2024高考物理一轮复习：抛体运动（讲义）（学生版+解析）

第17讲抛体运动

目录

复习目标

网络构建

1考点一平抛运动的规律

【夯基・必备基础知识梳理】1考点三平抛运动的临界问题

知识点1平抛运动的基本规律

【夯基必备基础知识梳理】

知识点2平抛运动的两个重要推论•

知识点平抛运动临界问题的基本规律

【提升•必考题型归纳】

【提升必考题型归纳】

考向1平抛运动基本规律的应用•

考向平抛运动在球类问题中的临界问题

考向2平抛运动的两个重要推论的应用

1考点四类平抛运动和斜抛运动

®考点二落点有约束条件的平抛运动

【夯基・必备基础知识梳理】

【夯基・必备基础知识梳理】知识点1类平抛运动的基本规律

知识点1平抛运动与斜面相结合的规律知识点2斜抛运动的基本规律

知识点2平抛运动与圆面相结合的规律【提升•必考题型归纳】

知识点3平抛运动与竖直面相结合的规律考向1类平抛运动

【提升•必考题型归纳】考向2斜抛运动

考向1平抛运动与斜面相结合

考向2平抛运动与圆面相结合

考向3平抛运动与竖直面相结合

真题感悟

1、掌握平抛运动的规律，能够利用规律处理与平抛运动有关的各类问题。

2、掌握斜抛运动的规律并会应用。

©0^

考点要求考题统计考情分析

高考对抛体运动的考查较为频繁，而且

2023年全国甲卷第1题大多联系实际生活，题目的形式较为多

(1)平抛运动的规律

2023年6月浙江卷第3题样，有选择题也有计算题，并且近几年

(2)斜抛运动的规律

2023年湖南卷第2题出现了三维空间的抛体运动考题，对学

生的空间建构能力要求很高。

斜抛运动

考点一平抛运动的规律

・夯基•必备基础知识梳理

知识点1平抛运动的基本规律

1.定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在作用下的运动。

2.性质：平抛运动是加速度为g的曲线运动，其运动轨迹是—o

3.平抛运动的条件：(l)v#O,沿；(2)只受作用。

4.研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的运动和竖直方向的运动。

5.基本规律(如图所示)

(1)速度关系

水平方向:以二为

合速度大小:”=J%2+%2

方向:tan0=^-=-^-

竖直方向:斗;竺vxvo

(2)位移关系

水平方向：X=vot大小:§=£宜

合位移

竖直方向：y=；g产方向:tana=工=

x2v0

(3)轨迹方程：x2。

6.四个基本规律

飞行时间由^=知，时间取决于下落高度〃，与初速度n。无关

x=vo\隹，即水平射程由初速度V0和下落高度％共同决定，与其他因素无关

水平射程

22

落地速度v=ylv^+vy=ylv0+2gh,落地速度也只与初速度w和下落高度h有关

vx=voX

速度改变量叫...

任意相等时间间隔加内的速度改变量相同，方向恒为竖直向下，如图所示

知识点2平抛运动的两个重要推论

1.做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为a,位移方向与

水平方向的夹角为仇则o

2.做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A

点为0B的

一提升•必考题型归纳

考向1平抛运动基本规律的应用

1.投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投壶，射之细也.宴饮有射

以乐宾，以习容而讲艺也.”如图所示，甲、乙两人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的

夹角分别为53。和37。；已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长，壶口大小等因素的影响，下列说法正

确的是（sin37o=0.6,cos37°=0.8,sin53°=0.8,cos53°=0.6）（）

A.若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投箭的初速度比乙的大

B.若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投的箭在空中运动时间比甲的长

C.若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙大

D.若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所射箭落入壶口时速度比乙小

2.如图所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高〃=5m,内径D=L6m,现有一刚性小球（视为质

点）从容器上端内边缘沿直径以%的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加

速度g=10m/s2,忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞，则小球的初速度%可能是（)

B.4m/sC.6m/sD.8m/s

考向2平抛运动的两个重要推论的应用

3.如图所示，为一半径为R的;圆弧，圆心位置。，一小球从与圆心等高的任意点沿半径方向水平抛

出，恰好垂直落在A3面上的。点，且速度与水平方向夹角为53。，则小球抛出后的水平距离为（）

A.0.6RB.0.8RC.RD.1.2R

4.跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜面A8上的8处着陆，斜面

与水平方向夹角为30。且足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（）

A.运动员在空中相同时间内的速度变化相同B.运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度成正比

C.运动员落在B处的速度与水平方向夹角60°D.运动员的质量越大，落点离A越远

考点二落点有约束条件的平抛运动

・夯基•必备基础知识梳理

知识点1平抛运动与斜面相结合的规律

1.与斜面相关的几种的平抛运动

图示方法基本规律运动时间

_____

:垂直落|

1到斜面

:分解速度，构建水平Vx=V0由tan。干力得

速度的矢量三角竖直vy=gt

=^-

2t

沏形合速度V=^/vx+v/gtan0

盥囤『一

水平尤=w

:从斜面顶点i,,分解位移，构建

水平抛出且］国夕由tan得

落也斜面旦，qXyx2vo

位移的矢量三角竖直

2votan0

t—

形合位移X合=4—+,2g

由0=也一a\t,0—vi2=12aid得

1从斜面顶点水平〕在运动起点同时

［抛出，离斜面最远！

vptan0vo2sin^tan9

分解心gt——，tl——c

g2g

三

分解平行于斜面

।用—tan9

由Vy—gf得t~

的速度Vo

2.与斜面相关平抛运动的处理方法

(1)分解速度

平抛运动可以分解为水平方向的和竖直方向的，设平抛运动的初速度为加在空中运动时间

为f,则平抛运动在水平方向的速度为心=血,在竖直方向的速度为Vy=gr,合速度为V7Vx2+%2,合速度与水平

方向的夹角满足。

(2)分解位移

平抛运动在水平方向的位移为X=vof,在竖直方向的位移为y=|gE对抛出点的位移(合位移)为

S=J久2+y2,合位移与水平方向夹角满足tan0=(。

(3)分解加速度

平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，在有些问题中，过

抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g正交分解为幻、把初速度w正交分解为力、力，然后分别在

x、y方向列方程求解，可以简化解题过程，化难为易。

知识点2平抛运动与圆面相结合的规律

三种常见情景：

1.如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间才：h=^gf,

R4产层=W3联立两方程可求人

2.如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径。8垂直于速度方向，圆心角a与速度的

偏向角相等。

3.如图丙所示，小球恰好从圆柱体。点沿切线飞过，此时半径。。垂直于速度方向，圆心角6与速度的偏向

角相等。

知识点3平抛运动与竖直面相结合的规律

L从同一点斜抛物体，能垂直打在同一竖直面的不同高度处，可用逆向思维法思考，认为物体在不同高度

平抛均落在同一点。

2.无论是从同一点平抛，落在同一竖直面上的不同高度处，还是从同一点斜抛，垂直落在同一竖直面的不

同高度处，因高度不同，则运动时间不同，又物体水平位移相同，故平抛的初速度不同。

一提升•必考题型归纳

考向1平抛运动与斜面相结合

1.如图所示，物体在倾角为。、足够长的斜面上做平抛运动，最终落在斜面上，从抛出到第一次落到斜面

上的过程，下列说法正确的是（）

0

A.物体在空中运动的时间与初速度成正比

B.落到斜面上时，速度方向与水平面的夹角随初速度的增大而增大

C.抛出点和落点之间的距离与初速度成正比

D.物体在空中运动过程中，离斜面的最远距离与初速度成正比

2.如图在同一竖直平面内将两个完全相同的小球从不同的位置沿水平方向抛出，抛出点分别为A点和3点

（图中未画出），初速度分别为吟和力，并且%＞女，经过一段时间的运动后，两个小球同时垂直落到斜

面上的同一个位置。点，不计空气阻力，则（）

TT7*V0

A.AO连线与水平方向的夹角一定和B0连线与水平方向的夹角不相同

B.两个小球落到斜面上时的动能可能相同

C.AO连线与水平方向的夹角一定与斜面的倾角相同

D.两个小球的运动时间一定不同

考向2平抛运动与圆面相结合

3.如图示，半圆轨道固定在水平面上，一小球（小球可视为质点）从半圆轨道上B点沿切线斜向左上方抛

出，到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，。为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R,OB

与水平方向的夹角为60°,重力加速度为g,不计空气阻力，则小球在A点正上方的水平速度为（）

--------

0gR瓜R

4.如图，竖直平面内有一段圆弧MN,小球从圆心O处水平抛出。若初速度为Va,将落在圆弧上的。点；

若初速度为Vb,将落在圆弧上的b点。已知。。、与竖直方向的夹角分别为a、P，不计空气阻力，则（）

%=吆B.上=匕COS0sina「均sinaCOSB

—二=-----一二----

vv1-------D.v

bsin/vb\coscrbcosaysin[3bsin/?cosa

考向3平抛运动与竖直面相结

5.如图所示，一演员表演飞刀绝技，由。点先后抛出完全相同的3把飞刀，分别依次垂直打在竖直木板M、

N、尸三点上。假设不考虑飞刀的转动，并可将其视为质点，已知。、M,N、P四点距离水平地面高度分别

为h、4爪3力、2/i,以下说法正确的是（）

B.到达M、N、P三点的飞行时间之比为1:夜：不

C.3把飞刀从抛出至分别到达V、N、尸三点的过程中，重力的平均功率之比为&:0:1

D.设到达M、N、尸三点的飞刀，初速度与水平方向夹角分别为4、%、%，则有4：%：%=3：2：1

6.如图所示，某同学从。点对准前方的一块竖直放置的挡板将小球水平抛出，。与A在同一高度，小球的

水平初速度分别为匕、之，不计空气阻力，小球打在挡板上的位置分别是8、C,且AB=BC,则匕：匕为（）

C.(A/2+2):1D.(V2+l):l

考点三平抛运动的临界问题

・4夯基•必备基础知识梳理

知识点平抛运动临界问题的基本规律

1.平抛运动中临界问题的两种常见情形

(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度;

(2)物体的速度方向恰好达到某一方向。

2.解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜

面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。

提升•必考题型归纳

考向平抛运动在球类问题中的临界问题

1.如图所示，一网球运动员用球拍先后将两只球从。点水平击出，第一只球落在本方场地A处弹起来刚好

擦网而过，落在对方场地2处。第二只球直接擦网而过，也落在B处。球与地面的碰撞是弹性碰撞，且空

气阻力不计。若。点离地面的高度为肌则网的高度为()

234

A.—hB.—hC.-hD.-h

3456

2.如图所示为一乒乓球台的纵截面，A3是台面的两个端点位置，PC是球网位置，D、E两点满足

AD=BE=-AB,且E、M、N在同一竖直线上。第一次在/点将球击出，轨迹最高点恰好过球网最高点P,

8

同时落到A点；第二次在N点将同一乒乓球水平击出，轨迹同样恰好过球网最高点P,同时落到。点。乒

乓球可看做质点，不计空气阻力作用，则两次击球位置到桌面的高度%:幻为()

考点四类平抛运动和斜抛运动

・夯基•必备基础知识梳理

知识点1类平抛运动的基本规律

L类平抛运动的受力特点：

物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。

2.类平抛运动的运动特点：

在初速度W方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动,加速度。=印

3.类平抛运动的求解方法：

(1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方

向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。

(2)特殊分解法:对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为公、为,初速度vo分

解为打、好，然后分别在小y方向列方程求解。

知识点2斜抛运动的基本规律

水平竖直正交分解最高点一分为二变平抛运动将初速度和重力加速度

处理方法

化曲为直逆向处理沿斜面和垂直斜面分解

垂直斜面：gx=gcosa

vl=v0cos6—grt

水平速度：VA.=v0cos^

X=VCOS0-t“12

oy=vocos0t--git

最高点：速度水平

竖直速度：vy=vosmO-gt沿着斜面：g2=gsina

基本规律

2%,=%cosev=vsin0+g-t

y=vosin0t-^gt2o2

日一上i(%sinx=%sin例+万gt2

最rW)点：/%=*------2

2g

最高点：hm=^L

2gl

.提考题型归纳

考向1类平抛运动

1.如图所示，一光滑宽阔的斜面，倾角为仇高为瓦现有一小球在A处以水平速度也射出，最后从B处

离开斜面，下面说法中正确的是（）

A.小球的运动轨迹为抛物线

B.小球的加速度为gsin。

C.小球到达8点的时的速度为国

D.小球到达2点时小球的水平位移为

2.如图所示，在光滑的水平面内建立无Oy坐标，质量为的小球以某一速度从。点出发后，受到一平行

于＞轴方向的恒力作用，恰好通过A点，已知小球通过A点的速度大小为5,方向沿X轴正方向，且。4连

线与负轴的夹角为30。。则（）

y

,「’30。产

o

A.恒力的方向一定沿y轴负方向

B.恒力在这一过程中所做的功为，加片

C.恒力在这一过程中的冲量大小为哈根必

7

D.小球从。点出发时的动能为:〃球

考向2斜抛运动

1.在某次运动会上篮球项目比赛中某运动员大秀三分球，使运动场上的观众激情高涨。设篮球以与水平面

成6=53。夹角斜向上抛出，篮球落入篮筐时速度方向与水平方向夹角为£,且。与。互余（已知

2

sin53°=0.8,cos53°=0.6,g=10m/s）o若抛出时篮球离篮筐中心的水平距离为L=7.2m,不计空气阻力，

篮球可视为质点。则抛出时篮球与篮筐中心的高度差〃为（）

A.2.3mB.2.0mC.2.1mD.2.2m

2.如图所示，某场比赛中篮球运动员在三分线外离地面高度/z=2.3m,与篮筐中心的水平距离L=6.8m的

位置将篮球抛出。篮球离手时的速度与水平方向夹角为45。，并恰好无擦碰地进入篮筐。已知篮筐离地面高

H=3.05m,重力加速度g=10m/s2,忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是（）

A.从离手到刚进入篮筐，篮球做的是匀变速曲线运动

B.离手1.1s后篮球进入篮筐

C.离手时，篮球的速度大小约为6.2m/s

D.从离手到刚进入篮筐，篮球速度的改变量的大小为10m/s

真

1.（2023年全国甲卷高考真题）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过

程中（）

A.机械能一直增加B.加速度保持不变C.速度大小保持不变D.被推出后瞬间动能最大

2.（2023年湖南卷高考真题）如图（a）,我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的

谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O,且轨迹交于尸点，抛

出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为匕和匕，其中匕方向水平，匕方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷

粒在空中的运动，下列说法正确的是（）

图(a)图(b)

A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度B.谷粒2在最高点的速度小于匕

C.两谷粒从。到P的运动时间相等D.两谷粒从。到尸的平均速度相等

第17讲抛体运动

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1考点一平抛运动的规律

【夯基•必备基础知识梳理】1考点三平抛运动的临界问题

知识点1平抛运动的基本规律

【夯基•必备基础知识梳理】

知识点2平抛运动的两个重要推论

知识点平抛运动临界问题的基本规律

【提升•必考题型归纳】

【提升•必考题型归纳】

考向1平抛运动基本规律的应用

考向平抛运动在球类问题中的临界问题

考向2平抛运动的两个重要推论的应用

1考点四类平抛运动和斜抛运动

❷考点二落点有约束条件的平抛运动

【夯基・必备基础知识梳理】

【夯基•必备基础知识梳理】知识点1类平抛运动的基本规律

知识点1平抛运动与斜面相结合的规律知识点2斜抛运动的基本规律

知识点2平抛运动与圆面相结合的规律【提升•必考题型归纳】

知识点3平抛运动与竖直面相结合的规律考向1类平抛运动

【提升•必考题型归纳】考向2斜抛运动

考向1平抛运动与斜面相结合

考向2平抛运动与圆面相结合

考向3平抛运动与竖直面相结合

真题感悟

3、掌握平抛运动的规律，能够利用规律处理与平抛运动有关的各类问题。

4、掌握斜抛运动的规律并会应用。

考点要求考题统计考情分析

高考对抛体运动的考查较为频繁，而且

2023年全国甲卷第1题大多联系实际生活，题目的形式较为多

(1)平抛运动的规律

2023年6月浙江卷第3题样，有选择题也有计算题，并且近几年

(2)斜抛运动的规律

2023年湖南卷第2题出现了三维空间的抛体运动考题，对学

生的空间建构能力要求很高。

抛体运动

考点一平抛运动的规律

―夯基•必备基础知识梳理

知识点1平抛运动的基本规律

1.定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。

2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动,其运动轨迹是抛物线。

3.平抛运动的条件：(l)v(#O,沿水平方向;(2)只受重力作用。

4.研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

5.基本规律(如图所示)

(1)速度关系

(2)位移关系

(3)轨迹方程：>=壬％2。

6.四个基本规律

飞行时间由『=知，时间取决于下落高度心与初速度丫。无关

X=vo飞母，即水平射程由初速度V0和下落高度〃共同决定，与其他因素无关

水平射程

落地速度V=4疗+均2=NW+2g/7,落地速度也只与初速度V0和下落高度h有关

Vx=V0X

速度改变量叫...

任意相等时间间隔加内的速度改变量相同，方向恒为竖直向下，如图所示

知识点2平抛运动的两个重要推论

1.做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为a,位移方向与

水平方向的夹角为仇则tana=2tan凡

2.做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A

点为0B的中点。

一提升•必考题型归纳

考向1平抛运动基本规律的应用

1.投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投壶，射之细也.宴饮有射

以乐宾，以习容而讲艺也.”如图所示，甲、乙两人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的

夹角分别为53。和37。；已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长，壶口大小等因素的影响，下列说法正

确的是(sin37°=0.6,cos37°=0.8,sin53°=0.8,cos53°=0.6)()

A.若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投箭的初速度比乙的大

B.若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投的箭在空中运动时间比甲的长

C.若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙大

D.若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所射箭落入壶口时速度比乙小

【答案】D

【详解】根据题意，设位移与水平方向的夹角为0,速度与水平方向的夹角为。，由平抛运动规律有

ta.n3=-=-tana

x2

AB.若两人站在距壶相同水平距离处投壶，则有%>多由力=:1g/可得f=J也可知，甲所投的箭在空中运

2g

动时间长，由工二即可知，甲所投箭的初速度较小，故AB错误;

CD.若箭在竖直方向下落的高度相等，则箭在空中运动时间相等，且有嶙<工乙则甲所投箭的初速度较小,

由丫=8,可知，甲、乙所射箭落入壶口时竖直速度相等，则由v=M+*可得,甲所射箭落入壶口时速度比

乙小，故C错误，D正确。故选D。

2.如图所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高人=5m,内径O=L6m,现有一刚性小球（视为质

点）从容器上端内边缘沿直径以%的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加

忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞，则小球的初速度%可能是（）

B.4m/sC.6m/sD.8m/s

【答案】B

竖直方向有力1解得"，丝而根据题意，水平方向有

【详解】根据平抛运动的分析可知,=ls

2g

=%/（〃=0、1、2.）解得%因此%的可能值为0.8m/s、2.4m/s>4.0m/s>5.6m/s、7.2m/s>

8.8m/sL故选Bo

考向2平抛运动的两个重要推论的应用

3.如图所示，为一半径为R的:圆弧，圆心位置。，一小球从与圆心等高的任意点沿半径方向水平抛

出，恰好垂直落在A3面上的。点，且速度与水平方向夹角为53。，则小球抛出后的水平距离为（）

A.0.6RB.0.8RC.RD.1.2R

【答案】D

如图所示，小球恰好垂直落在A5面上的。点，作速度的反向延长线，交于。点，由平抛运动的推论可知,

速度反向延长线交水平位移的中点，故满足,皿53二」结合圆的几何关系可得+y2=R2联立可解得

x=1.2R,D正确。故选D。

4.跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜面A8上的8处着陆，斜面

与水平方向夹角为30。且足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（）

A.运动员在空中相同时间内的速度变化相同B.运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度成正比

C.运动员落在B处的速度与水平方向夹角60°D.运动员的质量越大，落点离A越远

【答案】B

【详解】A.运动员在空中只受重力，加速度恒定，单位时间内速度变化相同，A正确；

B.落点到A的距离利用平抛规律X=即；〃=2；tan30。="；s=—得t=＞联皿即.s=?吗?

2xsin30ggeos30

所以运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度的平方成正比，故B错误；

C.速度与水平方向夹角的正切值是2tan30。，C错误；

D.落点与质量无关，D错误。故选A。

考点二落点有约束条件的平抛运动

知识点1平抛运动与斜面相结合的规律

1.与斜面相关的几种的平抛运动

图示方法基本规律运动时间

：垂直落］\%

;分解速度，构建水平v^=vo由tan0=\=5得

速度的矢量三角竖直Vy=gt

__v0

蚣区形合速度U=dv/+Vy2gtan9

:从斜面顶点：„水平x=iV

分解位移，构建

;水平抛出且1生力由tan夕一）一票一得

港桂斜面旦/，竖直y=\g^x2vo

位移的矢量三角

2votan0

t—

形合位移X合g

由0=也一〃",0—02=一2。1弓得

1从斜面顶点水平〕在运动起点同时

［抛出，离斜面最远！

votan3vo2sin0tan0

分解Vo>gt—,Cl——c

g2g

分解平行于斜面

।用—tan8

由力一gf得t-

的速度Vo

2.与斜面相关平抛运动的处理方法

(1)分解速度

平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，设平抛运动的初速度为％,在

空中运动时间为f,则平抛运动在水平方向的速度为喉=物,在竖直方向的速度为Vy=gf,合速度为0以2+17y2,

合速度与水平方向的夹角满足tan心

Q)分解位移

平抛运动在水平方向的位移为尤=V0f,在竖直方向的位移为产，对抛出点的位移(合位移)为

久2+y2,合位移与水平方向夹角满足tan0=%

(3)分解加速度

平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，在有些问题中，过

抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g正交分解为gy,把初速度V0正交分解为3、V〉,然后分别在

尤、y方向列方程求解，可以简化解题过程，化难为易。

知识点2平抛运动与圆面相结合的规律

三种常见情景：

1.如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间/7=上汽

22

R±ylR-h^v0t,联立两方程可求人

2.如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径。8垂直于速度方向，圆心角a与速度的

偏向角相等。

3.如图丙所示，小球恰好从圆柱体。点沿切线飞过，此时半径。。垂直于速度方向，圆心角。与速度的偏向

角相等。

知识点3平抛运动与竖直面相结合的规律

L从同一点斜抛物体，能垂直打在同一竖直面的不同高度处，可用逆向思维法思考，认为物体在不同高度

平抛均落在同一点。

2.无论是从同一点平抛，落在同一竖直面上的不同高度处，还是从同一点斜抛，垂直落在同一竖直面的不

同高度处，因高度不同，则运动时间不同，又物体水平位移相同，故平抛的初速度不同。

考向1平抛运动与斜面相结合

1.如图所示，物体在倾角为。、足够长的斜面上做平抛运动，最终落在斜面上，从抛出到第一次落到斜面

上的过程，下列说法正确的是（）

A.物体在空中运动的时间与初速度成正比

B.落到斜面上时，速度方向与水平面的夹角随初速度的增大而增大

C.抛出点和落点之间的距离与初速度成正比

D.物体在空中运动过程中，离斜面的最远距离与初速度成正比

【答案】B

【详解】A.依题意，初速度不同的小球均落在斜面上，则具有共同的位移偏向角0,根据平抛运动规律有

tan夕=）=/得'=2V°tan^物体在空中运动的时间与初速度成正比，A正确；

xvotg

B.落到斜面上时，速度与水平方向夹角&满足tana=A=©=2tane则落到斜面上时速度方向与斜面夹角

%%

与初速度无关，B错误；

C.抛出点与落点间距离s=」4=2.tan?,抛出点和落点之间的距离与初速度的平方成正比，c错误；

cost/geos”

D.当小球在运动过程中速度方向与斜面平行时，小球离斜面的距离最大，把小球初速度及重力加速度分解

在平行斜面与垂直斜面方向上，可得小球离斜面的最大距离为d=①必-则物体在空中运动过程中，离

2gcos6

斜面的最远距离与初速度的平方成正比，D错误。故选A。

2.如图在同一竖直平面内将两个完全相同的小球从不同的位置沿水平方向抛出，抛出点分别为A点和8点

（图中未画出），初速度分别为力和力，并且%>女，经过一段时间的运动后，两个小球同时垂直落到斜

面上的同一个位置。点，不计空气阻力，则（）

A.AO连线与水平方向的夹角一定和80连线与水平方向的夹角不相同

B.两个小球落到斜面上时的动能可能相同

C.AO连线与水平方向的夹角一定与斜面的倾角相同

D.两个小球的运动时间一定不同

【答案】D

【详解】A.两小球垂直落入斜面，速度的偏转角相同，由平抛运动的规律可知，速度偏转角的正切值是位

移偏转角的正切值的两倍，所以A。连线与水平方向的夹角一定和8。连线与水平方向的夹角相同，A错误;

BD.当小球落到斜面上时，将小球的速度进行分解，由几何关系可得tan°=子由平抛运动的规律

vy

解得t=Z）由题目可知以>为所以J>与小球的末动能用=:加说+:加V；所以纥4>EkB故B

gtancz22

错误，D正确;

C.设A。连线与水平方向的夹角为0,由平抛运动的规律fan”5如联立求解可得tanc=「二故C

tana-—、2tan。

错误。故选D。

考向2平抛运动与圆面相结合

3.如图示，半圆轨道固定在水平面上，一小球（小球可视为质点）从半圆轨道上8点沿切线斜向左上方抛

出，到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，。为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R,OB

与水平方向的夹角为60°,重力加速度为g,不计空气阻力，则小球在A点正上方的