集合与常用逻辑用语专项训练-2025届高三数学一轮复习

2025届高三数学一轮复习专项训练集合与常用逻辑用语

一、选择题

1.已知集合A=\x^^<x<^,B=<xa<x<a+Y，^A^B中有两个元素，则实数

。的取值范围是（）

3

AJa——<a<-1>B.4a——<a<0>

22

3、

C.<a—<a<—1或—<a<0D.(21-万<a<0a〉1}

22

2.设集合A={—1,1,3,5},3=卜卜=3左—1,左右1^},则4口5=()

A.{-1,5}B.{1,5}C.{-1,3,5}D.{1,3,5}

3.命题Vx>l，尤2山的否定是（）

12

A.士〉1，x—m<lB.玉wi，x—m<\

C.\/x>1>x2—/«<1D.VxWi，x2—m<1

4.下列说法错误的是()

A.“若xw3,则炉—2x-3w0”的逆否命题是“若f—2x-3=0,则x=3

B."VxeR,%2—2x—3w0”的否定是'勺毛eR,/2—2%—3=0”

C.“x>3”是“X2-2X-3>0”的必要不充分条件

D."x<-1或x>3”是“V—2》—3>0”的充要条件

5.给出下列四个结论：

①命题“若相>0,则方程f+工―m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程—机=0没

有实数根，则相<0"

②若。>0,>>0,。+》=4,则工+工的最小值为1

ab

③函数丁=坨（如2_4如+m+3）的定义域为R的充要条件是0v根vl

④对于函数/（x）=，则及e[L+8）,使得函数g（x）=/（x）-日在R上有三个零点

l+kl

其中正确结论的个数为（）

A.lB.2C.3D.4

6.设集合A={x|0<x<3},5={—2,—1,0,1,2,3},则4口3=()

A.{1,2,3}B.{-1,2}C.{0,l,2}D.{1,2}

7.集合A={xeN|04x<2}的真子集的个数是()

A.3B.4C.7D.8

8.已知集合4=1卜224},5=32%>4，若514.则实数。的取值范围是()

A.{a|aN-4}B.{a|a24}C.D.{a|a<T}

二、多项选择题

9.下列命题中正确的有()

A.集合{a,切的真子集是{a},{圻

B.[x\x是菱形}0{xlx是平行四边形}

C.设a,beR,A={l,a},B={-1,Z?},若A=5,则a-/?=-2

D.0e|x|%2+1=0,xeRj

10.已知集合〃={2,4},集合"cND{1,2,3,4,5},则集合N可以是()

A.{2,4}B.{2,3,4}

C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5}

11.若函数〃”=|2=2/人有两个零点,则实数6的取值范围所构成集合的子集为()

A.(O,2)B.(O,3)C.(l,2)D.(-l,2)

三、填空题

12.已知集合4={(%,切丁=m—％},§=<(x,y)y=L,若4口5#0,则实数m的取值范

X

围为.

13.若X是一个集合，?是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于「，空

集0属于7；②7中任意多个元素的并集属于7；③7中任意多个元素的交集属于

T.

则称T是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a,6,c},对于下面给出的四个集合T：

①T={0,{a},{c},{a,“c}}；

②7={0,{"},{C},{反c},{a,b,c}}；

③T={0,{a},{a,b},{a,c}}；

@T={0,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.

其中是集合X上的一个拓扑的集合7的所有序号是.

14.设集合S={1,2,3}，X=S，把X的所有元素的乘积称为X的“容积”（若X中只

有一个元素，则该元素的数值即为它的“容积”，规定空集的“容积”为0）.若X的“容

积”是奇（偶）数，则称X为S的奇（偶）子集，则S的所有偶子集的“容积”之和为

四、解答题

15.设集合凡,={（为々,…,天）|±=0或l,z=l,2,...,n},Hn中的元素

4=（“1，4,…,a”），6=（4也,…,6”），无乂.a㊉人=（q—4）+（t?2—e）包）

为H”的左元子集，对V%eHn，都存在y&M，使得x㊉y<3,则称M为〃“的左元最优子

集.

（1）若见丘区，。㊉1=4,且a=（l,0,l,l,0）,试写出两个不同的。;

（2）当九=7时，集合4={（%,为2,…,毛），（如%，…，％）}，，%.{0,1},%+y=1,证明:A为

87的2元最优子集；

（3）当〃28时，4是否存在2元最优子集,若存在，求出一个最优子集，若不存在,请说明

理由.

16.已知集合A=%2+5x-6=0j,B=|x|x2+2（m+Y）x+m2-3=0j

（i）若m=o,写出AIJB的所有子集

（2）若"eA”是“％eB”的必要条件,求实数m的取值范围.

17.含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交

替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减

各数.例如，{4,6,9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与

交替和都是5.

⑴写出集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和的总和；

（2）已知集合M={1,2,3,4,5,6},根据提示解决问题.

①求集合M所有非空子集的元素和的总和；提示：VxeM,先求出x在集合”的非

空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M所有非空子集的元素和的总和；

②求集合〃所有非空子集的交替和的总和.

18.已知集合4="|32+工—2=0},3={工|2尤2—5尤一12=0卜

⑴若A中有且仅有1个元素，求实数m的值；

(2)若AUB=B，求实数m的取值范围.

19.已知命题p:X/xeR,or?-ar+l>0恒成立，命题q:玉:eR,r+%+”=0.若

q中有且仅有一个为真命题，求实数。的取值范围.

参考答案

1.答案：c

解析：因为A=卜£z|-l«5/3^={-1,0,1},5=<xa<x<a+^>，且AplB中有两个兀

素,

a<—1-1<<2<0

所以3或43

0<〃H---<1ClH----〉1

I2I2

a1

解得——<4<一1或——<。<0,

22

所以实数a的取值范围是\a--<a<-1^--<a<G

、22

故选：C.

2.答案：A

解析：依题得6={-1,2,5「-},则4口6={-1,5}.

故选:A.

3.答案：A

解析：全称存在命题的否定是存在量词命题，并且否定结论，

2

所以命题三一加>]的否定是±>],%_w<1.

故选：A

4.答案：C

解析：根据命题“若2则q”的逆否命题为“若F则-p”,可知“若中3,则必―2尤-3/0

的逆否命题是“若f—2x-3=0,则x=3”,即A正确；

根据全称命题的否定是特称命题可知,“VxeR,尤2—2%-3W0”的否定是

2%—3=0,即B正确；

不等式九2—2x—3>0的解为x<—1或x>3,故"x>3”可推出"f—2%—3>0”,但

“炉—2%—3>0”推不出“％>3”,即“％>3”是'f一2工—3>0”的充分不必要条件,C错

误,“x<-1或x>3”是“炉_2%—3>0”的充要条件,D正确.

故选：C.

5.答案：B

解析：①“若相>0,则方程f+x—m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程f+x—m=0

没有实数根，则相<0”,正确；

②若a>0,6>0,a+Z?=4,则!d+』)(a+6)=,(2+?+@)2工(2+2[，.@)=1，当且仅当

4ab4ab4\ab

a=》=2时取等号,正确；

③当机=0时，函数y=lg(3：2一4侬:+加+3)的定义域为R,显然0<m<1不是充要条件，错

误；

④/(-X)=]+口广-胃^=-/(X)，即/(X)为奇函数，而/(x)=l-^-,x>0,

•*.g'(x)=f\x)-k=——二■—左，当二«1,+00),即g〈x)W0,故g(x)在X20上递减，则

(1+无)

g(x)Wg(0)=0，

；•g(%)只有一个零点为0,由对称性知：在无<0上无零点，

及e[l,+oo),使得函数g(x)=/(x)-日在R上有三个零点，错误.

故选：B.

6.答案：D

解析：AHB={x|0<x<3}0{-2,-1,0,1,2,3}={1,2}.

故选：D.

7.答案：A

解析：由题知4={0,1},所以集合A的真子集的个数是22-1=3.

8.答案：B

解析：由题可知A={x,>4^=^x\x>2或xW-2},8={x|2x>a}=<xx>T>,由

可得色22,所以aN4.

2

9.答案：BC

解析：对于A,集合{a,b}的真子集是{a},{圻，0,故A不正确；

对于B,菱形一定是平行四边形，故B正确；

对于C,由题意得a=—1,b=l,故a—/?=—2,故C正确;

对于D,因为尤eR,所以％2+1=0无解，所以{x|x2+l=O,xeR}=0,故D不正确.

故选BC.

10.答案：ABC

解析：因为集合〃={2,4},

对于A：N={2,4}满足{1,2,3,4,5},所以选项A符合题意；

对于B：N={2,3,4}满足"口ND{1,2,3,4,5},所以选项B符合题意；

对于C：N={1,2,3,4}满足/口ND{1,2,3,4,5},所以选项C符合题意;

对于D：N={1,2,3,4,5}不是{1,2,3,4,5}的真子集,故选项D不符合题意，

故选：ABC.

11.答案：AC

解析：令g(x)=|2X-2|,y=6,

在同一直角坐标系内，作函数图象如图，

所以g(x)=|2,-2|与y=6只需两个不同的交点，

由图象可知，0<[<2,

所以实数b的取值范围所构成集合为(0,2),

其子集为(0,2),(1,2).

故选：AC

12.答案：{加恒22或加4-2}

解析：由题知，集合A为一次函数y=上的点构成的集合，集合B为反比例函数

y=’上的点构成的集合，若4。5工0,则方程机-x=」有非零解,整理得好一〃a+1=0,

XX

则A=H?—4»0,解得加之2或加4一2.

13.答案：②④.

解析:①力^。，{。「©，{。也③上因为年内⑶口区或任心故①不是集合乂上的一个拓

扑；

②满足集合X上的一个拓扑的集合r的定义；

③因为{a,b}U{a,c}={a,b,c]史7,故③不是集合X上的一个拓扑；

④满足集合X上的一个拓扑的集合r的定义.

故答案为：②④.

14.答案:16

解析:由题意，X可能情况有0,{1},{2},{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，

则8个集合的“容积”分别为:0,123,5,3,6,6,

其中偶数有022,6,6,故偶子集有0,{2},{1,2},{2,3}，{1,2,3}，

则S的所有偶子集的“容积”之和为0+2+2+6+6=16.

故答案为：16.

15.答案：(1)6=(0,1,0,0,0)或(1,1,0,0,1)；

(2)证明见解析；

(3)不存在，理由见解析.

解析:(1)取6=(0,1,0,0,0)或(1,1,0,0,1),满足口啰人=12+12+12+12=4，

所以5=(0,1,0,0,0)或(1,1,0,0,1).

C2)任取z=(40,…,Z7)e%，则存在xi,yie{0,1},%+y=1,

使得—zj4+(%-zj4=1,j=1,2,3,4,5,6,7,

记为=(%,％2,…，匕)，y=(X，%，…，必)，

777

%㊉z+y㊉z=Z(七_zj4+Z(y一Zj)4=^[(x,.-z,.)4+(%—Zj)4]=7,

z=lz=li=l

若x㊉zW3,则结论成立;若x㊉z24,则y©z=7-x©z<3,

所以A为%的2元最优子集.

(3)先考虑〃=8的情况，假设4存在2元最优子集尺

记H={a,Z7},a=(4出,…,4),1=(4也，…,/),

Vae4,宝=(q,。2,…,。8)ed，使a㊉c=4,

记亍=(l_q,l—C2,…，1—08)，则亍e“8，

由a@cJt-a©c=8,得a㊉5=4，Z?©c+Z?0c=8，

因此b㊉c,Z?㊉不中至少有一个数大于等于4,

这与R是最优子集矛盾，由a,b的任意性，可知&不存在最优子集，

当九28时,Va，beH“,4=(4,%,…2=(4也,…也)，

n8

a®b=y(a-bX>y(a-bX口

则Wi)£ii，所以久没有2元最优子集.

16.答案：(1)0,{-6},{1}，{-3},{-6,1},{-6,-3},{1,-3},{-6,1,-3}

(2)m<—2}

解析：(1)A=卜卜?+5x-6=Cl}={-6,1},

若加=0,则8={9+2x—3=0}={—3,1},止匕时AU§={FL—3}，

所以AU8子集为0,{—6},{1},{-3},{-6,1},{-6,-3},{1,-3},{-6,1,-3).

(2)若A”是“xe6”的必要条件，只需5三A.

①若5中没有元素即5=0,

则A=4W+1『—4(疗—3)=8m+16<0,此时机<—2,满足5项4；

②若8中只有一个元素，则A=0,此时m=-2.

贝I]3={x|幺—2x+l=0}={1}，此时满足BcA；

③若B中有两个元素，则A>0,此时m>-2.

因A中也有两个元素，且BcA,则必有5=A={-6]},

由韦达定理得-6x1=疗-3,则”=-3，矛盾，故舍去.

综上所述，当mW-2时,3NA.

所以实数机的取值范围：{相2}.

17.答案:(1)12

(2)①672

②192

解析：⑴集合{1,2,3}的非空子集为{1},{2},{3},{2,1},{3,1},{3,2},{3,2,1),

集合{1},{2},{3}的交替和分别为1,2,3,

集合{2,1}的交替和为2-1=1,

集合{3,1}的交替和为3-1=2,

集合{3,2}的交替和为3-2=1,

集合{3,2,1}的交替和为3-2+1=2,

所以集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.

(2)①集合{1,2,3}的所有非空子集中，数字1,2,3各出现4=2?次，

集合{1,2,3,4}的所有非空子集为{1},{2},{3},{4},{2,1},{3,1},{4,1},{3,2},

{2,4},{3,4},{3,2,1},{4,2,1},{4,3,1},{4,3,2},{4,3,2,1),

其中数字1,2,3,4各出现8=23次，在集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，含1的

子集的个数为2,=16,

故数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理，数

字2,3,4,5各出现24=16(次),

同理，在集合{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，数字1,2,3,4,5,6各出现

25=32(次),

所以集合M的所有非空子集的元素和的总和为32x(1+2+3+4+5+6)=672.

②设集合{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4}的交替和分别邑，S3,”,

集合{1}的所有非空子集的交替和H=1,

集合{1,2}的所有非空子集的交替和邑=1+2+(2-1)=4,

集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和

S3=1+2+3+(2-1)+(3-1)+(3-2)+(3-2+1)=12,

集合{1,2,3,4}的所有非空子集的交替和

S4=1+2+3+4+(2-1)+(3-1)+(4-1)+(3-2)+(4-2)+(4-3)+(3-2+1)+

(4-2+1)+(4—3+1)+(4—3+2)+(4—3+2—1)=32,

所以根据前4项猜测集合{1,2,…的所有非空子集的交替和总和S”=加2小，

5

所以集合M的所有非空子集的交替和的总和S6=6X2=192.

18.答案：(1)m=0或m=-工

8

(2){川m<—^]

解析：(1)若m=0,方程化为x—2=0,此时方程有且仅有一个根％=2；

若THw0,则当且仅当方程的判别式△=I2-4x加x(-2)=0,即机=-工时，

8

方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素，

所以实数m的值为加=o或加=