河北省2024-2025学年高三年级上册一轮复习联考（二）数学试题试题及答案

2025届高三一轮复习联考（二）

数学试题

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数2（2-1）=4+31,则2的共辗复数是（）

Al+2iB.-l+2iC.l-2iD.-l-2i

【答案】C

【解析】

【分析】由复数的四则运算及共轨复数的概念即可求解.

【详解】由z（2—i）=4+3i,

(4+3i)(2+i)5+10i

可得:=l+2i,

(2-i)(2+i)5

所以z的共辗复数是1—2i.

故选：C.

2.已知集合4={1,3},集合8=32—2%—3<0卜则集合AB=（）

A,{1,3}B.{1}C.{3}D,0

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式求得集合3,进而求得

【详解】X2-2X-3=(X-3)(X+1)<0,解得—1<X<3,所以6={x[—1<X<3},

所以AcB={l}.

故选：B

3.已知命题。：玉e(—1,2),e「x—3<0，则2的否定是()

A.Vxe(-1,2),e'-x-3>0B.3xe(-l,2),e'-x-3>0

C.\/xee(—1,2),e1—x—3<0D.3xe(—1,2),e*—x—3<0

【答案】A

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案.

【详解】命题。：*c(―1,2),eA—x—3<0>是存在量词命题，

所以P的否定是：Vxe(-1,2),el-x-3>0.

故选：A

4.已知S”为等差数列｛4｝的前九项和，若2q+3%i=20,贝23=()

A.39B.52C.65D.78

【答案】B

【解析】

【分析】由2%+3%i=20可得%=4,后由等差数列性质结合前w项和公式可得答案.

【详解】设｛&：｝公差为d,由2〃i+3〃ii=20,则2al+3。口=5q+30J=20=>q+6d=4=>%=4.

则$3=13(%；43)==13%=52.

故选：B

5.sin10(tan20+A/3)=()

A.tan20°B.2tan70°C.tan70°D.2tan20°

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角恒等变换的知识化简求得正确答案.

【详解】sinl0°(tan20°+回=sin10°|-m2°-+Q|

Icos20。)

.…sin20。+6cos20。

=sin10x--------------------------

cos20°

2Lin20。+

cos20°

=sinlO°x1

cos20°

=sinl”2皿2。。+6。。）

cos20°

,sc2sin80°2sinl00cosl0°

=sin10x-----------=---------------------

cos20°cos20°

sin20°

=tan20°.

cos20°

故选：A

6.若单位向量a/满足|3a+2q=J7,则a/的夹角为（）

兀7127r

A.—B.-C.—D.

633

【答案】C

【解析】

【分析】根据单位向量定义将等式平方可得。力=-1,再由夹角公式计算可得结果.

【详解】依题意可知,卜忖=1,

由13〃+20=可得9Q+4Z?+12a♦b=7，即12a。Z?=—6,tilBPa-b=——；

..万a-b1

设a力的夹角为。，可得c°s°=RW=-]，

27r

又eer[o,n],可得e=.

故选：c

7.在数学领域中，数形结合思想是极为关键的一种思想方法，它将数的概念与几何图形的特性相融合，使

抽象的数学问题更加具体，复杂的几何问题更加直观.正如我国著名数学家华罗庚教授所言：“数与形本相

互依存，岂能分开？”华罗庚教授的话简洁有力地诠释了数形结合，数和形作为不可分割的统一体，彼此相

互依存.已知/（%）=山（。4%2+1-2x）,g（九）=cosx，则如图表示的是（）

B.f(x)+g(x)C./(x)-g(x)D.f(x)g(x)

,g(x)

【答案】D

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性的定义以及余弦函数的性质求解.

【详解】因为，4*+l>2x恒成立，所以函数/(%)的定义域为对

又因为/(—X)+/(x)=ln(V4x2+l+2x)+ln(74x2+l-2x)=ln(4x2+1—)=0,

所以/(—x)=—/(x),则函数/(x)是奇函数，

g(x)=cosx为偶函数，

如图所示的图象为奇函数的图象，

f(x)+g(x),/(x)-g(x)均为非奇非偶函数，B,C错误；

函数里的定义域为+防4,但所示图象的定义域为R,A错误；

g(x)I2J

函数/(x)g(x)为奇函数，且定义域为R,满足题意，D正确；

故选：D.

8.已知/'(X)是/(X)定义在(0,+8)上的导函数，同时7•'(x)<l—"X),对任意a〉/,〉。，则必有()

A.+a<bf(a)+bB.bf(b)-b<af(a}-a

C.bf(d)-a<af(b)-bD.+Z?<bf(Jb)+a

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数必■(%)-%,求导可得灯■(%)-%为单调递减函数，即可求解.

【详解】由于/(X)的定义域为(0,+8),且/'(x)<J"X),

X

故矿⑺+/(x)-l<0,

因此(W(x)-%)=xf\x)+/(x)-1<0,

因此y=?(x)—x为单调递减函数，由于故故4(。)一〃，

即af(a)+b<bf(b)+a,

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若xeR,则“2f—3x-2<0”成立的充分不必要条件可以为()

A.xe[-1,2)B.xG(0,1)

C.XG(0,2)D.xe(-1,1)

【答案】BC

【解析】

【分析】利用一元二次不等式的解法和充分必要条件的概念一一判断即可.

【详解】由2f—3x—2<0解得,-g<x<2,即xe(-g,2),

对A,因为xe[—1,2)推不出xe(—g,2),xe(―；,2)能推出xe[―1,2),

所以xe[-1,2)是xe(-g,2)的必要不充分条件，A错误；

对B,因为xe(0,l)能推出xe(—；,2),xe(―g,2)不能推出xe(0,1),

所以xe(0,1)是xe(―；,2)的充分不必要条件，B正确；

对C,因为xe(0,2)能推出xe(—g,2),xe(―；,2)不能推出xe(0,2),

所以xe(0,2)是xe(-士2)的充分不必要条件，C正确；

2

对D,因为"(—1,1)不能推出xe(—：,2),xe(—g,2)不能推出xe(—1,1),

所以xe(―1,1)是xe2)的既不充分也不必要条件，D错误；

故选:BC.

10.若函数/(x)=；or2—xlnx+x在区间(0,+8)上存在单调递减区间，则实数。可以是()

11

A.0B.-C.-D.1

32

【答案】AB

【解析】

InY

【分析】先求出导函数/(%)，再利用导数与函数单调性的关系得到—在(0,+8)上有解，再利用导

X

Inx

数求得——的最大值，从而得解.

X

【详解】由己知得/'(x)=ax-(lnx+l)+l=ax-lnx,

因为于(x)在(0,+8)上存在单调递减区间，

1nx

则以-lnxvO在(0,+8)上有解，即a<---在(0,+°o)上有解，

x

人/、Inxm,/、1-lnx

令g(%)=---，则g(%)=——,

XX

当0<x<e时，g'(x)>0,g(x)递增，X>e时，g\x)<0,g(x)递减，

所以g(%)max=g(e)=,，所以

ee

故选：AB.

n.已知函数了(乃=40)5(8+夕)(4>0,。>0,时<1)部分图象如图所示，则下列命题正确的是()

兀

B.(D--

3

c./(X)在［把5兀，3兀］上的最小值为—2

2

7T

D.将函数/(%)的图象向右平移§个单位长度得到g(x)的图象，g(x)是偶函数

【答案】ACD

【解析】

JTJT

【分析】由图象可求得4=2,利彤图象过点(0,1),求得°=±—,分类讨论求得。=2,0=—-,判断

33

AB,进而计算可判断CD.

【详解】由图象可得A=2,所以/(x)=2cos(or+。)，

又函数/(%)=2cos3x+e)过点(0,1),所以/(O)=2cos0=1,

JCLL1tI兀

H<-^所以。=±3'

兀71

当°二—时，/(X)=2cos(6t)x+—),

33

又函数/(x)=2cos(Ox+，)过点(2,2),所以f(x)=2cos(—a>+—)=2,

3663

解得COS(《G+；)=1,所以《刃+；=2左兀,左£2,所以0=-2+12E,左£Z①，

27r7T27rTT

又最小正周期」>4x±=」，所以0<0<3②，由①②可得无解，故夕="不符合题意,

(V633

TTIT

当0=时，/(%)=2cos(6t>x--),

,JIJIJIJI

又函数/(x)=2cos(6t>x——)过点(一,2),所以又％)=2cos(—g——)=2,

3663

解得COS(2G-()=1,所以.内一,=2也,左sZ,所以0=2+12防1,4wZ①,

2兀Ji2兀

又最小正周期一>4x—=——，所以0<刃<3②，由①②可得G=2,

CD63

JT

所以函数/(%)=2cos(2x—1)，故A正确，B错误;

「5兀rEC兀「14兀1771r

xG[—,3兀]，贝！J2%—£[----,-----]

2333

bt、ic兀15兀8兀,//8兀16兀兀、c厂c

所以2元——-----，即x=—时，f(—)—2cos(----------)=2cos5兀=—2,

333333

5兀

所以/(X)在[H,3兀]上的最小值为—2,故C正确；

2

7T

由函数/(X)的图象向右平移一个单位长度得到g(x)的图象，

3

JTJT

可得g(x)=2cos[2(x——)——]=2cos(2x一兀)=一2cos2x,

所以g(—x)=-2cos(-2x)=-2cos2x=g(x),所以g(x)是偶函数，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：正确求解需熟练常握正余弦型函数的图象与性质，分类讨论确定私。是关键，进而利

用正余弦型函数的性质可得结论.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(x)=ax-3+2x(a>0,a^l)的图象恒过的定点为.

【答案】(3,7)

【解析】

【分析】根据题意结合指数函数定点分析求解即可.

【详解】令x—3=0,解得x=3,且/(3)=7,

所以函数/(X)的图象恒过的定点为(3,7).

故答案为：(3,7).

13.己知xe［二型］,函数/(x)=e'cos(x+3)+J^sin(x+3)+cos2x在x处取得最小值，贝U

3444

sin0+也sin(8+—)=.

2

【答案】73

【解析】

【分析】利用三角恒等变换化简函数/(%)，结合复合函数求最值得了(力取得最小值时x的值，即。的值，

化简所求式子，再代入求解即可得答案.

【详解】/(%)=A/2COS(X+—)+V2sin(x+—)+cos2x

44

c.兀、兀］

=2sinxd■—+—+cos2x

LI4；4j

=2sinx+—+cos2x

I2j

=2cosx+2cos2x-1

J工1丫3

I2j2

因为无£号,今］,所以cos%£，

127T27T

故当COSX=—Q,即x=?-时，/(%)取得最小值，即6=§,

所以sin6+且sin+g［=sin'—若cos6=2sin一=2sinm=班.

故答案为：瓜

14.己知定义在R上的函数/(%),满足/(x—3)+/(5—x)=2,/(2x+2)为偶函数，/(x)满足/(2)=2,

2023

则£/(，)=.

Z=1

【答案】2024

【解析】

【分析】由/'(2x+2)为偶函数，可得/(%)的图象关于直线％=2对称，由/。-3)+/(5—©=2,可得

/(X)的图象关于点(1,1)中心对称，则可求得周期T=4,再由己知条件可求得/(I)、/(2)、/(3)、/(4),

利用函数的周期性即可求得答案.

【详解】因为/(2x+2)为偶函数，则/(2x+2)=/(—2x+2),

所以函数/(x)的图象关于直线x=2对称，

因为/(%-3)+/(5-％)=2,

所以函数/(%)的图象关于点(1』)中心对称，

所以函数/(x)的周期T=4x(2—1)=4,

令x=4,则/(4一3)+/(5-4)=2/⑴=2,得，(1)=1,

则/(3)=/⑴=1,

又42)=2,

令％=3,则/(3-3)+/(5—3)=/(0)+/(2)=2,得/(0)=0,

贝4(4)=/(0)=0,

所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=4,

2023

则Z/(；)=4x505+f(l)+/(2)+/(3)=2020+1+2+1=2024.

1=1

故答案：2024.

【点睛】关键点点睛：利用函数的对称性，由己知条件求出函数的对称轴和对称中心，进而求得函数的周

期，利用周期性即可求和.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知正实数p,q为常数，且。＞1,无穷数列｛4｝的各项均为正整数，且对任意正整数〃22,

a”=pa,i+4恒成立•

(1)证明：无穷数列14+为等比数列；

IP—1J

⑵若2=2,q=9=l,Z?„=log2(a„+1),求数列也｝的通项公式及数列也｝的前〃项和S“.

【答案】(1)证明见解析

/C、7c/+〃

⑵…，S〃=M

【解析】

c、

【分析】(1)由题意可得%_1+」二，结合等比数列定义即可得证；

P-lIPTJ

(2)结合所给数据，由等比数列定义可得数列｛为｝通项公式，即可得数列｛%｝的通项公式，再利用等差数

列求和公式计算即可得S”.

【小问1详解】

/、

,tqqpqq

当“22时，an+--=pan_｝+q+--=pan^+--=pan_｝+--，

P—lP—lP—lIP—”

又43,p>Lq>Q,故q+—^7〉0,

P—l

故无穷数列an+-^―是以q+=为首项，P为公比的等比数列；

〔P-1JPT

【小问2详解】

a.+-^—=l+-^—=2,故4+，=6,+'=2-2"7=2"

1p-12-1“p-1n2-1

n

即an=2"-l,贝U么=log2(2-l+l)=n,

2

me,ccn(n+l)n+n

贝1JS“=1+2+3++n=-------=--------.

"22

2X+h

16.已知函数/(x)=,若/(x)是定义域为R的奇函数.

1+a-2X

(1)求出函数/(x)的解析式；

(2)求不等式/(1+/)+/(3-5%)<0的解集.

V-1

【答案】(1)y(x)=------

1+2”

⑵(1,4)

【解析】

【分析】(1)根据奇函数的定义取特值求。涉的值，并代入检验即可；

(2)分析可知/(%)在R上单调递增，结合单调性和奇偶性解不等式即可.

【小问1详解】

因为/(%)是定义域为R的奇函数，则/(0)=上2=0,解得b=—1,

1+(2

若Z?=—1,则y(x)=2-1,

1+a-2X

1

1Fi

且/(i)=—/(—i)，即一—77=—%，解得。=1，

1+2a]+。a+2

2

2X-1

若a=l,b=-l,贝！-----，

1+2”

2X-12~x-I2X-11-2X

可得/⑴+/(T)=K+k-----------1-----------=0，

1+2X1+2工

即/(%)=—/(一%)，符合题意

V-1

综上所述：

1+2"

小问2详解】

因为/(X)=^2*_-1-=1——2—,

l+2rl+2r

因为丁=2工在R上单调递增，则“可在R上单调递增，

若/(l+x2)+/(3-5%)<0,则/(1+%2)<一/(3-5%)=/(5%-3),

可得1+/<5%—3，即为2一5%+4<0，解得l<x<4,

所以原不等式的解集为(1,4).

nfj_z-»Q-|nf

17.在AABC中，角AB,C所对的边分别为a,b,c,Z?=l且------------=sin(B+C).

a-c

(«丰c)

(1)求△ABC的外接圆半径；

(2)若AABC为锐角三角形，求AABC周长的取值范围.

【答案】（1）昱

3

（2）（1+73,3]

【解析】

【分析】（1）由正弦定理角化边，在结合余弦定理求得cos3,即可求解；

（2）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将a+c转化为三角函数，根据VA3C

为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出a+c范围即可求解.

【小问1详解】

因为A+3+C=7C,所以sin(5+C)=sinA,

sinB-csinC

由=sin(B+C),

a-c

b-c

可得：U-=Q,即办=〃2+02—

a-c

又b=l,所以"=〃2+，—a。,

sinB=叵,

所以cos3=

lac2

b_1_273

所以高^一百一丁-

V

所以△ABC的外接圆半径为走.

3

【小问2详解】

兀2兀

由（1）知，B=-,A+C=—,

33

b_c_a_l_2百

由正弦定理有sin8-sinC-sinA_71r-F，

所以a+c=述sinA+毡疝。=述疝4+述sin

3333

=^1sinA+

3

=A/3sinA+cosA

=2sin^A+-^-j,

0<A<-(、

2

因为VABC为锐角三角形，所以〈c，解得人[£T二t,T大t\，

八2兀人兀<62)

0<----A<—、/

I32

所以4+^€与引，则2sin[A+W1e(62],

所以百<i+cV2，贝U1+A/3<a+b+c<3»

所以VABC周长的取值范围为(1+括,3].

18.己知函数/(x)=ox+lnx+exT.

(1)当。=1时，求曲线/(%)在点(1,7(D)处的切线方程；

(2)若函数//(%)=〃％)+犬+lnx-e*T,讨论函数/?(%)的单调性.

【答案】(1)3x-y-l=0.

(2)当aW时，例»在(0,+8)上为增函数；

当。<-4时，丸(尤)在(0,-"一16),(-"+&『-16,+?)上为增函数，在

44

(_q_吗_[+或2任)上为减函数.

454

【解析】

【分析】(1)求广(%),计算/'(1),得到切线的斜率，求出切线的方程.

(2)求/z'(x),结合基本不等式对。的取值分类讨论，根据/i(x)的正负分析力(功的单调性.

【小问1详解】

由题意得，当1=1时，/(x)=x+lnx+eA-1,

f'(x)=l+-+ex-l,

/(l)=l+lnl+e°=2,/,(l)=l+l+e°=3,

・・・曲线/(X)在点(1,/(1))处的切线方程为y—2=3(x—1),

整理得3%-丁一1=0.

【小问2详解】

/z(x)=/(x)+x2+lnx-e"T,

/z(x)-ax+x1+21nx，定义域为(0,+°o)，

,2

二・旗%)=〃+2%+—,

x

2I22

・・,当x>0时，2x+—22」2x・一二4(当且仅当2x=—即x=1时等号成立),

X\XX

・••当“NT时，”(%)20在%£(。,+8)恒成立，人(%)在(0,+8)上为增函数.

当Q<—4时，旗%)=〃+2%+—=+"'+2.

XX

令g(九)=2九2+〃犬+2(%>0),

•・•方程2f+公+2=0的判别式A=/—16>0，

工方程有两个不相等的实数根毛,%2，且~+々=~|>0，X1X2=1>0,

・,•%>0,%2>0.

解方程2x2+依+2=0得]二———-———，

4

人-a-yja2-16—a+]a2-16rjt.|/

令M=-----------------------------，=--------------，则不<%2.

1424

g(%)图象如图:

当xw(O,X])即xi(0,J二19)时,g(x)>0,〃(x)>0,〃(%)为增函数，

当xe®,4)即xiJa-16,-a+Ja-16)时,且(幻<0,h'(x)<0,/?(%)为减函数，

44

当xe(x,,+oo)即％?16、?)时，g(x)>0,//(尺>0,/?(%)为增函数.

4

综上，当aW时，丸。)在(0,+8)上为增函数，

当。<-4时，丸(幻在(0「.一,片一16),(-"+&『-16,+?)上为增函数，在

44

(-。-荷-16,-。+-16)上为减函数.

44

【点睛】思路点睛：本题考查分类讨论法求解函数的单调区间(含参)，具体思路如下：

29

c1)求成x)=a+2x+—(x>0),根据2x+—24对。分aN-4和a<-4两种情况讨论.

XX

(2)当a27•时，/?(%)>0,/?(%)在(0,+8)上为增函数.

(3)当a<-4时，h^x)=—~/，构造函数g(x)=2/+奴+2(x>0),通过对g(x)正负的分析

x

得出h(x)的单调性.

19.一个混沌系统通常用一个变量来描述其在某个特定时刻的状态，为了保持系统的不规则性和不可预测性,

这个状态变量需要通过特定的数学规则进行变换，以反映系统内在的动态行为.这种变换通常涉及复杂的

非线性函数，它们能够使得系统的微小变化在长时间内产生巨大的影响，这种现象被称为“蝴蝶效应”.若对

1

于一数列｛七｝都满足xn+x=/(%„),并且/(x)=-ax+(«+2)x.

(1)当a=l时，对V“eN*满足％=/(x“+i)，若%#0,求｛五｝的通项公式；

(2)当a=-1时，｛%｝不是常数列，且当片0,｛九“｝中是否存在连续三项构成等差数列？若存在，

请求出，若不存在，说明理由；

X1

(3)若。=一1时，X1=2,Sn=一~,证明：Si+S,+-+S<—.

玉+i-4

【答案】⑴无“=2；

(2)存在连续三项%,超，七成等差数列；

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)由题意可得％=-考+3X2,x2=-x；+3%i,两式相减可得々=石或々+%=4,从而得%]=2,

%=2,又由/(2)=2,由归纳法即可得答案；

(2)假设数列｛%｝中连续的三项51，七“,引向，根eN*,根22构成等差数列，则可得/_]=-2,

xm=2,xm+l=6,再由f+x+2=o无实数解，即可得答案；

(3)由题意可得数列｛4｝单调递增，且且S”(羊「一----—-]<-(--------),禾I」

x

2n(X"—1)X”(X“+1)2.xnXn+l

用裂项相消，即可得证.

【小问1详解】

解：因为。=1,所以/0)=-/+3工，

所以石=-%2+3X2,

又因为x“+i=/(%),

所以马=-X；+3为，

所以々一石=(X2-X1)(X2+X1)-3(X2-X1),

所以々=X]或4+X]=4,

右X、—X],"I弋入％=—X；+3%2，

则有无1=0或%=2,

又因为相片0,所以占=2,