高三数学一轮复习：构造函数证明不等式讲义

第二课时构造函数证明不等式

题型一移项构造函数或直接利用函数的最值证明不等式

例1(2023・新高考I卷)已知函数火x)=a(ex+a)—x.

(1)讨论人x)的单调性；

.3

(2)证明：当a>0时，兀v)>21n〃+/.

(1)解f(x)=aex~l,xeR.

当时，f(x)<0,

所以函数/(%)在(一8,十8)上单调递减；

当a>0时，令了(1)>0,得无>—ln〃；

令了(X)<。,得％<一InQ,

所以函数/(x)在(一8,一Ina)上单调递减，

在(一Ina,+8)上单调递增.

综上，当时，函数/(%)在(-8,+8)上单调递减；

当〃>0时，函数/(x)在(一8,—ln〃)上单调递减，在(一Ina,+8)上单调递增.

(2)证明法一由(1)得当〃>0时，函数«x)的最小值为/(—lnQ)=l+Q2+lnQ.

31

令g(〃)=1+〃2+ln〃-21na--Ina-〃£(0,+°°),

所以g，(a)=2a—

令g，(a)>0,得tz>；

令g'(a)<0,得0<a(坐，

所以函数g(a)在［o,当上单调递减，

在惇，+8)上单调递增，

所以函数g(a)的最小值为

g停1=闺f坐―八小>0,

3

所以当a>0时，«x)>21n〃+］成立.

法二当。>0时，由⑴得

火X)min=八一InQ)=1+4+]nd9

3

故欲证fix)>2lna+1成立，

八3

只需证l+/+ln〃>21n〃+],

即证次一，>lna.

构造函数u(a)=lna—(a—l)(a>0)9

I111-a

则ur(a)=~­1=~

所以当时，/⑷<0；

当Q<a<l时，u\a)>09

所以函数以〃)在(0,1)上单调递增，在(1,十8)上单调递减，

所以〃3)W〃(l)=0,即InaWa~1,

故只需证/一宙〉〃一1,即证屋一〃十，0.

(、2

因为届―〃+义=(〃一§+|>0恒成立，

3

所以当a>0时，兀r)>21n〃+/成立.

感悟提升1.若待证不等式的一边含有自变量，另一边为常数，可直接求函数的

最值，利用最值证明不等式.

2.若待证不等式的两边含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函

数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造

函数的单调性和最值即可得证.

训练1(2023・新高考H卷节选)证明:当0<元<1时，x-^<sinx<x.

证明令h(x)=x—x2—sinx(0<x<1),

则h，(x)=1—2x—cosx(0<x<1).

令Xx)=l_2x—cosx(0<x<l),

则p3=-2+sinx<0,

所以p(x)即/(x)在(0,1)上单调递减，

又砥0)=0,

所以当0<%<1时，/(x)<〃(0)=0,/z(x)单调递减,

所以当0<%<1时,/z(x)</z(O)=O,

即%—x2<sinx.

令g(%)=sin%—x(0<%<1),

则g'(%)=cos%—lWO,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，又g(0)=0,

所以当0<%<1时,ga)〈g(0)=0,即sinx<x.

综上，当0<%<1时，%—x2<sinx<x.

题型二分拆函数法证明不等式

例2(2024・长沙模拟节选)已知函数“XLQXIUJV+X2,g(x)=ex+x—L0<QW1,求

证：於)<g(x).

证明要证明,

只需证明adnx+x2<e-r+x—1,

只需证明"+1<立・，

令抬尸呼+1,g尸区F，

_a(1—Inx)一

又u'(x)=,0<aW1,

则0<x<e时，/(尤)>0,函数M(X)在(0,e)上单调递增；

x>e时，u'(x)<0,函数M(X)在(e,+8)上单调递减；

所以x=e时，M(X)取得最大值，最大值为T+1，

e%-1-%—1(%—2)(ex—1)

由v(x)=-2可得v'(x)—

Jix3

则0<%<2时,v'(x)<0,函数在(0,2)上单调递减;

尤>2时,U(x)>0,函数o(x)在(2,+8)上单调递增；

e2+l

则尤=时，取得最小值，且最小值为

2o(x)4

e2+l6-1中」>0,

又・4

e2+la..

所以

4

e%+x-1)

即'皿+[<1

、％/max、*Jmin

所以0<aWl时，J(x)<g(x).

感悟提升1.若直接求导比较复杂或无从下手时，或两次求导都不能判断导数的

正负时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达

到证明的目标.含Inx与的混合式不能直接构造函数，要将指数与对数分离，分

别计算它们的最值，借助最值进行证明.

2.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，e*与Inx要分离，常构

造非与Inx,x"与的积、商形式，便于求导后找到极值点.

训练2(2024.郑州模拟节选)已知函数火x)=e/—尤Inx,求证：当x>0时，於)<

,1

xe*十一.

e

证明要证兀0<胧*+；,

只需证ex—Inx<e^+^,

即ex—ex<lnx+^-.

ex

令h(x)=Inx+—(x>0),

ex

11ex—1

贝•]/z'(x)=或，

易知/z(x)在(0,3上单调递减，在g,+8)上单调递增，

则/2(X)mm=/7O=0,所以In尤+2三0.

再令0(x)=ex—e"则夕<x)=e—e*,

易知夕(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

则9(X)max=e(l)=0,所以ex—FWO.

因为h(x)与e(x)不同时为0,

所以ex—ex<lnx+1，故原不等式成立.

ex

题型三放缩后构造函数证明不等式

例3当x>0时，证明：ex—sinx—1>xlnx.

证明设/z(x)=x—sinx,

则Zf(x)=l—cosxNO,/z(x)单调递增，

所以当%>0时，/z(x)>/z(O)=O,

即x>sinx(x>0).

所以ex—sin%—l>ex—%—1,

所以要证ex—sin%—l>xlnx,

只需证明ex—%—l>xlnx,

设/(x)=e%—x—1,则/(x)=e%—1,

则入£(—8,o)时,/(x)<0,处0单调递减；

%e(o,+8)时，/(x)>0,人1)单调递增.

所以/(x)的最小值为八0)=0.

当工£(0,1)时,«x)>0,xlnx<0,

所以ex—%—l>xlnx.

当工£［1,+8)时，设F(x)=e%—%—l—xln%,

则F(x)=ex—In%—2,

设g(x)=ex—Inx—2,则g'(x)=e%一

因为g<X)在［1,+8)上单调递增，

且g，(l)=e—1>0,

所以g<x)>0在［1,+8)上恒成立，

所以g(X)在［1,+8)上单调递增，

又g(l)=e-2>0,

所以〃(x)>0在［1,+8)上恒成立，

故Hx)在［1,+8)上单调递增，

产(%)2尸(l)=e-2>0在口,+8)上恒成立.

综上，当x>0时，e^—sinx-l>xlnx.

感悟提升1.利用导数证明不等式时，若所证明的不等式中含有e》，Inx,sinx,

cosx,tanx,或其他多项式函数中的两种或以上，可考虑先利用不等式进行放缩，

使问题简化.然后再构造函数进行证明.

2.常见的放缩有：

(殆)

(l)tanx>x>sinx,不

(2)切线放缩：e^x+l>x~l^lnx,利用切线放缩可把指数式、对数式转化为一

次式，有利于后续的求解.

训练3(2024•济南模拟节选)已知函数而c)=e1证明：当x>—2时，Hx)>ln(x+

2).

证明设g(x)=«x)—(x+l)=

ex—%—l(x>—2),

则g\x)=ex—l,

当一2<x<0时，g，(x)V0;

当x>0时，gf(x)>0,

即g(x)在(一2,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

于是当X=0时，g(X)min=g(0)=0,

因此人x)>x+l(当且仅当x=Q时取等号)，

令〃(x)=无+1—ln(x+2)(x>—2),

,1x+1

川/⑺=1-羊=羊’

则当一2<xV—1时，h'(x)<0；

当x>—1时，"(x)>0,

即有/z(x)在(一2,—1)上单调递减，在(一1,+8)上单调递增，

于是当》=-1时，A(X)min=A(—1)=0,

因此x+l>ln(x+2)(当且仅当x=-l时取等号)，

因为等号不同时成立，

所以当x>—2时，»>ln(x+2).

厂利用切线放缩法证明不等式微点突破

导数方法证明不等式中，最常见的是e*和Inx与其他代数式结合的问题，对于这

类问题，可以考虑先对e*和Inx进行放缩，使问题简化，简化后再构造函数进行

证明.常见的放缩公式如下：(1)3》1+尤，当且仅当x=0时取等号.(2)lnxWx—1,

当且仅当x=l时取等号.

例已知函数兀x)=ae，-lnx—1,证明：当时，«r)N0.

证明因为。三；，

所以八光)>亘一ln%—l=ex—i—lnx—1.

e

因为y=exr在x=l处的切线方程为y=x,

因此用切线放缩法可得不等式

当且仅当x=l时取等号，

所以得eLi—lnx—1三尤一lnx—1,

当且仅当x=l时取等号.

设g(x)=x—Inx—1,

1X—1

则g，(x)=l—1=二^.

当0<%<1时，g'(x)VO,

所以g(x)单调递减；

当尤>1时,g，(x)>0,所以g(x)单调递增.

所以x=l是g(x)的最小值点.

故当x>0时，g(x)》g(l)=O.

因此，当。三;时，1工)》0.

vlnVx

训练已知函数Hx)=W,g(x)=/，证明：y(x)>2g(x)—L

证明设/小尸己一工一：!。〉。)，

则/?,(x)=ex—1>0,

...7z(x)在(0,+8)上单调递增,

：.h(x)>h(0)=0,即秘>无+1>1,

」一

•,e%x+T

要证外)>2g(x)—1,即证^一1,

只需证用巳由一1,

x+lx+1

即证xlnx^x—1,

令m(x)=xln%—x+1,则mr(x)=lnx,

・•・当x£(0,1)时，mr(x)<0；

当无£(i,+8)时，加(X)>o,

・•.皿x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

m(x)min=m(1)=0,即m(x)^0,

1,贝1]y(x)>2g(x)—1得证.

■课时分层精练

【A级基础巩固】

InV

1.已知函数火X)=一二，求证：当x>0时，於)Wx—L

证明当%>0时，要证

即证Inx—x2+x^0,

令g(x)=ln%—x2+x(x>0),

1,l+x—2%2

则<?'(%)=1—2x+l=-----------

(x—1)(2x+l)

X

当OVxVl时,g'(x)>0,g(x)单调递增;

当x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

.•.g(x)Wg(l)=O,

即当x>0时，

2.(2024・唐山模拟)已知x>—l,证明：

(l)ex—12%21n(%+1)；

(2)(^—l)ln(x+1)W.

证明(1)令y(x)=x—ln(x+l),

Y

则/(x)=TPPX>-1,

当一14<0时,f(x)<0,於)单调递减;

当x>0时，f(x)>0,/)单调递增,

所以人》)>黄0)=0,等号仅当x=0时成立,

即x^ln(x+l),

ln(+1)

从而e^e^=x+1,所以e%—12%

综上，ex—12x21n(%+1).

(2)显然当x=0时，(ex—l)ln(x+l)=x2=0.

令g(%)=/、，%W0，

(1—%)e%—1

则g'a)=(ex—1)2―，光力0・

令71a)=(1—兀户一1,则/(x)=—xeS

当x<0时,h'(x)>0,力⑴单调递增；

当x>0时，h'(x)<0,7z(x)单调递减,

所以/z(x)W/z(O)=O,等号仅当x=0时成立，

h(x)

从而g，(x)=五—1)2<0,xWO,

所以g(x)在(一8,0)和(0,+8)上单调递减.

由(1)知，当一1<%<0时，0>x>ln(x+l)；

当x>0时，x>ln(x+1)>0,

所以g(x)<g[ln(x+l)],

口日xIn(x+1)In(x+1)

即^丁4E—1=X-

又当X>—1且xWO时，x(ex—1)>0,

所以(e%—l)ln(x+l)>x2.

综上，当x>一1时，(e%—

3.已知函数j[x)=ax—sinx.

(1)若函数八元)为增函数，求实数〃的取值范围；

(2)求证：当x>0时，ex>2sinx.

⑴解,:艮Q=QX—sin%,

.*./(x)=a—cosx,

由函数八£)为增函数，

则了(%)=〃一cos冗20恒成立，

即42cos%在R上恒成立，

V)；=cosx^[—1,1],,

即实数。的取值范围为[1,+8).

(2)证明由(1)知，当〃=1时，力》=冗一sinx为增函数,

当x>0时，=0=>x>sinx,

x

要证当x>0时,e>2sinx9

只需证当x>0时，e*>2%,

即证ex—2x>0在(0,+8)上恒成立,

设g(x)=e^—2x(x>0),则g'(x)=ex—2,

令，(x)=0解得x=ln2,

.•超。)在(0,1112)上单调递减，在(In2,+8)上单调递增,

...g(x)min=g(ln2)=*2—21n2=2(1—In2)>0,

:.g(x)2g(In2)>0,ex>2x成立,

故当尤>0时，e%>2sinx.

【B级能力提升】

4.设函数_/(x)=ln(a—x)—x+e.

⑴求函数人为的单调区间；

Y

(2)当a=e时，证明：J(e—x)<ex+7r.

11---V-1-//

(1)解由题意得函数人x)的定义域为{x|x<a},Xx)=±—1=;，

XClXCl

故函数ZU)的单调递减区间为(一8,。)，无单调递增区间.

YX

(2)证明法一当〃=e时，要证/(e—x)<e%+孤，即证ln%+%<e*+支(%>0),

即证皿+1〈竺+;

xx2e

设g(x)=¥+l(x>0),

I11—Inx

则g'(x)=