2024-2025学年黑龙江省哈尔滨某中学高三（上）开学数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨九中高三（上）开学

数学试卷（8月份）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={x|log2XW1}，B=[y\y=2x,x<2},则（）

A.2UB=BB.AVJB=AC.XnB=BD.AC（CRB）=R

2.下列说法正确的是（）

A."a<b”是“工>的必要不充分条件

ab

B.“％>0”是“x>2”的充分不必要条件

C.若不等式a/+人％+。>0的解集为则必有。<0

D.命题“三16R,使得久2+1=0”的否定为“V%gR,使得%2+1H0”

3.已知函数/（%）满足/（%）=fr（^）sinx-cosx,求f（%）在％=q的导数（）

A.<2+1B.72-1C.-2D.空C

4.函数/（久）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）

xsinx+x2

A./(%)=

kl+i

xsinx-^-x

C./(x)=

kl+i

5.已知函数八>）=£“一1）”广9-3。，久<2,的值域为凡则实数0的取值范围为（）

A.(2,3]B.(1,2]C.(1,3]D.[2,+oo)

6.定义在R上的奇函数/(%),满足f(2-％)=/(%),当第£[0,1]时，/(%)=log2(x+2)+a,若/(15)=

3/(5)+b,则a+b=()

A.3—310gB.4—3/O^2C.3—4ZO^2D.4—4Zo^2^

7.若函数/（%）=+4%一2m工有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）

A.(0,2)B.(0,1)C.(-oo,1)D.(2,+oo)

8.已知函数/(%)=彳g(%)=l%(%-2)1，若方程f(g(%))+-a=o的所有实根之和为4,则

实数a的取值范围是()

A.(1,+oo)B.[1,+co)C.(-oo,1)D.(-oo,1]

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知正数久，y满足x+2y=L则下列说法正确的是()

A.孙的最大值为:B./+4y2的最小值为,

C.，三+J下的最大值为2肩口，+；的最小值为7+2，石

10.已知函数f(x)=等,g(x)=自若存在/e(0,+8),X2ER,使得f(久1)=g®)=缘<0)成立，则

下列结论正确的是()

A.%1+久2<1B.lnxr=%2

Cg)2d的最大值为/Dg)2d的最大值为最

11.对于任意实数％,y,定义运算“㊉"%㊉y=|%-y|+%+y,则满足条件a㊉b=b㊉c的实数a,

b,c的值可能为()

0,3

A.a=-log050.3,b=O.4,c=log050.4

03

B.a=O.4,b=log050.4,c=—log050.3

C.a=0.09,b=费;,c=In学

oiio

D.a=质f，b=In—,c=0.09

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

口.已知函数〃%)=£"+2),则一.

13.已知曲线f(%)=xex~r+1与直线y=k%相切，则k=.

14.已知函数/(%)的定义域为(0,+8),为其导函数，若V%c(0,+8),/(X)>[/(x)-xf(x^lnx,则

不等式/(%)(e*T-1)>0的解集是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/(%)=4%+a•2%.

(1)若a=-5,求不等式/(x)W-4的解集；

(2)若)€[-2,2]时,/(久)的最小值为-1,求a的值.

16.(本小题15分)

某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时

间t之间的关系满足如图所示的曲线.

当t6(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当te[14,45]时，曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0

且aH1)图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳.

(1)试求p=/(t)的函数关系式；

(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由.

17.(本小题15分)

已知函数/'(x)=x-|ax2-In(%+1),其中实数a>0.

(I)求/。)在尤=。处的切线方程；

(II)若/(尤)在[0,+8)上的最大值是0,求a的取值范围；

(III)当a=0时，证明:/(x)>x-ex-1.

18.(本小题17分)

已知/(久)是定义在区间上的奇函数，且f(l)=l,若m、ne[-1,1],w+nKO时，有"%;⑺>

0.

(1)证明函数/(%)在[-1,1]上单调递增；

(2)解不等式“。出。+j))<f(|)；

(3)若</一2就+1对所有与，x2e[-1,1],ae[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围.

19.(本小题17分)

已知函数/'(%)=alnx,其中Q>0.

(1)令g(%)=/(x)-祟，讨论g(%)的单调性；

(2)若对任意两个不相等的正实数小，n,均有百方+竽>外,第;⑺,求实数a的取值范围.

参考答案

1.71

2.C

3.D

4.4

5.B

6.C

7.A

8.C

9.ABD

10.ABD

11.BD

1iX2-—16

13.2

14.(1,+oo)

15.解:(1)当a=—5时,不等式/(x)W—4即为4工一5・2方+430,

所以(2》—1)(2上-4)<0,

则有1<2X<4,贝U04久W2,

故不等式f(x)<-4的解集为[0,2]；

1

(2)令t=2X,xG[—2,2]则t6[7,4],

fq

f(x)=g(t)=t2+at开口向上，对称轴方程为t=-p

①当《<3，即a>T时，gOm讥=g(3)=2+3=T,则a=_q,不符合题意；

②当;《一344,即一84。<一:时,讥=9(一9=宁一:=一1，则a=-2；

③当—£>4,即a<—8时，,9(0min=9(4)=16+4a=—1,则a=—?，不满足条件.

Z4

综上所述，a的值为-2.

16.解：(1)当te(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，顶点坐标为(12,82),图象过(14,81),设

1

f(t)=at2+ht+c,带入求解，可得f(t)=—T(t-12)2+82,

4

当£€［14,45］时,曲线是函数y=loga(t—5)+83(a>0且awl)图象的一部分,图象过(14,81),代入求

解可得：a=1

则/«)=logi(t-5)+83.

3

则p=f(t)/T-S+82,(te((U4D

人邛八JHog^t-5)+83,(te[14,45])

(2)由题意，指数p大于80时听课效果最佳，

当0<tW14时，f(t)=一式-12)2+82>80,

解得12—2/2<t<14.

当te[14,45]时，f(t)=logi(t-5)+83>80,

3

解得14<t<32(3分)

综上：可得12-<t<32.

•••老师在(12-20,32)这一时间段内安排核心内容，学生听课效果最佳.

17.解：(I=1—ax—

因为，(0)=0,〃0)=0，所以〃久)在x=o处的切线方程为y=o.

1_—ax2+(l—a)x_[—ax+(l—a)]x

(II)f(x)=l-

x+lx+1x+l

(i)当a=0时,/'(%)=*之0在［0,+8)恒成立，所以/'(%)在［0,+8)单调递增,

所以/(%)在［0,+8)的最小值为/(0)=0,不符合题意(舍).

(五)当0<£1<1时，令f'(x)>0,解得0<x<个；令/'(X)<0,解得x>

所以“X)在(0,与今单调递增，在(宁,+8)单调递减.

又/(0)=0,所以存在久6(0,平)，使得/(切〉0,不符合题意(舍).

(m)当a>1时，/'(%)<0在［0,+8)恒成立，

所以/(%)在［。，+8)单调递减，则/(%)在［0,+8)的最大值为/(0)=0,符合题意.

综上所述，实数a的取值范围为［1,+8).

(III)证明：当a=0时，要证/(%)=%-ln(%+1)>%-

需证g(%)=ex-1-ln(x+1)>0,

g'(%)=一击在(_i,+8)单调递增，又“(0)=一1<0,“(1)=1一2=：>0,

所以,存在久0e(0,1),使得g'Qo)=O,即靖。-1=4，

故当%e(-1,g)时,g'(%o)<0,g(%)单调递减,

当久e(%o，+8)时，“(%o)>0,g(%)单调递增，

xr

所以g(%)在(一1,+8)的最小值为g(%o)=e°~-ln(x0+1),

由e/T=得一In。。+1)=x-1,

比十，0

Iy.2

所以9(久)>gQo)=7TT+%。-1=rvr>。，

%0十J-XQ-T1

故当Q=0时，/(x)>x—e*T得证.

18.解：(1)VX「X2e[-1,1],且X[<久2，贝行01)一/(%2)=f01)+f(一久2)="?+〃_")01-久2)，

因为-14V%2<1，%]+(一汽2)。0，

由已知可得""1)十八一”2)>0,X-X<0,

X1-X2”

所以「。1)一/(久2)<0，

所以/1(%)</(久2)，

所以函数/(久)在上单调递增；

(2)因为/(/见0+今)<6)，又/(%)在[—1]上为增函数

(1

所以一1式的2(久+2)式1

所以111,

log2(x+2)<2

解得。<x<72-i,

所以不等式的解集为［0,调-5;

⑶由/(久)在［-1,1］上为增函数，

所以/'(©max=/⑴=1，

/Wmin=f(-1)=-1，

所以―/"(久2)1</-2at+1对所有X],%2[—1,1],a6[-1,1]恒成立,

等价于y-2at+1>1对任意aG恒成立，

设g(a)=产一2at,对Vae[—1,1],g(a)>0恒成立，

所以]g(—1)=产+2亡之°

所以ig(l)=产一2七之0'

解得t**

b22或力40

所以力>2或t<-2或t=0,

所以实数t的取值范围(一%一2]U{0}U[2,+8).

19.解：(l)g(%)=/(%)-舒=alnx-年，定义域为{%|%>0],

，,、_ax+l—(x-1)_a2_a(x+l)2-2x_ax2+(2a—2)x+a

g(%)=，

X(%+l)2=X(x+l)2=x(x+l)z2=%(x+l)z2

令h(%)=ax2+(2a—2)x+a,%>0,

又Q>0,

所以0(%)为开口向上的二次函数，g(0)=a>0,J=4(a-l)2-4a2=4-8a,

若4<0,即a>I，/i(x)>0恒成立，即g'(%)>0恒成立，g(%)单调递增，

1

时

即O<a<

右4>0,2-

令h(X)=0得/=」a一厂而,久2=」a+厂%

2

%1%2=1>0，+%2=—2+->0,

所以％i>0,x2>0,

所以在(0,1-。一：1一2。)上以无)>o,g\x)>0,g(x)单调递增,

1—Q—V1—2(x1—Q+V1-2a、

：)上九(%)<0,g'(x)<0,g(%)单调递减,

SC-tta

在(土安三药,+8)上做久)>0,g'(K)>0,g(x)单调递增,

综上所述，当a2g(x)在(0,+8)单调递增,

当0<a<2时，g(x)在(0,上伫/马)，(上哼卫,+8)上单调递增，在(.1-0.-y11—2tz1—u+V1—2(1-1.上单调