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文档简介
2025届高三一轮复习联考(二)
数学试题
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本
试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟,满分150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.已知复数2(2-1)=4+31,则2的共辗复数是()
Al+2iB.-l+2iC.l-2iD.-l-2i
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的四则运算及共轨复数的概念即可求解.
【详解】由z(2—i)=4+3i,
(4+3i)(2+i)5+10i
可得:=l+2i,
(2-i)(2+i)5
所以z的共辗复数是1—2i.
故选:C.
2.已知集合4={1,3},集合8=32—2%—3<0卜则集合AB=()
A,{1,3}B.{1}C.{3}D,0
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式求得集合3,进而求得
【详解】X2-2X-3=(X-3)(X+1)<0,解得—1<X<3,所以6={x[—1<X<3},
所以AcB={l}.
故选:B
3.已知命题。:玉e(—1,2),e「x—3<0,则2的否定是()
A.Vxe(-1,2),e'-x-3>0B.3xe(-l,2),e'-x-3>0
C.\/xee(—1,2),e1—x—3<0D.3xe(—1,2),e*—x—3<0
【答案】A
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案.
【详解】命题。:*c(―1,2),eA—x—3<0>是存在量词命题,
所以P的否定是:Vxe(-1,2),el-x-3>0.
故选:A
4.已知S”为等差数列{4}的前九项和,若2q+3%i=20,贝23=()
A.39B.52C.65D.78
【答案】B
【解析】
【分析】由2%+3%i=20可得%=4,后由等差数列性质结合前w项和公式可得答案.
【详解】设{&:}公差为d,由2〃i+3〃ii=20,则2al+3。口=5q+30J=20=>q+6d=4=>%=4.
则$3=13(%;43)==13%=52.
故选:B
5.sin10(tan20+A/3)=()
A.tan20°B.2tan70°C.tan70°D.2tan20°
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角恒等变换的知识化简求得正确答案.
【详解】sinl0°(tan20°+回=sin10°|-m2°-+Q|
Icos20。)
.…sin20。+6cos20。
=sin10x--------------------------
cos20°
2Lin20。+
cos20°
=sinlO°x1
cos20°
=sinl”2皿2。。+6。。)
cos20°
,sc2sin80°2sinl00cosl0°
=sin10x-----------=---------------------
cos20°cos20°
sin20°
=tan20°.
cos20°
故选:A
6.若单位向量a/满足|3a+2q=J7,则a/的夹角为()
兀7127r
A.—B.-C.—D.
633
【答案】C
【解析】
【分析】根据单位向量定义将等式平方可得。力=-1,再由夹角公式计算可得结果.
【详解】依题意可知,卜忖=1,
由13〃+20=可得9Q+4Z?+12a♦b=7,即12a。Z?=—6,tilBPa-b=——;
..万a-b1
设a力的夹角为。,可得c°s°=RW=-],
27r
又eer[o,n],可得e=.
故选:c
7.在数学领域中,数形结合思想是极为关键的一种思想方法,它将数的概念与几何图形的特性相融合,使
抽象的数学问题更加具体,复杂的几何问题更加直观.正如我国著名数学家华罗庚教授所言:“数与形本相
互依存,岂能分开?”华罗庚教授的话简洁有力地诠释了数形结合,数和形作为不可分割的统一体,彼此相
互依存.已知/(%)=山(。4%2+1-2x),g(九)=cosx,则如图表示的是()
B.f(x)+g(x)C./(x)-g(x)D.f(x)g(x)
,g(x)
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性的定义以及余弦函数的性质求解.
【详解】因为,4*+l>2x恒成立,所以函数/(%)的定义域为对
又因为/(—X)+/(x)=ln(V4x2+l+2x)+ln(74x2+l-2x)=ln(4x2+1—)=0,
所以/(—x)=—/(x),则函数/(x)是奇函数,
g(x)=cosx为偶函数,
如图所示的图象为奇函数的图象,
f(x)+g(x),/(x)-g(x)均为非奇非偶函数,B,C错误;
函数里的定义域为+防4,但所示图象的定义域为R,A错误;
g(x)I2J
函数/(x)g(x)为奇函数,且定义域为R,满足题意,D正确;
故选:D.
8.已知/'(X)是/(X)定义在(0,+8)上的导函数,同时7•'(x)<l—"X),对任意a〉/,〉。,则必有()
A.+a<bf(a)+bB.bf(b)-b<af(a}-a
C.bf(d)-a<af(b)-bD.+Z?<bf(Jb)+a
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数必■(%)-%,求导可得灯■(%)-%为单调递减函数,即可求解.
【详解】由于/(X)的定义域为(0,+8),且/'(x)<J"X),
X
故矿⑺+/(x)-l<0,
因此(W(x)-%)=xf\x)+/(x)-1<0,
因此y=?(x)—x为单调递减函数,由于故故4(。)一〃,
即af(a)+b<bf(b)+a,
故选:D
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若xeR,则“2f—3x-2<0”成立的充分不必要条件可以为()
A.xe[-1,2)B.xG(0,1)
C.XG(0,2)D.xe(-1,1)
【答案】BC
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法和充分必要条件的概念一一判断即可.
【详解】由2f—3x—2<0解得,-g<x<2,即xe(-g,2),
对A,因为xe[—1,2)推不出xe(—g,2),xe(―;,2)能推出xe[―1,2),
所以xe[-1,2)是xe(-g,2)的必要不充分条件,A错误;
对B,因为xe(0,l)能推出xe(—;,2),xe(―g,2)不能推出xe(0,1),
所以xe(0,1)是xe(―;,2)的充分不必要条件,B正确;
对C,因为xe(0,2)能推出xe(—g,2),xe(―;,2)不能推出xe(0,2),
所以xe(0,2)是xe(-士2)的充分不必要条件,C正确;
2
对D,因为"(—1,1)不能推出xe(—:,2),xe(—g,2)不能推出xe(—1,1),
所以xe(―1,1)是xe2)的既不充分也不必要条件,D错误;
故选:BC.
10.若函数/(x)=;or2—xlnx+x在区间(0,+8)上存在单调递减区间,则实数。可以是()
11
A.0B.-C.-D.1
32
【答案】AB
【解析】
InY
【分析】先求出导函数/(%),再利用导数与函数单调性的关系得到—在(0,+8)上有解,再利用导
X
Inx
数求得——的最大值,从而得解.
X
【详解】由己知得/'(x)=ax-(lnx+l)+l=ax-lnx,
因为于(x)在(0,+8)上存在单调递减区间,
1nx
则以-lnxvO在(0,+8)上有解,即a<---在(0,+°o)上有解,
x
人/、Inxm,/、1-lnx
令g(%)=---,则g(%)=——,
XX
当0<x<e时,g'(x)>0,g(x)递增,X>e时,g\x)<0,g(x)递减,
所以g(%)max=g(e)=,,所以
ee
故选:AB.
n.已知函数了(乃=40)5(8+夕)(4>0,。>0,时<1)部分图象如图所示,则下列命题正确的是()
兀
B.(D--
3
c./(X)在[把5兀,3兀]上的最小值为—2
2
7T
D.将函数/(%)的图象向右平移§个单位长度得到g(x)的图象,g(x)是偶函数
【答案】ACD
【解析】
JTJT
【分析】由图象可求得4=2,利彤图象过点(0,1),求得°=±—,分类讨论求得。=2,0=—-,判断
33
AB,进而计算可判断CD.
【详解】由图象可得A=2,所以/(x)=2cos(or+。),
又函数/(%)=2cos3x+e)过点(0,1),所以/(O)=2cos0=1,
JCLL1tI兀
H<-^所以。=±3'
兀71
当°二—时,/(X)=2cos(6t)x+—),
33
又函数/(x)=2cos(Ox+,)过点(2,2),所以f(x)=2cos(—a>+—)=2,
3663
解得COS(《G+;)=1,所以《刃+;=2左兀,左£2,所以0=-2+12E,左£Z①,
27r7T27rTT
又最小正周期」>4x±=」,所以0<0<3②,由①②可得无解,故夕="不符合题意,
(V633
TTIT
当0=时,/(%)=2cos(6t>x--),
,JIJIJIJI
又函数/(x)=2cos(6t>x——)过点(一,2),所以又%)=2cos(—g——)=2,
3663
解得COS(2G-()=1,所以.内一,=2也,左sZ,所以0=2+12防1,4wZ①,
2兀Ji2兀
又最小正周期一>4x—=——,所以0<刃<3②,由①②可得G=2,
CD63
JT
所以函数/(%)=2cos(2x—1),故A正确,B错误;
「5兀rEC兀「14兀1771r
xG[—,3兀],贝!J2%—£[----,-----]
2333
bt、ic兀15兀8兀,//8兀16兀兀、c厂c
所以2元——-----,即x=—时,f(—)—2cos(----------)=2cos5兀=—2,
333333
5兀
所以/(X)在[H,3兀]上的最小值为—2,故C正确;
2
7T
由函数/(X)的图象向右平移一个单位长度得到g(x)的图象,
3
JTJT
可得g(x)=2cos[2(x——)——]=2cos(2x一兀)=一2cos2x,
所以g(—x)=-2cos(-2x)=-2cos2x=g(x),所以g(x)是偶函数,故D正确.
故选:ACD.
【点睛】方法点睛:正确求解需熟练常握正余弦型函数的图象与性质,分类讨论确定私。是关键,进而利
用正余弦型函数的性质可得结论.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.函数/(x)=ax-3+2x(a>0,a^l)的图象恒过的定点为.
【答案】(3,7)
【解析】
【分析】根据题意结合指数函数定点分析求解即可.
【详解】令x—3=0,解得x=3,且/(3)=7,
所以函数/(X)的图象恒过的定点为(3,7).
故答案为:(3,7).
13.己知xe[二型],函数/(x)=e'cos(x+3)+J^sin(x+3)+cos2x在x处取得最小值,贝U
3444
sin0+也sin(8+—)=.
2
【答案】73
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简函数/(%),结合复合函数求最值得了(力取得最小值时x的值,即。的值,
化简所求式子,再代入求解即可得答案.
【详解】/(%)=A/2COS(X+—)+V2sin(x+—)+cos2x
44
c.兀、兀]
=2sinxd■—+—+cos2x
LI4;4j
=2sinx+—+cos2x
I2j
=2cosx+2cos2x-1
J工1丫3
I2j2
因为无£号,今],所以cos%£,
127T27T
故当COSX=—Q,即x=?-时,/(%)取得最小值,即6=§,
所以sin6+且sin+g[=sin'—若cos6=2sin一=2sinm=班.
故答案为:瓜
14.己知定义在R上的函数/(%),满足/(x—3)+/(5—x)=2,/(2x+2)为偶函数,/(x)满足/(2)=2,
2023
则£/(,)=.
Z=1
【答案】2024
【解析】
【分析】由/'(2x+2)为偶函数,可得/(%)的图象关于直线%=2对称,由/。-3)+/(5—©=2,可得
/(X)的图象关于点(1,1)中心对称,则可求得周期T=4,再由己知条件可求得/(I)、/(2)、/(3)、/(4),
利用函数的周期性即可求得答案.
【详解】因为/(2x+2)为偶函数,则/(2x+2)=/(—2x+2),
所以函数/(x)的图象关于直线x=2对称,
因为/(%-3)+/(5-%)=2,
所以函数/(%)的图象关于点(1』)中心对称,
所以函数/(x)的周期T=4x(2—1)=4,
令x=4,则/(4一3)+/(5-4)=2/⑴=2,得,(1)=1,
则/(3)=/⑴=1,
又42)=2,
令%=3,则/(3-3)+/(5—3)=/(0)+/(2)=2,得/(0)=0,
贝4(4)=/(0)=0,
所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=4,
2023
则Z/(;)=4x505+f(l)+/(2)+/(3)=2020+1+2+1=2024.
1=1
故答案:2024.
【点睛】关键点点睛:利用函数的对称性,由己知条件求出函数的对称轴和对称中心,进而求得函数的周
期,利用周期性即可求和.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知正实数p,q为常数,且。>1,无穷数列{4}的各项均为正整数,且对任意正整数〃22,
a”=pa,i+4恒成立•
(1)证明:无穷数列14+为等比数列;
IP—1J
⑵若2=2,q=9=l,Z?„=log2(a„+1),求数列也}的通项公式及数列也}的前〃项和S“.
【答案】(1)证明见解析
/C、7c/+〃
⑵…,S〃=M
【解析】
c、
【分析】(1)由题意可得%_1+」二,结合等比数列定义即可得证;
P-lIPTJ
(2)结合所给数据,由等比数列定义可得数列{为}通项公式,即可得数列{%}的通项公式,再利用等差数
列求和公式计算即可得S”.
【小问1详解】
/、
,tqqpqq
当“22时,an+--=pan_}+q+--=pan^+--=pan_}+--,
P—lP—lP—lIP—”
又43,p>Lq>Q,故q+—^7〉0,
P—l
故无穷数列an+-^―是以q+=为首项,P为公比的等比数列;
〔P-1JPT
【小问2详解】
a.+-^—=l+-^—=2,故4+,=6,+'=2-2"7=2"
1p-12-1“p-1n2-1
n
即an=2"-l,贝U么=log2(2-l+l)=n,
2
me,ccn(n+l)n+n
贝1JS“=1+2+3++n=-------=--------.
"22
2X+h
16.已知函数/(x)=,若/(x)是定义域为R的奇函数.
1+a-2X
(1)求出函数/(x)的解析式;
(2)求不等式/(1+/)+/(3-5%)<0的解集.
V-1
【答案】(1)y(x)=------
1+2”
⑵(1,4)
【解析】
【分析】(1)根据奇函数的定义取特值求。涉的值,并代入检验即可;
(2)分析可知/(%)在R上单调递增,结合单调性和奇偶性解不等式即可.
【小问1详解】
因为/(%)是定义域为R的奇函数,则/(0)=上2=0,解得b=—1,
1+(2
若Z?=—1,则y(x)=2-1,
1+a-2X
1
1Fi
且/(i)=—/(—i),即一—77=—%,解得。=1,
1+2a]+。a+2
2
2X-1
若a=l,b=-l,贝!-----,
1+2”
2X-12~x-I2X-11-2X
可得/⑴+/(T)=K+k-----------1-----------=0,
1+2X1+2工
即/(%)=—/(一%),符合题意
V-1
综上所述:
1+2"
小问2详解】
因为/(X)=^2*_-1-=1——2—,
l+2rl+2r
因为丁=2工在R上单调递增,则“可在R上单调递增,
若/(l+x2)+/(3-5%)<0,则/(1+%2)<一/(3-5%)=/(5%-3),
可得1+/<5%—3,即为2一5%+4<0,解得l<x<4,
所以原不等式的解集为(1,4).
nfj_z-»Q-|nf
17.在AABC中,角AB,C所对的边分别为a,b,c,Z?=l且------------=sin(B+C).
a-c
(«丰c)
(1)求△ABC的外接圆半径;
(2)若AABC为锐角三角形,求AABC周长的取值范围.
【答案】(1)昱
3
(2)(1+73,3]
【解析】
【分析】(1)由正弦定理角化边,在结合余弦定理求得cos3,即可求解;
(2)根据正弦定理边化角,结合两角和的正弦公式及辅助角公式,将a+c转化为三角函数,根据VA3C
为锐角三角形得出A的范围,结合三角函数的性质得出a+c范围即可求解.
【小问1详解】
因为A+3+C=7C,所以sin(5+C)=sinA,
sinB-csinC
由=sin(B+C),
a-c
b-c
可得:U-=Q,即办=〃2+02—
a-c
又b=l,所以"=〃2+,—a。,
sinB=叵,
所以cos3=
lac2
b_1_273
所以高^一百一丁-
V
所以△ABC的外接圆半径为走.
3
【小问2详解】
兀2兀
由(1)知,B=-,A+C=—,
33
b_c_a_l_2百
由正弦定理有sin8-sinC-sinA_71r-F,
所以a+c=述sinA+毡疝。=述疝4+述sin
3333
=^1sinA+
3
=A/3sinA+cosA
=2sin^A+-^-j,
0<A<-(、
2
因为VABC为锐角三角形,所以〈c,解得人[£T二t,T大t\,
八2兀人兀<62)
0<----A<—、/
I32
所以4+^€与引,则2sin[A+W1e(62],
所以百<i+cV2,贝U1+A/3<a+b+c<3»
所以VABC周长的取值范围为(1+括,3].
18.己知函数/(x)=ox+lnx+exT.
(1)当。=1时,求曲线/(%)在点(1,7(D)处的切线方程;
(2)若函数//(%)=〃%)+犬+lnx-e*T,讨论函数/?(%)的单调性.
【答案】(1)3x-y-l=0.
(2)当aW时,例»在(0,+8)上为增函数;
当。<-4时,丸(尤)在(0,-"一16),(-"+&『-16,+?)上为增函数,在
44
(_q_吗_[+或2任)上为减函数.
454
【解析】
【分析】(1)求广(%),计算/'(1),得到切线的斜率,求出切线的方程.
(2)求/z'(x),结合基本不等式对。的取值分类讨论,根据/i(x)的正负分析力(功的单调性.
【小问1详解】
由题意得,当1=1时,/(x)=x+lnx+eA-1,
f'(x)=l+-+ex-l,
/(l)=l+lnl+e°=2,/,(l)=l+l+e°=3,
・・・曲线/(X)在点(1,/(1))处的切线方程为y—2=3(x—1),
整理得3%-丁一1=0.
【小问2详解】
/z(x)=/(x)+x2+lnx-e"T,
/z(x)-ax+x1+21nx,定义域为(0,+°o),
,2
二・旗%)=〃+2%+—,
x
2I22
・・,当x>0时,2x+—22」2x・一二4(当且仅当2x=—即x=1时等号成立),
X\XX
・••当“NT时,”(%)20在%£(。,+8)恒成立,人(%)在(0,+8)上为增函数.
当Q<—4时,旗%)=〃+2%+—=+"'+2.
XX
令g(九)=2九2+〃犬+2(%>0),
•・•方程2f+公+2=0的判别式A=/—16>0,
工方程有两个不相等的实数根毛,%2,且~+々=~|>0,X1X2=1>0,
・,•%>0,%2>0.
解方程2x2+依+2=0得]二———-———,
4
人-a-yja2-16—a+]a2-16rjt.|/
令M=-----------------------------,=--------------,则不<%2.
1424
g(%)图象如图:
当xw(O,X])即xi(0,J二19)时,g(x)>0,〃(x)>0,〃(%)为增函数,
当xe®,4)即xiJa-16,-a+Ja-16)时,且(幻<0,h'(x)<0,/?(%)为减函数,
44
当xe(x,,+oo)即%?16、?)时,g(x)>0,//(尺>0,/?(%)为增函数.
4
综上,当aW时,丸。)在(0,+8)上为增函数,
当。<-4时,丸(幻在(0「.一,片一16),(-"+&『-16,+?)上为增函数,在
44
(-。-荷-16,-。+-16)上为减函数.
44
【点睛】思路点睛:本题考查分类讨论法求解函数的单调区间(含参),具体思路如下:
29
c1)求成x)=a+2x+—(x>0),根据2x+—24对。分aN-4和a<-4两种情况讨论.
XX
(2)当a27•时,/?(%)>0,/?(%)在(0,+8)上为增函数.
(3)当a<-4时,h^x)=—~/,构造函数g(x)=2/+奴+2(x>0),通过对g(x)正负的分析
x
得出h(x)的单调性.
19.一个混沌系统通常用一个变量来描述其在某个特定时刻的状态,为了保持系统的不规则性和不可预测性,
这个状态变量需要通过特定的数学规则进行变换,以反映系统内在的动态行为.这种变换通常涉及复杂的
非线性函数,它们能够使得系统的微小变化在长时间内产生巨大的影响,这种现象被称为“蝴蝶效应”.若对
1
于一数列{七}都满足xn+x=/(%„),并且/(x)=-ax+(«+2)x.
(1)当a=l时,对V“eN*满足%=/(x“+i),若%#0,求{五}的通项公式;
(2)当a=-1时,{%}不是常数列,且当片0,{九“}中是否存在连续三项构成等差数列?若存在,
请求出,若不存在,说明理由;
X1
(3)若。=一1时,X1=2,Sn=一~,证明:Si+S,+-+S<—.
玉+i-4
【答案】⑴无“=2;
(2)存在连续三项%,超,七成等差数列;
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)由题意可得%=-考+3X2,x2=-x;+3%i,两式相减可得々=石或々+%=4,从而得%]=2,
%=2,又由/(2)=2,由归纳法即可得答案;
(2)假设数列{%}中连续的三项51,七“,引向,根eN*,根22构成等差数列,则可得/_]=-2,
xm=2,xm+l=6,再由f+x+2=o无实数解,即可得答案;
(3)由题意可得数列{4}单调递增,且且S”(羊「一----—-]<-(--------),禾I」
x
2n(X"—1)X”(X“+1)2.xnXn+l
用裂项相消,即可得证.
【小问1详解】
解:因为。=1,所以/0)=-/+3工,
所以石=-%2+3X2,
又因为x“+i=/(%),
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