福建省厦门某中学2024届高三第一次模拟考试数学试题（含答案解析）

福建省厦门双十中学2024届高三第一次模拟考试数学试题

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.已知集合/={-2,-1,0,1,2},5={x|-2<x<2},则Nn8=()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{-1,0,1}D.0

2.复数蚯的虚部为，).

A.3B.-3C.-3iD.-1

3.已知等比数列｛4,｝为递增数列，若生・4=6,a4+a5=5f则公比4=()

1-23

A.-B.6C.—D.一

632

/(x_])+，,x〉0满足/13=1,则实数/的值为()

4.已知函数”x)='

sinx,x<0

Ai1

A，4B.一C.1D.2

2

5.在正六棱柱43CDE尸百中，AAX^2AB=6,。为棱的中点，以。为球心,

6为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为()

A.(3+V3)JIB.(6+73)71C.(3+2力)兀D.(6+26)兀

X

6.已知定义在(0,m)上的函数/(无)满足X—)=W(x)-#00,且当X>1时，/(x)>0,则

y

()

A./(X2)>2/(X)B./(X3)/(X)>/2(X2)

C./(X2)<2/(X)D./(X3)/(X)</2(X2)

22

7.已知双曲线C:=-==l(a>0,b>0)的焦距与其虚轴长之比为3：2,则C的离心率为

ab

()

A.V5B.—C.—D.—

552

8.某城市采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人

继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为上：，

试卷第1页，共4页

第二个月为《，第三个月为:，则平均每个人摇上需要的时间为()个月.

9o

A.7B.8C.9D.10

二、多选题

9.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措.在中欧班列带动

下，某外贸企业出口额逐年提升，以下为该企业近6个月的出口额情况统计，若已求得>关

于X的线性回归方程为y=28x+3,则()

月份编号X123456

出口额y/万元16254377102159

A.y与X成正相关B.样本数据》的第40百分位数为34

C.当x=3时，残差的绝对值最小D.用模型>=描述y与X的关系更合适

10.利用不等式“Inx-x+1V0,当且仅当久=1时，等号成立”可得到许多与〃22且“eN*)

有关的结论，则下列结论正确的是()

,,111,1111

A.+—+—+…+-----B.Inn>-+-+-+•••+——

23n-\4562n

〃(〃+1)Q

c-(1+2)(1+4)---(l+2,,)>e-2^-D-1+2"+--•+«"

11.已知圆M:-2a尤+/=0(a>—万)，过点尸(—1,0)向圆Af引斜率为左(左>0)的切线/,

切点为。，记。的轨迹为曲线C,贝！|()

A.C的渐近线为尤=1

13

B.点(不：)在C上

24

1-亚

C.C在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为

2

D.当点(%,%)在C上时，盟4jp五

V-xo

三、填空题

12.已知数歹！］｛%｝满足％+3%+94+…+3"一””=，设数列｛为｝的前几项和为s〃，则满

足S”〈左的实数左的最小值为__________.

试卷第2页，共4页

13.已知函数〃无)=/-1。&工(。>1]>1)有且只有一个零点，则/的取值范围

为.

14.网络安全是国家安全的重要组成部分，在信息课上，某同学利用计算机模拟网络病毒的

传播.已知在12x12的平面方阵中，若某方格相邻方格中有2个及2个以上被病毒感染，则

病毒扩散至该方格，若使所有方格均被感染,则至少需要在__________个方格内投放病毒源;

拓展到三维空间内，已知在12x12x12的立体方阵中，若某方块相邻方块中有3个及3个以

上被病毒感染，则病毒扩散至该方块，若使所有方块均被感染，则至少需要在个方块

内投放病毒源.

四、解答题

15.已知在锐角V/BC中，sin=2sin2C-sin(5-C),。为8C边上一点，且丽=2丽.

⑴证明：4D平分/B4C；

7AF)

(2)已知cosZ.BAC=—,求---.

25BC

16.如图所示，45是。O的直径，点。是O。上异于A,PC_L平面Z5C,E、尸分别为尸4,

尸。的中点，

P

4\

…专…£^8

(1)求证：E7U平面P3C；

(2)若尸C=2,AB=242,二面角3-尸/-C的正弦值为巫，求3C

3

17.在平面直角坐标系xOy中，点T到点尸(2,0)的距离与到直线》=1的距离之比为行，记

T的轨迹为曲线E,直线4交E右支于A,3两点，直线4交E右支于C,。两点，〃〃2.

(1)求E的标准方程；

⑵证明：OAOB=OCOD-,

⑶若直线4过点Q0),直线4过点(80),记CD的中点分别为尸，Q,过点。作£两

条渐近线的垂线，垂足分别为M,N,求四边形尸面积的取值范围.

试卷第3页，共4页

18.已矢口

(1)将sinx,cos尤，x,-g/+i按由小到大排列，并证明；

⑵令/(x)=xex+xcosx-2sinx-sin2x,求证：/(x)在xe］：,"内无零点.

19.已知有穷数列｛%｝的通项公式为%=〃("eN*),将数列｛%｝中各项重新排列构成新数列

也｝,则称数列出｝是｛七｝的“重排数列”；若数列也｝各项均满足2片。",则称数列也｝是

｛«„)的“完全重排数列”，记项数为〃的数列｛4｝的“完全重排数歹广的个数为2.

⑴计算2，D｝,D4.

⑵写出。用和Dn,01T(«>2)之间的递推关系，并证明：数歹£2-«£>„.1)(«>2)是等比数

列；

(3)若从数列｛%｝及其所有“重排数歹广中随机选取一个数列匕｝,记数列匕,｝是｛4｝的“完全

重排数列”的概率为匕，证明：当〃无穷大时，勺趋近于1.(参考公式：

e

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CBDBDDCCADABD

题号11

答案ACD

1.C

【分析】利用两集合的交集定义即得.

【详解】由题意/={-2,-1,0,1,2},8=卜卜2（尤＜2},则/n5={T,0,l}.

故选：C.

2.B

【分析】利用复数的除法运算可得答案.

2-4i（24i）（「i）26i

【详解】.••复数=—1—3i,

1+i（l+i）（l-i）2

所以z的虚部为-3

故选：B.

3.D

【分析】由等比数列的角标性质结合单调性得出公比.

f〃4=3

【详解】由。4+。5=5,%=。4=6,解得＜5或

&=2

=23

,•,数列{4}是由正数组成的递增数列，，喳，且夕〉0,.”二7.

%=32

故选:：D

4.B

【分析】将x的值依次代入解析式，解出，的值即可求解.

兀兀7171兀兀

【详解】/+2/=/（0）+2.=1

2~4+t=f+t=f4~4

即sin0+2/=1,贝U%=L

2

故选：B.

5.D

【分析】根据题意，画出图形，设G,"分别为CG，。。］的中点，连接

答案第1页，共21页

OCI，4G，OEI，4EI，OG,OH,由题意可知球0不与侧面ABB^及侧面/五与同相交，球。与

侧面BCG4交于点G，C,与侧面附耳交于点&,E,然后分别判断与其余4个面的交线,

求出球面与正六棱柱各个面所交的弧线的长度之和即可

【详解】因为球。的半径为6,AB=3,所以球。不与侧面N844及侧面相交，

设G,〃分别为CC”的中点，连接oq,4G，。耳,4耳。G,

则由题意可得。4=3,=AlEl=3A/3,

所以Oq=y/OA；+>C；=J9+27=6,

所以球O与侧面BCC内交于点GC,与侧面瓦隹用交于点耳,£,

在正六边形4月CAE1片中，因为NBCQi=120。,///4=30°,所以乙4£，=90°,

所以4G，G2，

因为CG，平面44G2EM,U平面4片02月大，所以cq14G,

因为GAcCq=G,CQ],CC]u平面CDD©,

所以4G，平面CDAG，所以。6，平面。。。6，且OG=3«,

所以。〃=yloG2+GH2=J27+9=6，

所以球O与侧面CDDtCt的交线是以CG为直径的半圆，

同理可得球O与侧面EDD围的交线是以EE、为直径的半圆，

因为NE/Ci=W,所以球O与上下底面的交线均为:个半径为的圆，

36

所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为

2兀x3+2x工x2兀义36=6兀+26兀

6

故选：D

答案第2页，共21页

【点睛】关键点点睛：此题考查球与棱柱表面的交线问题，解题的关键是画出图形，根据题

意找出球与各个面的交线，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.

6.D

【分析】应用赋值法构造出/(X),/(f),的等量关系，再结合不等式性质判断即可.

【详解】由题意,x>0/>0,/(-)=#(x)-#(y).

y

赋值X=»=1,得/(D=/(；)=1-/(I)=0；

赋值x=l,得U=W⑴=,即O=-/(x),

当x〉l时，/(x)>0,

当0<x<l时，则->1，所以/(£|=-/(x)>0,即〃x)<0；

赋值X=y2,得一//(以解得/(/)=.+

即“m=d)；

AC项，由/(mjx+j/a),x>o,

得/1)一2/(x)=(x+)2,(x),

其中由x〉0,可知入+工一2〉2、,•工一2二0，

xVx

2

当x>l时，/(x)>0,^+1-2^|/(x)>0,gp/(x)>2/(x);

当0<x<l时，/(X)<0,L+1-2V(X)<0,即/(X2)V2〃X)；故AC错误;

答案第3页，共21页

、

得/q=/■(3)=!/(*)-£

BD项，x=x2,y=—）+*/（X；

x1XX

I"

32212

又/(/)=/(X),所以/(X)=-/(X)+x/(x)=[l+4+x|/(x),

XXX

则〃/）/（刈一尸（号=，+1+/k2«-/+>2小)=_/2@”0,

故/（一）/（无）＜/2（好），且/（X）不恒为o,故B错误，D正确.

故选：D.

7.C

【分析】设。=3"（相＞0）,由已知可得°=国，进而可求离心率.

【详解】由题意可知，2c:2/?=3:2,贝!Jc:6=3:2,设。=3冽（加＞0）,贝！Jb=2加，

所以a=yjc2—b2=yj5m，故。的禺心率为e=—=土自.

a5

故选：C.

8.C

【分析】表示每个人摇上需要的时间及其对应概率后，借助期望公式与错位相减法计算即可

得.

【详解】设X表示摇上需要的时间，则X可能取1、2、3、L、〃、L

1a11

贝!j尸(X=l)=—,P(X=2]=—X—=—,

'710~710910

98717

P(X=3)=—x-x-=—,P(X=4)=——X—X—X——二

'7109810,)109810100

p(v_.x98791_7

'71098109100

L

尸(X=3左+1)=尸(X=3左+1)=尸国=3左+3〉IX—,化eN),

10

L

17

故£(X)=RX(1+2+3)+标x(4+5+6)+…

IXjx(3左+1+3左+2+3左+3)+•一

4-

答案第4页，共21页

2k

「1«1701H----b（9左+6）x$x

=6x----F15X—x----F24x—x+…,

10101010£

2

7〜13...

则历E（X）=6xlxL+15xLx+24xt+

101010101?

k+\

+（9左+6）x—x♦+…,

2

33171

故一E（X）=—+9x——x——+9x——x+---+9x—x+•••

10V7510101010

k-\

63

1-

左一1

3100132121二2721

二一+---—F------------X+…二---T+…

551010101010J0

（2721-1

即£（X）=1x7Y、

----------------X+•••

（1010110

7

当左f+oo时，E（x）f9,故平均每个人摇上需要的时间为9个月.

故选：C.

9.AD

【分析】A项由表中数据的变化及回归方程中％项的系数可知；B项利用百分位数定义

及求解步骤即可得；C项由样本中心点代入方程求出务，利用回归方程求出估计值与相应样

本数据作差求出残差，再比较绝对值大小即可；D项由散点图可知.

【详解】A项，由图中表格数据可知，当次的值增加时，）的相应值也呈现增加的趋势,

又由回归方程》=28%+5中，]项的系数28〉0,也可以看出>与工成正相关，故A正确;

B项，样本数据歹的6个取值从小到大依次是16,25,43,77,102,159,

由6x40%=2.4,则第40百分位数为第3个数据43,故B错误;

1+2+3+4+5+6716+25+43+77+102+159211

C项，x=

65'k63

将（鼠歹）代入y=28x+5,得6=-号，SPy=28x-y

八83I83、40

令x=3，得％=84凳，所以相应残差的绝对值为43-[84-制=

33

答案第5页，共21页

令x=2,得％=56-望，所以相应残差的绝对值为25-[56-1)=了<3，故C错误;

D项，如下图作出散点图，

可以看到相较“样本点分布在某一条直线模型>=乐+。的周围”，

“样本点分布在某一条指数函数V=铲+"'曲线的周围”这样的描述更贴切，

所以用模型V=e"'.描述N与x的关系更合适些，故D正确.

10.ABD

【分析】对于A：4%=1+-(«>2),代入可得+运算整理即可；对于B：可

n<n)n

得ln(i)W-x,令可得运算整理即可；对于C：取特值"=2检

nynJn

验即可；对于D：令尤=上，可得ln24上-1,结合等比数列求和公式分析证明.

nnn

【详解】对于不等式InxKx-1,当且仅当x=l时，等号成立，

对于选项A：令x=l+\"22),Hl]lnfl+-|<l+--l=-,

nnJnn

可得ln(l+；)+ln[l+；]+…++<l+；+…+,

其中ln[l+；)+ln[l+；)d-----1-InfId——^)=ln2-Ini+ln3-ln2d-----

=ln(n)-lnl=ln(H),

所以ln(〃)<l+g+；+…+=,A正确;

对于选项B：将x替换为1—x,可得ln(l-x)Vl-x-1=-x,当且仅当x=0时等号成立.

令'='。0,可得上(1—J]<—!，整理可得in〃—ln(〃—1)〉工,

n\n)nn

答案第6页，共21页

故ln2-Ini+ln3-ln2H----bln2w-ln(2w-l)>—+-+•••+—

'7232n

11

即ln(2〃)>；--------------

32n

所以—i------ln2H-----1-----1----->—i-----1-----,故B正确;

''2342n42n

对于选项C：令”=2,可得(l+2)(l+4)>e2,即15>8e,

这显然不成立，故C错误;

等价于证明…+Qe

对于选项D：<-----，

e-1

将liuWx—1中的X替换为上，其中zNN*,则In上(上一1,Bpnln-<i-n,

nnnn

可得We-",当且仅当，=〃时，等号成立,

所以1+2"+…故D正确.

e-1

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：对于已知不等式证明不等式的问题，常常利用代换的思想，结合数列求

和进而放缩证明.

II.ACD

【分析】先由相切性质得点0满足关系式，与已知圆联立消参得。轨迹方程，A项由方程形

式构造函数/(x),利用导函数研究单调性作出大致图形即可得渐近线；B项坐标代入可知;

C项由形可得；D项由不等式性质与放缩法可得.

【详解】圆M:(x-a)2+/=/,圆心A/(a,O),半径卜|,且a>-g,且"0.

:(一1)2+2a+0=2a+1>0,则点尸(一1,0)在圆”外.

答案第7页，共21页

如图，连接M。，由题意知尸。，

设0(x,y)，则MQPQ={x-a,y)-{x+\,y}=x2+y2+(l-a)x-a=0①,

又点。在圆M上，则/一2"+丁=0②,

①一②得，(1+a)x=a,解得-③，

1-X

由。>一工且解得一1<、<0,或0<x<l.

2

将③代入②消。得，产二,1：%〉0),xe(T0)U((M)即为曲线。的方程.

A项，设/(x)=Y(l+x),xe[-l,l)

1-x

则八x)=_2x(；：l),

(1-x)

令r(x)=O解得x=或x=O,或x=(舍).

22

当_1<&<三5时，r(x)>o,〃x)单调递增；

2

当匕"<x<0时，/'(x)<0,〃x)单调递减；

2

当0<x<l时，/'(无)>0,/(x)单调递增.

且〃-l)=OJ(O)=O,当x-1时，y-+oo.

且当V20时，函数g(x)=/而与〃x)单调性相同；

且g(-l)=O,g(O)=O,当x—1时，y—

故g(x)的大致图象如下图，

又由方程7=x；：：x)(y>o),故c的渐近线为工=1,A项正确；

1QQ

B项，令曲线C方程中x==,得/==,7*4,故B错误；

244

C项，由形可知，曲线C在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标,

答案第8页，共21页

即〃无)在(-1,0)的极值点匕好，故C正确;

2

D项，当点(%,%)在C上时，则M=年・^

1一%

由T<x°〈0,或0<x0<l.得0<x；<l,x1±^>0,

1一%

，则犷忌，

所以%4J;1成立，故D正确;

V-x»

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：求动点轨迹方程的常见方法有：

(1)直接法：从条件中直接寻找到X，〉的关系，列出方程后化简即可;

(2)代入法：所求点尸(x/)与某已知曲线尸(%,%)=。上一点。(尤。,％)存在某种关系，则

可根据条件用表示出然后代入到。所在曲线方程中，即可得到关于阳〉的方程;

(3)定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过

确定相关曲线的要素，求出曲线方程.

(4)参数法：从条件中无法直接找到X4的联系，但可通过一辅助变量左，分别找到xj与

左的联系，从而得到阳y和无的方程：即曲线的参数方程，消去参数上后即可得

\y=g(k)

到轨迹方程.

(5)交轨法：选择适当的参数表示两动曲线的方程，将两动曲线方程中的参数消去，得到

不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程。

-5

12.一

6

【分析】先将〃=1代入题干表达式计算出q的值，当"W2时，由

-1,1-2

ax+3a2+9tz3H------1-3"an=~~>可得％+3a?+94H--------1-3an_x=y,两式相减进一步计算

即可推导出数列｛%｝的通项公式，再根据数列｛«„｝的通项公式及等比数列的求和公式推导出

前“项和£的表达式，最后根据不等式的性质即可计算出实数上的最小值.

2

【详解】由题意，当〃=1时，％=§,

答案第9页，共21页

〃+]

当几22时，由4+3。2+9/+…+3"1=~-~,

XT%+3a2+9%---^3〃2。〃_]——,

两式相减，可得3"-4=等-1=(,

解得巴="，

2

•・・当〃=1时，ax=§不满足上式，

’21

—,n=l

「♦〃〃={]，

—,«>2

13〃

2

则当〃=i时，E=%=§,

当几22时，=/+%+%+…+。〃

2llI

=—I——H--+...H-----

332333"

I____I

二2?.诃

「i-l

3

_5I

=6~Ty9

2

•.•当〃=1时，Sl=§也满足上式，

，S〃=H^，〃EN*,

o2-3

且s“〈人对任意〃eN*恒成立，

o2-5o

.■.k>y,即实数发的最小值为:.

66

故答案为：j.

6

13.(ee,+oo)

【分析】由题意可得g‘a)=〃'(x)只有一个解，从而可得。=工，砧==，设

elnZ?elnZ?

0(6)==(l<b</),利用导数求解即可.

elnp

【详解】依题意得g(x)=x〃与3)=1崛工只有一个交点，即两曲线相切，

则g'(x)=〃(x)只有一个解，

答案第10页，共21页

11111

，办1=丁7,化简得x=(')"将其代入/(%)得-lo&ginb)=0,

x\nbahibamba

log6e+log^tzIn6)=0,gpea\nb=l,:.a=—^—.

a>1,/.

elnb

b

则ab=

设0(6)=-^-(l<6<e»则2'屹)=I：-［：<0,

OS)在(l,eD单调递减，0(。)〉Q(d)=eeab>ee,

・,.而的取值范围是ee,+coI

故答案为：|^ee,+ooj

【点睛】关键点点睛：由指对运算可得ealnb=l,进而可得仍=["，构造函数

11

0(6)=—9—(1<6<d),由导数求解即可.

eln6

14.12144

【分析】根据题意，结合归纳、类比法进行求解即可.

【详解】在2x2的平面方阵中，如下图：

O病毒源

□

病毒源

按对角线方向每行每列都有一个格子内投放病毒源，显然，格子1,2都满足要求，

在3x3的平面方阵中，如下图：

按对角线方向每行每列都有一个格子内投放病毒源，显然，格子1,234先满足要求,

而后5,6马上也满足；

51病毒源

3病毒源2

病毒源46

由此可以推断当在12x12的平面方阵中，按对角线方向每行每列都有一个格子内投放病毒源,

答案第11页，共21页

至少需要在12个方格内投放病毒源；

当拓展到三维空间时，

已知在2x2x2的立体方阵中，如图所示:

当1,2投放病毒源时，要想3被感染，只需5投放病毒源，同理要想4被感染，只需6投放病

毒源，因此需要2+(4-2)xl=4个方格内投放病毒源，

因此已知在3x3x3的立体方阵中，面对我们的面有9个，其中一条对角线上有3个，

所以需要3+-3)x1=32个方格内投放病毒源，

所以可以类比在在12x12x12的立体方阵中，

需要12+(12?-12)x1=12?=144个方格内投放病毒源，

故答案为：12;144

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用归纳和类比推理的方法进行求解.

15.(1)证明见解析.

力16质

---•

291

【分析】(1)由三角恒等变换及正弦定理6=2°,在中，由正弦定理得

cBDDC

，在中，由正弦定理得.,两式结合即可

sinZADB~sinZBADsinZ.ADCsinZCAD

证明.

—►2—►1—►16

⑵在V45。中，由平面向量的基本定理得+两边同时平方得|40|二百c,

再由余弦定理得12cl=耳八然后计算即可.

【详解】(1)由题意，sin^=2sia2C-sin(B-C),且4+3+。=兀，

所以sin(B+C)=2sin2C-sin(B-C),

即sinBcosC+cosBsinC=2sin2C-(sinBcosC-cosBsinC),

答案第12页，共21页

所以2sin5cosc=4sinCcosC,

又因为V4BC为锐角三角形，所以cosCwO,

所以sinB=2sinC,

由正弦定理得6=2c.

在△/口中’由正弦定理得曰r/黑石,

bDC

在△4。。中，由正弦定理得

sin/ADCsinACAD

因为N4O3+乙4。。=兀,

所以sinZADB=sinZADC,

..csin/.BADbsinZ.CAD

所以

又因为丽=2丽，BPCD=2DB,且6=2c,

所以sinNBAD=sinZ.CAD,

所以40平分N"C.

(2)由(1)知，ABAD=ACAD=-ABAC,

2

7

因为COS/A4C=M，且V45C为锐角三角形，

__,_____i__.____2__►i___

所以无5=在+前k

—►c4—►c4—►—►1—►_

即|AD『=川/c|-cosABAC+3/C/，

则|AD|2=—c2+—c-2c-——I--—(2c)2="S6',故|AD|=-c.

9925922515

在V48c中，由余弦定理得

|加+|何2收『_22

C+4C-|^C|\7

cosABAC-

2\AB\'\AC\2c2c25

解得,

16c

\AD\7T1616拒7

所以|5。厂历0―3月

291

5

答案第13页，共21页

16.(1)证明见解析

(2)SC=2

【分析】(1)根据线面垂直的判断定理证明NC，平面PBC,再证明/C//M,即可证明；

(2)以C为原点建立空间直角坐标系，分别求平面PNB和P4C的法向量，利用法向量夹角

公式，即可求解.

【详解】(1)证明：因为尸平面/8C,/Cu平面/3C。所以尸CLZC,

因为N8是O。的直径，知/C_L8C,

因为尸Cc3C=C,且尸C,BCu平面尸8C,所以/C_L平面P8C,

由瓦尸分别是尸4PC的中点，所以EF〃4C,所以昉_L平面P8C.

(2)以C为原点，C4,C2,CP所在直线分别为x轴、＞轴、z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系，

则尸(0,0,2),C(0,0,0),

设/(a,0,0),5(0,Z),0),且。2+/=8(a>0,6>0),

所以9=(a,0,-2),PB=(O,b,-2),

易知平面尸NC的一个法向量而=(0」,0),

设平面尸的一个法向量拓=(尤)/),则

nVPAn-PA=0ax-2z=0

则_,即.•［如，

nVPBnPB=o'-2z=0

取z=ab,得x=26,y=2a,则力=(242a,a6),

因为二面角8-C的正弦值为"，则其余弦值为史,

33

所以…在V3

化简得-8a2+4/=0,

J4b2+4/T

答案第14页，共21页

又因为/+〃=8(。>0,Z>>0),所以/+4/-32=0,

解得：/=4,即。=2,

所以6=2,即8c=2.

22

17.⑴十一一=1

22

(2)证明见解析

(3)[24,+8)

【分析】(1)根据两点间的距离和点到直线的距离公式即可列等式求解；

(2)根据直线与双曲线联立方程，得韦达定理%+3，X、，结合数量积坐标运算即可证明;

(3)依据题意得直线4和直线4的方程分别为》=叼+2、x=my+S,联立直线《和曲线E

方程求得韦达定理演+%2，乂+%，从而利用中点坐标公式求出点尸坐标，同理求出点。坐

标，再利用点到直线距离公式分别求出点P和点。到两渐近线的距离4,4,接

着根据SPMQN='矩形OMQN—SsOMP-SsONP计算结合变量取值范围即可求解.

【详解】(1)设点7(》/),因为点T到点厂(2,0)的距离与到直线x=l的距离之比为亚，

所以&：2)2：y2,整理得二一己=1,

|x-l|22

22

所以E的标准方程为土-匕=1.

22

(2)由题意可知直线4和直线4斜率若存在则均不为0且不为±1,

①直线43的斜率不存在时，则可设直线4方程为x=A(t,yi),

则8&-必)且由点/和点8在曲线£上，故〃-才=2,

答案第15页，共21页

所以0403=r-弁=2,

同理可得3湾彷=2,所以次.砺=反•砺;

②直线48斜率存在时，则可设方程为>=丘+6（后片0,1）,力（亚,乃）、3（尤2，乃），

22

__y_=]

联立2-2一^>（l-k2）x2-7.kbx-b2-2=Q,

y=kx+b

b2

则A=（-2kby-4（1-左②）（一/-2）=4/-8左2+8>0即1一/>-----

2

2kb口2kb廿+2b2+2

%+x?=匚记且>0,XyX=-且一>0,

1-F2\-k21-k2

22

所以CU•OB=XjX2+yxy2=xxx2+（丘]+6）（生+6）={^\+k\xxx2+泌（无]+x2^+b

b1+22kbb2+2+k2b2+2k22k2b2b2-b2k22,2+1）

（1+B+kb-+/=-

\-k2\-k21-Fl-k2]-k21-F

同理OC-OD=-2^k+1^>所以刀•丽=历・历，

l-k2

综上，OAOB^OCOD.

（3）由题意可知直线4和直线4斜率若存在则斜率大于1或小于-1，

且曲线E的渐近线方程为x±y=0,

故可分别设直线/］和直线4的方程为》=啊+2和》=阳+8,且ow/<1,

y2+Amy+2=0,设4（%i，yi）、虫町必），

则A=（4m）2-4（m2-l）x2=8m2+8>0,

答案第16页，共21页

4m2

%+%=_

m2—1

4mj,4

故%+%=加%+2+my+2=加（凹+歹2）+4=冽—+4=--

2m-1）m—\

西+x%十%22m

因为P是中点，所以尸2即尸一

22m2-Tm2—1

88