3=1的左焦点，过尸且平行于双曲线渐近线的直

线与圆x2+f=c2交于点P,且点尸在抛物线/=4CX上，则该双曲线的离心率是（）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）已知复数Z1,Z2满足：Z1为纯虚数，|Z2-1|=2|Z2-4|,则下列结论正确的是（）

A.z：=一|z/2

B.3W|Z2|W7

C.\zi-Z2|的最小值为3

D.|zi-z2+3z］的最小值为3

（多选）10.（6分）已知函数/（x）=|1-2sin2x|,下列结论正确的是（）

A.f（X）的最小正周期为TT

B.函数y=/（X）的图象关于直线比=一左对称

C.函数/（X）在（今，著）上单调递增

D.方程/（X）=1在［-11,TT］上有7个不同的实根

（多选）11.（6分）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始

终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个

球的相交部分围成的几何体，若用棱长为4的正四面体作勒洛四面体，如图4,则下列说法正确

第2页（共20页）

的是（)

A.平面48c截勒洛四面体所得截面的面积为8兀-8/

47r

B.记勒洛四面体上以C,。为球心的两球球面交线为弧N5,则其长度为百

C.该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4

D.该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）己知"g=2,则Ina2-Inb2—.

13.（5分）已知直线/：办+力-3=0经过点（a,6-2）,则原点到点尸（a,b）的距离可以

是.（答案不唯一，写出你认为正确的一个常数就可以）

14.（5分）已知a,6eR,若函数f（x）=|asinx+6cosx-l|+|6sinx-acosx|的最大值为5,则/+庐=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）如图，在四棱锥尸-48CD中，底面/BCD为菱形，以_L平面48cD,/C与3D相交于点E,

点尸在尸C上，EF1PC,AC=4V2,BD=4,EF=2.

（1）证明：。尸_L平面尸2C；

（2）若以与平面所成的角为a,平面为。与平面P5C的夹角为为求a+0.

16.（15分）某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过

程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性

积分数据，整理如下表：

科普测试成绩X科普过程性积分人数

第3页（共20页）

904W100410

80Wx<903a

700<802b

600<70123

0«6002

(I)当a=35时，

(/)从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；

(ii)从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分

之和，估计X的数学期望£(X)；

(II)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为上述100

名学生科普测试成绩的平均值记为七.若根据表中信息能推断HW72恒成立，直接写出。的最小值.

1

17.(15分)已知函数/(无)=灿—尸.

(I)求/(x)的单调区间；

(II)若函数g(x)=\f(x)+e~2a\,xE(0,+°°)存在最大值，求a的取值范围.

18.(17分)已知圆月J(久+I/+y2=16,直线4过点加(1,0)且与圆出交于点2,C,中点为

D,过山。中点£且平行于的直线交4c于点尸，记尸的轨迹为「

(1)求「的方程；

(2)坐标原点。关于小，血的对称点分别为小，比，点/1，关于直线y=x的对称点分别为C1，

C2,过小的直线/2与「交于点M,N,直线3W相交于点。.请从下列结论中，选择一个正确

的结论并给予证明.

①△Q21C1的面积是定值；②△。囱历的面积是定值：③△0CC2的面积是定值.

19.(17分)如果无穷数列｛斯｝满足“对任意正整数3/(右勺)，都存在正整数左，使得以=斯・/”，则称

数列｛斯｝具有“性质尸”.

(1)若等比数列｛即｝的前〃项和为S”且公比《＞1，q=12,a=120,求证：数列｛斯｝具有“性质尸”；

(2)若等差数列｛4｝的首项加=1,公差deZ,求证：数列｛4｝具有“性质尸”，当且仅当deN；

(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列｛5｝具有“性质尸”，且2%512,4%IO.四个数中恰有两

个出现在数列｛』｝中，求ci的所有可能取值之和.

第4页(共20页)

2025年湖北省武汉市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知集合/={1,a},8={2,3,4},且NU3={1,2,3,4},则实数a取值的集合是（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2}D.{3}

【解答】解：：集合/={1,a},B={2,3,4},且NU3={1,2,3,4）,

，实数。取值的集合为{2,3,4）.

故选：B.

2.（5分）已知△/8C的三个角/,B,C的对边分别是a,b,c,若3a=2b,B=2A,则cos3=（）

7711

A.一B.C.一,QD.一

161688

【解答】解：因为3a=2b,B=2A,

由正弦定理可得：3siiL4=2siriS=2sin24=4sirUcos/,

因为ZE（0,n）,所以sig>0,

所以3=4cosZ,§9cosA=彳，

所以cosB=cos2A=2COS2A-1=2X（4/—1=g.

故选：D.

3.（5分）二项式（2«-白"的展开式中的常数项为（）

A.1792B.-1792C.1120D.-1120

【解答】解：因为7计1=C£2后8-r.（__i）r*T?-rC^-r,

令4-r=0,得r=4,

所以二项式展开式中的常数项为苒=（—1）4x2%3=1120.

故选：C.

3

4.（5分）如图，A,8是两个形状相同的杯子，且2杯高度是/杯高度的：，则3杯容积与/杯容积之比

4

最接近的是（）

第5页（共20页）

A.1：3B.2：5C.3：5D.3：4

3

【解答】解：因为a5是两个形状相同的杯子，且5杯高度是4杯高度的了，

4

所以底面半径比也是3

4

所以两个杯子的底面积之比为SB：S4=(|)2,

所以B杯容积与A杯容积之比:B?=(7)2x7-77~0.4=25,

SAhj\4464

故选：B.

5.(5分)已知数列｛即｝,则“an_2+册+2=2an(n>3,neN*)”是“数列｛斯｝是等差数列”的()

A.充分不必烈条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解答】解：判断充分性：因为。"-2+即+2=2。"，所以。"+2-。"=即-。"-2,

令n=2k(柘N*),则。2k+2-。2左=。2左-。2旌2=”-=。4-。2,所以数列｛斯｝的偶数项成等差数列，

令n=2k-\(左6N*),则。2斤+1-◎-1=。2屋1-02旌3="・=。3-所以数列｛叫的奇数项成等差数列，

但数列｛斯｝不一定是等差数列，如：1,1,2,2,3,3；

所以“an_2+On+2=2an(n>3,nGN*)”不是“数列｛曲｝为等差数列”的充分条件；

再判断必要性：若数列｛斯｝是等差数列，则2册=a—+an+1=味产+厮+产2=%+竽+竽,

所以2an=an.2+an+2,所以“％-2+册+2=20noi>3,nGN*)”是“数列｛斯｝为等差数列”的必要条

件；

综上，“即-2+册+2=2an(n>3,neN*)”是“数列｛斯｝为等差数列”的必要不充分条件.

故选：B.

6.(5分)若0<a<6<l,c>l,贝！］()

ba

A.c<cB.logciz>logcZ>

第6页(共20页)

rc

C.sin—>sin-rD.a<bc

ab

【解答】解：对于4,・・・c>l,・,•指数函数在R上单调递增，

又,：a〈b,：9<乱故4错误；

对于5,・・7>1,・,•对数函数y=logd在（0,+8）上单调递增，

又.•.logcQVlogcb,故5错误；

9

对于C,：0<a<b<lfc>l,

cc

>—>1,

ab

cc

\,正弦函数y=sinx在（1,+°°）上不具有单调性，.•.无法判断sin-与sin：的大小，故C错误；

对于。，：c>l,...幕函数y=x。在（0,+8）上单调递增，

又：.ac<bc,故。正确.

故选：D.

7.（5分）如图展示了一个由区间（0,1）到实数集R的映射过程：区间（0,1）中的实数加对应数轴上

的点如图1；将线段围成一个圆，使两端点/、2恰好重合（从/到2是逆时针），如图2；再

将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点N的坐标为（0,1）,如图3.图3中直线

与x轴交于点N（小0）,则加的象就是"，记作/（加）=〃.则下列说法中正确命题的是（）

1

A.心=1

B./（x）是奇函数

C./（%）在定义域上单调递增

D.f（x）的图象关于y轴对称

【解答】解：由题意知，/（：）=-1,故/错;

又：函数/（x）的定义域为（0,1）,不关于原点对称,

函数/（x）是非奇非偶函数，故8、D错.

当x从0-1变化时，点N从左边向右边移动，其对应的坐标值渐渐增大,

第7页（共20页）

故/（x）在定义域上单调递增，所以C正确.

故选：C.

22

8.（5分）已知点尸（-C,0）（c>0）是双曲线x区一v言=1的左焦点，过尸且平行于双曲线渐近线的直

线与圆x2+f=c2交于点P,且点尸在抛物线，=4cx上，则该双曲线的离心率是（）

【解答】解：如图，设抛物线炉=4cx的准线为/,作尸。，/于0,

设双曲线的右焦点为P,P（x,y）.

由题意可知歹P为圆/+产=02的直径，

:.PF±PF,且tan/尸FP=J,\FFf|=2c,

y2=4c%①

x2+y2=&②,

{x+caJ

将①代入②得f+4cx-c2=0,

则x—-2c±V5c,

即》=(V5-2)c,(负值舍去)

代入③，即y=(信”叱再将y代入①得，当=:葭=e2-1

aCL(Y5-1)

即e2=缪1

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

第8页（共20页）

（多选）9.（6分）已知复数zi,Z2满足：幻为纯虚数，匕2-1|=20-4］,则下列结论正确的是（）

A.Z1=_忆1|2

B.3W|Z2|W7

C.|ZLZ2|的最小值为3

D.0-Z2+34的最小值为3

【解答】解：；zi为纯虚数，，可设zi=6i（bW0）,二2：=-62=一忆1|2,.•.选项力正确；

对2：设Z2=m+〃in£R）,V\z2-1|=2|Z2-4|,

则（加-1）2+n2=4（m-4）2+4n2,即（m-5）2+n2=4,

则Z2所对应点的轨迹是以（5,0）为圆心，以2为半径的圆，

；.3W|z2|W7,...选项8正确；

对C：；zi为纯虚数，；.zi对应点在y轴上（除去原点），

Z2所对应点的轨迹是以（5,0）为圆心，以2为半径的圆，

.•m1-Z2|的取值范围为（3,+8）,.•.团-Z2|无最小值，选项C错误；

对D：|zi-Z2+3Z|=|（b+3）i-Z2\,

表示点（0,6+3）到以（5,0）为圆心，以2为半径的圆上的点的距离，

：（6+3）i（6W0）为纯虚数或0,（0,6+3）在y轴上（除去点（0,3））,

当6=-3时0-Z2+3”取得最小值3,；.选项D正确.

故选：ABD.

（多选）10.（6分）已知函数/G）=11-2sin2x|,下列结论正确的是（）

A./（X）的最小正周期为TT

B.函数y=/（x）的图象关于直线％=-$寸称

C.函数/（x）在（左，著）上单调递增

D.方程/（x）=1在［-豆，IT］上有7个不同的实根

1

-

1—2sin2x,2

【解答】解：由题意，函数/（%）=|1-2sin2x\=­1

-

2sin2x—1/2

作出了（X）在［-TT,Tl］上的图象，

将y=2sin2x的图象向下平移1个单位可得到y=2sin2x-1的图象,

将所得图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，

如图所示：

第9页（共20页）

由图可知/（x）的最小正周期为m故4正确;

曲线＞=/（%）关于直线第=-亨对称，故5正确；

函数/（X）在G，碧）上单调递减，则C错误；

方程/（X）=1在［-TT,TT］上有7个不同的实根，所以。正确.

故选：ABD.

（多选）11.（6分）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始

终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个

球的相交部分围成的几何体，若用棱长为4的正四面体/BCD作勒洛四面体，如图4,则下列说法正确

的是（）

A.平面48c截勒洛四面体所得截面的面积为8兀-8/

4TT

B.记勒洛四面体上以C,。为球心的两球球面交线为弧N3,则其长度为百

C.该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4

D.该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为4

【解答】解：对于/,平面/8C截勒洛四面体所得截面如图甲，

第10页（共20页）

它的面积为三个半径为4,圆心角为60°的扇形的面积减去两个边长为4的正三角形的面积,

即3x；x3x42—2x空x42=8兀一8百，故/正确;

对于2,如图乙，取CD中点G,

在△N3G中，AG=BG=2V3,AB=4,记该勒洛四面体上以C,D为球心的两球交线为弧N3,

则该弧是以CD的中点G为圆心，以2遮为半径的圆弧，

设圆心角为//08=a,则cosa=（2f）'可知a-2b7”兀，

ZXZV3XZV3。>

4TT

所以弧长不等于石，故8错误；

对于C,如图丙，设弧的中点是M,线段的中点是N,设弧CO的中点是X,线段。的中点

是G,

丙

则根据图形的对称性，四点M,N,G,"共线且过正四面体/BCD的中心O,则MG=GA=NH=2®

NG=siAG2-AN2=J（2b）2-22=2&,MN=GH=2用-2VLMH=4百-2&,

即勒洛四面体表面上任意两点间距离可能大于4,最大值为4H-2近，故C错误；

第11页（共20页）

对于。，勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图乙，其中点£为该球与勒洛四面

体的一个切点，

由对称性可知。为该球的球心，内半径为连接易知三点共线，

设正四面体4BCD的外接球半径为心如图丁，

则由题意得：正四面体N3C。的高，8。1=竽，40=B0”■—(竽尸=竽,

则一r)2+(^^)?=72,解得：T=*),所以BE=4,OB=r=V6,内半径0E=4-e，故。

正确.

故选：AD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)已知"杯=2,则Ina2-Inb2^4.

【解答】解：Ina2-lnb2=2lna-2lnb=2(Ina-Inb)=2呜=4.

故答案为：4.

13.(5分)已知直线/：ax+力-3=0经过点(a,6-2),则原点到点P(a,b)的距离可以是2(答案

不唯一).(答案不唯一，写出你认为正确的一个常数就可以)

【解答】解：由于直线/：ax+6y-3=0经过点(a,6-2),

即cr+b(.b-2)-3=0,

即a2+Cb-1)2=4,

故P(a,b)在以(0,1)为圆心，2为半径的圆上，

由于02+(0-1)2<4,

即原点在该圆内，

故|。尸性[1,3],

则原点到点P(a,6)的距离可以是2.

故答案为：2(答案不唯一).

第12页(共20页)

14.(5分)已知Q,Z?GR,若函数/(x)=|Qsinx+bcosx-l|+|6sinx-acosx|的最大值为5,则。2+庐=§.

【解答】解：设as讥％+bcosx=+匕2s讥(％+、),其中cosg=//,下sin(p=,

贝！Jbs讥％—acosx=Va2+b2(sinxsin(p—cosxcos(p')=—Va2+62cos(x+g),

.*./(%)=|Va2+b2sin(x+g)—1|+|Va2+b2cos(x+(p)|,

当sin(x+cp)取负值时，/(x)取得最大值，

.*./(x)达到最大值时,/(%)=—Va2+b2sin(x+g)+1+Va2+h2|cos(x+夕)|

=—Va2+b2[sin(x+9)±cos(%+(p~)]+1=—Va24-Z)2•V2(^-sin(x+@)±?cos(%+@))+1

=—Va2+h2•y/2sin(x+0±给+1,

当+0±*)=-1时，/(x)max=J2(Q2+按)+1=5,解得Q2+62=8.(解题过程中同时取“+”

或“_

sin(x+(p)是负值，x+(p的终边在x轴下方，即最大值能取到.

故答案为：8.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)如图，在四棱锥尸-45CZ)中，底面45CQ为菱形，B4_L平面/BCD,4c与她相交于点E,

点尸在尸。上，EF工PC,AC=40,BD=4,EF=2.

(1)证明：J_平面尸5C；

(2)若与平面9所成的角为a,平面与平面P5C的夹角为由求a+仇

【解答】解：（1）证明：・.•底面45C。是菱形，

•・,"_]_平面/5C。，且BQu平面Z5C。，

C.PALBD.

又,.・4CriB4=/,AC,Hu平面HC,

・・・瓦）_L平面B4C,

•・・PCU平面Q4C,

第13页（共20页）

J.BDLPC,又•：EF_LPC,且M,8Du平面8。尸，EFDBD=E,

：.PCI.平面BDF,'：。尸u平面BDF,

：.PCLDF,

,:EF=ED=EB=2,

:.NDFB=90°,即_L冲，XVPC,PBu平面尸8C,且PCCF8=尸，

二。凡L平面PBC.

(2)以£为原点，以EA,£8所在直线分别为x轴、y轴，过点E且平行为的直线为z轴建立空间直

角坐标系，如图所示，

则力(2/，0,0),C(-2V2,0,0),D(0,—2,0),

：EF=2,AC=4V2,BD=4,

：.EC=2V2,又,：EFLPC,

...在△FE'C中由勾股定理得FC?=EC2一EF2=(2V2)2-22=4,

即FC=2,乙FEC=%

TT_

.,.F(-V2,0,V2).:.DF=(-2,V2),力。=(—2VL—2,0),

'：EF1PC,EF=2,EC=2^2,

：.ZACP=45°,

：.PA=AC=4V2,；.ZAPC=45°,

:尸C_L平面BDF,

与平面出加所成的角为a=90°-ZAPC=45°,

平面PBC,

9是平面PBC的一个法向量，

:以_L平面ABCD,平面BID,

平面刃D_L平面ABCD,

第14页(共20页)

设71=(%,y,0),只需九149,则Til平面FID,

T->

则九yf0)(一2鱼，-2,0)=-2^2x-2y=0,

->Tr—r—

\n-DF\3V2

令72=(-LV2/0),则COS0=

\n\-\DF\后2姓2

.'.p=30°，

.\a+p=45°+30°=75°.

16.（15分）某学校为提升学生的科学素养,要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过

程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性

积分数据，整理如下表:

科普测试成绩X科普过程性积分人数

90WxW100410

804V903a

70«802b

60«70123

0«6002

（I）当。=35时，

（力从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率;

（ii）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分

之和，估计X的数学期望E（X）；

（II）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为H，上述100

名学生科普测试成绩的平均值记为七.若根据表中信息能推断七恒成立，直接写出。的最小值.

【解答】解：（I）当。=35时，

（力由表可知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为10+35=45,

45

所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为一；=0.45,

所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45；

（?7）根据题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3

357

分的频率为------=—,

35+109

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所以从该校学生活动成绩不低于80分的学生中随机抽取一名,

7

这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为

同理，从该校学生活动成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的

概率估计为金

y

由表可知X的所有可能取值为6,7,8,

P(X=6)=Vx/=含,P(X=7)=2x[x|=|f,P(X=8)=|x|=±,

所以X的数学期望E(X)=6x含+7xj|+8xA=等：

(II)7.

1

17.(15分)已知函数/(%)=

(I)求/(x)的单调区间；

(II)若函数g(x)=[f(x)+/24xG(0,+8)存在最大值，求〃的取值范围.

1

【解答】解：(I)因为/(X)=炉/一2"

111

所以r(x)=ea-2x-^ea~2x=ea-2x

令，(x)=0,得x=2,

所以在(-8,2)上，(、)>0,/(%)单调递增，

在(2,+8)上，(x)<0,f(x)单调递减，

所以函数/(x)的单调递增区间为(-8,2),单调递减区间为(2,+8).

(II)令h(x)=f(x)+e2Q,则h'(x)=f(x),

由(I)得，函数〃(x)得单调递增区间为(-8,2),单调递减区间为(2,+8),

所以〃(x)在x=2处取得最大值%(2)=2eaX+e2a,

1

所以当x>2时，h(x)=x・e"—2'+e2a>e2a=h(0),

当0VxV2时，h(x)>h(0),

即当在(0,+8)时，he(h(0),h(2)],

所以g(x)=\h(x)|在(0,+°°)上存在最大值的充分必要条件是|2・e"-1+/2H邦

令m(x)="2%,贝!J冽，(、)2,

因为疗(x)=^~1+e2>0,

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所以加(X)是增函数，

因为“7(-1)=e~2-e~2=0,

所以加(a)—eax+e的充要条件是a，-1,

所以a的取值范围为［-1,+8).

18.(17分)已知圆月J(久+I/+y2=16,直线/i过点在(1,0)且与圆4交于点8,C,8c中点为

D,过加。中点£且平行于小。的直线交NC于点尸，记尸的轨迹为r

(1)求「的方程；

(2)坐标原点。关于小，血的对称点分别为5,B2,点Ai,在关于直线y=x的对称点分别为Ci,

C2,过小的直线/2与「交于点”，N,直线3W相交于点。.请从下列结论中，选择一个正确

的结论并给予证明.

①△Q21C1的面积是定值；②△。囱历的面积是定值：③△。。。2的面积是定值.

【解答】解：(1)由题意得，Ai(-1,0),A?(1,0).

因为。为8C中点，

所以4LD_LBC,BPA1DJ.A2C,

又PE〃AiD,

所以PE_L/2C,

又E为42C的中点，

所以|以2|=|尸C|,

所以陷1|+以2|=|以i|+|PC|=Miq=4>|/iZ2|,

所以点P的轨迹r是以小，/2为焦点的椭圆(左、右顶点除外).

设r：.+方=l(x#±a)，其中a>6>0,a2-b2—^.

则2a=4,a=2,c=l,b=Va2—c2=V3.

故/：羊+号=l(xK±2).

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(2)结论③正确.下证：△0C1C2的面积是定值.

由题意得，Bi(-2,0),82(2,0),Ci(0,-1),C2(0,1),且直线，2的斜率不为0,

可设直线/2：x—my-1,M（xi，yi）,N（X2，＞2）,且xiW±2,工2。±2.

叫43—，得（3〃/+4）y2-6my-9—0,

（%=my—1

所以乃+为=篇？y/2=第为，

所以2myiy2=-3（yi+y2）-

直线51"的方程为：y=2（%+2）,

直线82N的方程为：y=^2（X-2）,

331

得x+2=及（％1+2）=及（犯为+1）=一月及+、2=-5（,1+丫2）+及=一/1一/2=1

x—2月（%2—2）yi（my2~3）血丫/213yl—永月+及）—3yi-^yi-^yz3

解得X=-4.

故点0在直线x=-4,

所以。到CC2的距离d=4,

11

因此△0C1C2的面积是定值，为5\CrC2\-d=-x2x4=4.

19.(17分)如果无穷数列｛即｝满足“对任意正整数37(右勺)，都存在正整数左，使得以=。/即”，则称

数列｛即｝具有“性质尸”.

(1)若等比数列｛斯｝