3.5 确定二次函数的表达式 同步练习

第三章二次函数5确定二次函数的表达式基础过关全练知识点1设一般式确定二次函数的表达式1.双语学校组织学生在山坡上进行滑雪训练，某学生从山坡滑下，滑行距离s(单位：m)与滑行时间t(单位：s)之间的关系可以近似地用二次函数来表示，现测得一组数据，如下表所示，则二次函数的表达式为.

滑行时间t/s0123…滑行距离s/m051427…2.如图，反比例函数y1=kx(x<0)与二次函数y2=-x2+bx+c的图象交于点A(-6，1)和点B(-2，3)(1)求这两个函数的表达式；(2)当x<0时，直接写出不等式kx<-x2+bx+c的解集3.(2022山东青岛崂山期末)小颖同学想用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，取自变量x的6个值，分别计算出对应的y值，如表：x…-2-10123…y…112-125m…由于粗心，小颖算错了其中的一个y值.(1)求该二次函数的表达式；(2)请你指出这个算错的y值；(3)通过计算求m的值.[变式1]已知一条抛物线经过(-2，6)，(2，-4)，(3，1)三点，求这条抛物线的表达式.[变式2](2023江西赣州定南期中)在如图所示的平面直角坐标系中，已知正方形ABCD的边长为4，原点O为正方形ABCD的中心，且D(2，2)，AD与y轴交于点E，CD与x轴交于点F.(1)求经过B，E，F三点的抛物线的表达式；(2)求(1)中所求抛物线的顶点坐标.知识点2设顶点式确定二次函数的表达式4.(2022四川广安中考)如图所示的是抛物线形拱桥，拱顶离水面2米，水面宽6米，则当水面下降米时，水面宽8米.

5.如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，在栅栏的跨径AB之间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为米.

6.(2021江苏盐城中考)已知抛物线y=a(x-1)2+h经过点(0，-3)和(3，0).(1)求a，h的值；(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式.7.(2022北京中考)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台.运动员起跳后的飞行路线可以看做是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x-h)2+k(a<0).某运动员进行了两次训练.(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x-h)2+k(a<0)；(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04×(x-9)2+23.24.记该运动员第一次训练时着陆点的水平距离为d1(m)，第二次训练时着陆点的水平距离为d2(m)，则d1d2(填“>”“=”或“<”).

知识点3设交点式确定二次函数的表达式8.(2022山东泰安东平期中)抛物线的顶点坐标为(1，-4)，且与x轴交于两点，已知这两点相距4个单位，则该抛物线的表达式为.

9.(2022湖北荆门中考节选)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-2，0)，B(4，0)，D(0，-8).求抛物线的解析式及顶点坐标.10.(2021山东烟台莱州期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA=2OC=8OB.点P是第三象限内抛物线上的一动点.(1)求此抛物线的表达式；(2)若PC∥AB，求点P的坐标.能力提升全练11.(2022山东泰安中考)抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x-2-101y0466下列结论不正确的是()A.抛物线的开口向下 B.抛物线的对称轴为直线x=1C.抛物线与x轴的一个交点的坐标为(2，0) D.函数y=ax2+bx+c的最大值为2512.(2021浙江杭州中考)在“探索函数y=ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)，D(2，3).同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为()A.52 B.32 13.(2023山东泰安东平期中)根据下列条件求二次函数的解析式：(1)二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点；(2)已知抛物线的顶点坐标是(2，3)，并且经过点(0，-1)；(3)抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且经过点A(3，0).14.(2022浙江湖州中考)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上.抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点D.(1)①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值.(2)若点P是边BC上的一个动点，连接AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M(如图2所示).当点P在BC上运动时，点M也随之运动.设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值. 图1 图2素养探究全练15.(2023山东烟台龙口期末改编)如图，在平面直角坐标系内，抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C.过点A的直线y=x+2与抛物线交于点E，且点E的横坐标为6.点P为第四象限内抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的表达式；(2)在点P的运动过程中，是否存在点P使得△AEP的面积最大?若存在，求出这个最大值和点P的坐标；若不存在，说明理由.

第三章二次函数5确定二次函数的表达式答案全解全析基础过关全练1.s=2t2+3t解析∵当t=0时，s=0，∴设二次函数的表达式为s=at2+bt(a≠0)，将(1，5)，(2，14)代入，得a∴二次函数的表达式为s=2t2+3t.2.解析(1)将A(-6，1)代入y1=kx，得k=-6所以反比例函数的表达式为y1=-6x将A(-6，1)和B(-2，3)代入y2=-x2+bx+c，得1=−36−6所以二次函数的表达式为y2=-x2-7.5x-8.(2)当x<0时，不等式kx<-x2+bx+c的解集为-6<x<-23.解析(1)由题中表格可知，对称轴为直线x=0，∴x=2或x=-2时，对应的y值有一个是错误的.将点(0，-1)，(1，2)，(-1，2)代入y=ax2+bx+c，得c∴y=3x2-1.(2)当x=2时，y=3×22-1=3×4-1=11.∴算错的y值为5.(3)当x=3时，m=3×32-1=3×9-1=26.[变式1]解析设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，将(-2，6)，(2，-4)，(3，1)分别代入，得6=4所以这条抛物线的表达式为y=32x2[变式2]解析(1)∵正方形ABCD的边长为4，∴AD=AB=BC=CD=4.又∵原点为正方形ABCD的中心，D(2，2)，∴B(-2，-2)，E(0，2)，F(2，0)，设所求抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，将B，E，F三点的坐标代入，得4∴抛物线的表达式为y=-34x2(2)∵y=-34∴抛物线的顶点坐标为134.14解析以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，如图，由题意可得AO=OB=3米，OC=2米，∴A的坐标为(-3，0)，C的坐标为(0，2).设抛物线的解析式为y=ax2+2(a≠0).把A(-3，0)代入得9a+2=0，解得a=-29∴抛物线的解析式为y=-29x2+2当x=4时，y=-29×16+2=−149，∴当水面下降149米时，5.0.2解析如图，以点C为原点，OC所在直线为y轴建立直角坐标系，则可设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0)，由题意可知抛物线经过B(0.6，0.36)，∴0.36=0.36a，∴a=1.∴抛物线的解析式为y=x2.当x=-0.4时，y=0.16.∴EF=0.36-0.16=0.2(米).6.解析(1)将点(0，-3)和(3，0)代入y=a(x-1)2+h，得−3=(2)由(1)知，该抛物线的表达式为y=(x-1)2-4，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的新的抛物线的表达式为y=(x-2)2-2，即y=x2-4x+2.7.解析(1)由题表中的数据可知该抛物线的顶点坐标为(8，23.20).∴h=8，k=23.20，该运动员竖直高度的最大值为23.20m.故该抛物线的解析式为y=a(x-8)2+23.20，将(0，20.00)代入，得a(0-8)2+23.20=20.00，解得a=-0.05，∴y=-0.05(x-8)2+23.20.(2)<.提示：第一次训练时，y=-0.05(x-8)2+23.20；第二次训练时，y=-0.04(x-9)2+23.24.故第二次飞行路线对应的抛物线开口更大，顶点更高，对称轴距y轴更远，由此可知d1<d2.8.y=x2-2x-3解析∵抛物线的顶点坐标为(1，-4)，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵抛物线与x轴的两交点相距4个单位，∴两交点的坐标分别为(-1，0)，(3，0).设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0)，把(1，-4)代入，得a×2×(-2)=-4，解得a=1.∴抛物线的表达式为y=(x+1)(x-3)，即y=x2-2x-3.9.解析因为抛物线y=ax2+bx+c过点A(-2，0)，B(4，0)，所以y=ax2+bx+c=a(x+2)(x-4).将D(0，-8)代入，得-8=-8a，解得a=1.所以y=(x+2)(x-4)=x2-2x-8，即抛物线的解析式为y=x2-2x-8.因为y=x2-2x-8=(x-1)2-9，所以抛物线的顶点坐标为(1，-9).10.解析(1)把x=0代入y=ax2+bx-2，得y=-2，∴点C的坐标为(0，-2).∵OA=2OC=8OB，∴点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为12∴抛物线的表达式为y=a(x+4)x−将C(0，-2)代入，得-2=-2a，解得a=1.故抛物线的表达式为y=(x+4)x−12(2)∵抛物线的对称轴为直线x=-74，PC∥AB，∴点P，C的纵坐标相同，点P的横坐标为-7∴点P的坐标为−7能力提升全练11.C解法一：利用草图判断.根据题中表格给出的4个点的坐标，画出如图所示的草图.A项，由草图可知抛物线的开口向下，故A项中结论正确；B项，由(0，6)，(1，6)两点的纵坐标相同，可判断抛物线的对称轴为直线x=12，故B项中结论正确C项，由点(-2，0)及抛物线的对称轴为直线x=12，可判断抛物线与x轴的一个交点的坐标为(3，0)，故C项中结论错误D项，∵抛物线与x轴的两交点的坐标分别为(-2，0)，(3，0)，∴表达式为y=a(x-3)(x+2)，把(0，6)代入，得6=-6a，解得a=-1，∴y=-(x-3)(x+2)=-x2+x+6=-x−122+故D项中结论正确.故选C.解法二：利用表达式判断.由题中表格可得，4∴y=-x2+x+6=-x−122+25易知A，B，D项中结论都正确，C项中结论错误.故选C.12.A由题图可知，经过点A，B，D的二次函数的图象开口向上，a>0；经过点A，B，C的二次函数的图象开口向上，a>0；经过点B，C，D的二次函数的图象开口向下，a<0；经过点A，D，C的二次函数的图象开口向下，a<0.因此只需比较图象经过点A，B，D和A，B，C的二次函数的a值即可.把A(0，2)，B(1，0)，D(2，3)代入y=ax2+bx+c得，c=2,把A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)代入y=ax2+bx+c得，c=2,∵52>56，∴a的值最大为13.解析(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，把(-1，10)，(1，4)，(2，7)分别代入，得a故二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.(2)根据题意，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3(a≠0)，∵抛物线经过点(0，-1)，∴-1=a(0-2)2+3，解得a=-1.∴y=-(x-2)2+3=-x2+4x-1.∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-1.(3)解法一：利用一般式求解.∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且经过点A(3，0)，∴−∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.解法二：利用交点式求解.∵点A(3，0)关于直线x=1的对称点为点(-1，0)，∴y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3.∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.14.解析(1)①∵正方形OABC的边长为3，∴点A，B，C的坐标分别为(3，0)，(3，3)，(0，3).②把A(3，0)，C(0，3)分别代入y=-x2+bx+c，得−9+3(2)由题意得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，∴△ABP∽△PCM，∴ABPC=BPCM整理，得n=-13m2+m即n=-13∴当m=32时，n的值最大，最大值是3素养探究全练15.解析(1)在y