2025年高考数学好题必刷模拟卷（二）（解析版）

备战2025年高考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（新

高考）

第二模拟

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

姓名班级考号

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求.

I.设（i+i）x=i+M,其中i为虚数单位，x，y是实数，贝小+训=（）

A.1B.0C.6D.2

【答案】B

【详解】

因为(l+i)x=l+W,

X=1,解得X=1

所以

y=xy=i'

故选：B.

2.设命题甲：VxeR,尤2+2依+1>0是真命题；命题乙：函数y=log20-iX在（0,+功上单

调递减是真命题，那么甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

对于命题甲：因为y=V+2ax+l是开口向上的二次函数，

所以对于VxeE,炉+20%+1>0是真命题，贝Uy+2办+1与x轴无交点，

从而A=（2a）2-4<0,解得一

对于命题乙：函数y=iog2a_1x在（o,+。）上单调递减是真命题,

由对数函数单调性可知，0<2。一1<1,解得g<a<l,

因为｛4[:<。<1｝口｛“|-1<。<1｝,所以甲是乙的必要不充分条件.

2

故选：B.

3.从A,B,C,。四所大学中随机选取两所大学参与北京冬奥会的志愿者工作，则A校

被选中的概率为（）

.11-11

A.-B.-C.—D.一

2345

【答案】A

【详解】

C'C11

由题意可知A校被选中的概率P=卡=不，

故选：A.

4.已知x>0,y>0,x+2y=l,则（.+1）（丫+1）的最小值为（）

xy

A.4+46B.12C.8+473D.16

【答案】C

【详解】

因为x>0,y>0,尤+2y=l,

而（尤+1）（丫+1）（x+x+2y（y+x+2y）（2尤+2y）（x+3y）

所以-----------=-------------------=---------------

xyxyxy

=2/+6丫2+8冲>+8孙=&+4G,

xyxy

当且仅当2/=6;/,即x=2百-3,y=2-百时，等号成立.

故选：C.

5.函数〃x）=（x2-2）ln|x|的图像为（)

【答案】B

【详解】

解：因为〃尤)=任-2)111国,定义域为{x|xwO},且

=((-x)2-2)lnH=(x2-2)ln|x|=/(x),故函数为偶函数，函数图象关于了轴对称,

故排除A、D,当xfy时(X2-2)—+CO,ln|x|^-H»,所以故排除C,

故选：B

22

6.已知/是椭圆=+2=1(。>6>0)的左焦点，A为右顶点，尸是椭圆上一点，PFJLx轴，

ab

若|尸尸|=占A尸I,则该椭圆的离心率是()

4

A.-B.—C.yD.-

4224

【答案】D

【详解】

h-

将x=-c代入椭圆方程得：y=土幺，

a

b21

|PF|=—,|AF\=a+c,且|Pb|=一|Ab|,

a4

3

36r—ac—4c2=0=>4e~+e-3=0=>e=—,

4

故选：D

7.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖席,若三棱锥尸-ABC为鳖If,

上4,平面ABC,PA=BC=4,AB=3,ABLBC,若三棱锥尸-ABC的所有顶点都在球。

上，则球。的半径为()

3

cD.-

-I2

【答案】A

【详解】

由题意，将鳖膈补形为长方体如图，则三棱锥P-A5C的外接球即为长方体的外接球.

外接球的半径为

7?=-PC=-V42+32+42=-y/41.

222

故选：A

8.已知函数“xhga—Z/y+gx—int+i1-lax,若对任意的正实数t,/（x）在R上都

是增函数，则实数a的取值范围是（）

【答案】D

【详解】

3313

由题意/'(%)=2(%—2/)2+—(-%—ln^+1)2——fl20在工£R上恒成立，其中1£R,

整理得一X2—(4?+In/—l)x+4/+(Int—I)2—a之0对xeRT旦成立,

4

所以A=(4，+hn—If—5[4»+(hn—1尸—回40对，>0恒成立，

5Q«4〃+4(Int—I)2—8z(lnt—V)=4(%—In%+1)2,

，/、1It—1

令g«)="ln，+l,g⑺=1——=---,

tt

0<r<l时，g'«)<0,g«)递减，时，g'(t)>0,g(t)递增,

所以g(<U=g(l)=2,

所以4«-lnf+l)2的最小值是16,5a<16,

所以。岑.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题中，是真命题的是（）

A.函数=（苏-机-1）尤"“2吁3是暴函数的充分必要条件是m=2

B.若:VxG（0,+oo）,x-1>Inx,则-ip:HXoe（0,+oo）,x0-1<In

C.右（3+x）=a。+Q］（2+x）+a?（2+x）+,•,+^2+,则。3=15

D.若随机变量匕服从正态分布N（l,〃），PC44）=0.79,则尸（"-2）=0.21

【答案】BD

【详解】

解：对于A,函数〃x）=（疗-机是幕函数的充要条件为用_吁=1,

解得m=2或相=-1,故A错误；

对于B,若p:Vx£（0,+8）,x-l>ln%,根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得

-n/2：3x0G（0,+oo）,x0-l<lnx0,故B正确；

对于C,右（3+九）=%+q（2+%）+2（2+X）+•••+/（2+%）,

则（3+x）6=[1+（2+x）]6,其通项公式为&=C；（2+4/=0,1,…,6,

团当r=3时，生=废=2。,故C错误；

对于D,若随机变量J服从正态分布N（1Q2）,尸传<4）=0.79,则

尸《24）=1-尸偌<4）=1—0.79=0.21,

团对称轴〃=1,0P（^<-2）=P（^>4）=O.21,故D正确.

故选：BD.

10.函数"x）=Asin（ox+°）3>0,0<e<;r）,其图象的一个最高点是尸〔$2],距离2点

最近的对称中心为则（）

A.a）=6

B.可时，函数/'（x）单调递增

14

C.无=詈7r是函数"X）图象的一条对称轴

D.”尤）图象向右平移。（。>。）个单位后得到g（无）的图象，若g（x）是奇函数,则。的最小

值是《

O

【答案】AB

【详解】

不妨设Ax）的最小正周期为T,

由题意可知,力什？故TEW且…，解得0=6,故A正确;

从而“X)=Asin(6x+°),由应）=Asin(6x—+0)=0,

解得+。=k7i,k^Z,即°=----Fkrck^Z,

yr

因为。<0<7T,所以e=],

故/(%)=Asin(6x+,)=Acos6%,

因为函数“力图象的一个最高点是《孑2

所以/g)=Acos(6x?J=2,解得A=2,

故/(X)=2COS6X,

对于选项B：由余弦函数的单调增区间可知，

JI\1

由一〃*+2左»<6%<2左万，keZ,角翠得---v—kn<x<—k7i,keZ,

633

冗11

从而〃x)=2cos6x的单调递增区间为[——+-k7i,-k7i],keZ,

从而当xe(-£,0)时，函数/(x)单调递增，故B正确;

6

13»13%

对于选项：因为了=2cos(6x—)=0^±2,

C~L2

1Q■jr

所以兀=我不是函数/(%)图象的一条对称轴，故c错误；

对于选项D：由平移变换可知，g(x)=2cos[6(x-^)]=2cos(6x-6^),

因为g(x)是奇函数，所以6。=2+匕r,keZ,即。=2十，左",keZ,

2126

因为”0,所以。的最小值是?故D错误.

故选：AB.

11.在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，

左右跳躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028

天，山重水复，不知归途在何处感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中

国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途.”下列数

列｛aJ(”eN*)中，其前〃项和可能为1028的数列是()

(参考公式：F+22+32+…+“2=〃(〃+1)(2〃+1))

6

74

2

A.an=10^+28B.an=4n—12n+—

C.a”=(T)"""2一房D.%=2'一+；

【答案】BCD

【详解】

不妨设数列（«„｝的前«项和为S”,

对于选项A：由等差数列的前“项和公式可知，5"=幽"=以5〃+33)=1028,

则方程无正整数解，故A错误；

74

对于选项B：不妨令6“=4"，cn=-12n+—,数列电｝和｛*的前〃项和分别为[和

故凡=4+%，Sn=Tn+Qn,

由参考公式和等差数列的前«项和公式可知，

,工22n(n+l)(2n+l)244

±n=4(1+2+3+•••+n)=-------------,Qn=--------=-onH——n,

所以5“=小0=2"("+，+1)-6川+争=1028,解得〃=103,故B正确；

对于选项C：①当〃=2左(keN+)时，

7

222222

S==I-2+3-4+.•.+(2^-1)-(2k)——义2k

45

]4々

=-(3+7+...+4)t-l)--<0,

故止匕时S,W1028；

②当〃=2左一1(左cN+)时，

7

2222222

S,=S2k_,=I-2+3-4+.••+(2^-3)-(2^-2)+(2^-1)--(2^-1)

,7

=-(3+7+...+4yt-5)+(2^-l)2-—(2Jt-l)

一收一1)(3+4>5)+工

245

,7

=2左2-3左+2-左(2左一1)

7

令2妤-3左+2——(21)=1028,解得左=23,

45

即〃=2x23-1=45时,=1028,故C正确；

对于选项D：由等比数列的前〃项和公式可知，

S“=1义°―+—n=2"+—n—l=1028,解得〃=10eN+,故D正确.

"1-222

故选：BCD.

12.已知圆C:(x-5r+(y-5)2=16与直线/：如+2，-4=0,下列选项正确的是()

A.直线/与圆C不一定相交

B.当机时，圆C上至少有两个不同的点到直线/的距离为1

C.当〃z=-2时，圆C关于直线/对称的圆的方程是0+3)2+0+3)2=16

D.当加=1时，若直线/与X轴，y轴分别交于A,B两点，P为圆C上任意一点，当|PB|=3&

时，NP3A最大或最小

【答案】AD

【详解】

对于A,直线/："a+2尸4=0过定点尸(0,2),又因为(0-5)2+(2-5>=34>16,所以点尸在圆

外，

所以直线/与圆C不一定相交，故A正确；

对于B,要使圆上有至少两个点到直线的距离为1,则圆心到直线的距离要小于5,所以

有|5：+10-4|<5,解得徵<9,故B错误；

Vm2+415

对于C,当机=-2时，直线/4-y+2=0,设圆。关于直线/对称的圆的方程是

(x-«)2+(y-Z7)2=16,

\b-51।

------xl=-l

根据题意有“一:八<,解得。=3,6=7,所以圆的方程为(x-3)2+(y-7)2=16,

9以+2=0

122

故C错误；

对于D,当〃?=1时，直线x+2y-4=0,则点4(4,0),8(0,2),

当PB与圆C相切时NPBA最大或最小，此时|PB|=J|BC「-附「=3应，故D正确.

故选：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.若向量Z，B是方向相反的单位向量，且向量之满足仅同工伍-5)，则「卜

【答案】1

【详解】

2,方是方向相反的单位向量，则7B=T,因为倒-山倒-石),

所以(c-a),(c-B)=c--(a+B)・c+aZ=W-1=0,所以,=1.

故答案为：L

14.若点尸是抛物线尤2=4y上一动点，F是抛物线的焦点，点A(2,3),贝||PA|+|P司的最

小值为.

【答案】4

【详解】

抛物线-=4y的焦点为20,1),准线为y=T,过A作准线的垂线，交准线于C

由抛物线的定义可得，I母'I等于点P到抛物线准线的距离|尸邳，

所以1M+|尸耳=|即+|尸@N|Aq=4

所以IPA|+IP"的最小值为4,

【答案】[-M

【详解】

因为f(x)=x+mnx+苧在(0,1)上存在单调递增区间，

所以:口)=]+@_竺=1+办―2/20在(0,])有解,

XXX

令g(x)=Y+依一2/,贝ijg⑼=一2/<0,g(l^=l+a-2a2>0

得<Q<1

2

故答案为：Jgl]

16.已知三棱锥A-3C。中，AB_L底面BCD,AB=BC=3,ZBDC=120°,则三棱锥

A-BCD外接球的表面积为

【答案】2反

【详解】

设三棱锥A-BCD外接球半径为R.

设。为ABCD的外接圆的圆心，则三棱锥A-BCD外接球的球心在过&且与平面BCD垂

直的直线上.

即设球心为。，则平面BCD,又AB，底面BCD,则。。1/AB

AD3

连接结。出,过。作O"_LAB,由OA=OB=RM//为AB的中点.“8=—=-

22

因为ABCD外接圆半径，=士x.=6即QB=G

2sinZBDC

所以三棱锥A—BCD外接球半径R=OB=｛受+/=理，

所以三棱锥A-BCD外接球的表面积S=4万片

故答案为：2反

四.解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.已知等差数列｛凡｝的前〃项和为S,,且S?=8,$9=114.

(1)求册;

(2)若5“=3%+2,求〃.

【答案】

解：设公差为d,

6=8

由已知，

[S9—11〃4

/曰2a1+d=8刀/曰j〃[=3

得：j9al+36d=ll(o1+3d)'解得：jd=2，

所以。“=2〃+1：

（2）

解：5"(3+2〃+勿=/+2〃,

2

因为S〃=3%+2,即+2〃=3(2〃+1)+2,得4〃—5=0，

解得〃=4,或〃=一1(舍去)，

所以〃=4.

18.在△ABC中，满足QsinC=QccosA.

(1)求角A；

(2)若已知〃=求AA4c的周长/的最大值.

【答案】

(1)解：由正弦定理得，又〃sinC=A/3CCOSA，所以sinAsinC=J5cosAsinC，

sinAsmC

因为sinCwO,所以sinA=\§cosA,即tanA='"=百，因为AE(0,万)，所以A=f.

cosA3

(2)解：由余弦定理得。2=/+C2-26CCOSA,即3=6+。2-2姐；，所以/—6c=3,

即(6+c)2-3bc=3,

所以§S+c)2-1=6。4工(。+。)2，当且仅当6=c='时,等号成立,此时b+c(2粗,

所以AABC的周长/=“+6+cV有+2g=3右.

所以AABC的周长/的最大值为3旧.

19.如图，在五面体ABCDE中，平面3CD_L平面ABC,AC1BC,EDIIAC,且

AC=BC=2ED=2,DC=DB=6

（1）求证：平面ABE_L平面ABC；

（2）已知尸是线段BC上点，满足3C=33/，求二面角厂-AE-3的余弦值.

【答案】

(1)如图，设8C中点为。，过。作0r〃&C,令0X交AB于M,连接EM.,所以OM=；AC,

且0/W〃4C

由己知DE//AC,S.£1)=；AC.所以DE//0M,且DE=0M

所以ODEM为平行四边形，所以0D//EM.

因为为等边三角形，则有DOLBC,

又平面3co，平面ABC,所以。O_L平面ABC,

所以平面A8C

又囱/u平面AE8

所以平面A?E_L平面A8c.

(2)由(1)知Ox、OB、。。三条直线两两垂直，如图建立空间直角坐标系。-DZ,

依题意可得A(2,-l,0),E(l,0,>/2),3(0,1,0),AE=(-1,1,V2),AB=(-2,2,0),

设平面ABE的法向量4=(x,y,z),

则有「二;J。'取，=(1/，。)

［—2x+2y=0

由8C=3BF,BC=2得：尸［。,，0］，则#=12,*0),A£=(-1,1,72),

设平面AFE的法向量加=(x,y,z),

-x+y+\/2z=0,

则有彳4

-2x+—y=0,

/——\2+35^/3

cos(n,,m)=------1=---------

'/r,八19

V2x^4+9+-

易知二面角尸-AE-3的大小与向量；］、m的夹角大小一致

所以二面角厂-AE-3的余弦值等于述

9

20.新冠疫情期间，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，临江中学立马采取了网络授

课，老师们变成了"流量主播"，全力帮助学生在线学习.在复课后的某次考试中，某数学教

师为了调查高三年级学生这次考试的数学成绩与每天在线学习数学的时长之间的相关关系，

对在校高三学生随机抽取45名进行调查，了解到其中有25人每天在线学习数学的时长不超

过1小时，并得到如下的等高条形图：

每天在线学习数学时间与数学成绩关系图

■超过120分

□不超过120分

n(ad-bc)2

参考公式：K2=其中〃=a+b+c+a.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

（1）根据等高条形图填写下面2x2列联表，是否有99%的把握认为〃高三学生的这次摸底考

试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关〃；

数学成绩不超过120

数学成绩超过120分总计

分

每天在线学习数学不超过1小时25

每天在线学习数学超过1小时

总计45

（2）从被抽查的，且这次数学成绩不超过120分的学生中，再随机抽取2人，求抽取的2

人中每天在线学习数学的时长超过1小时的人数自的分布列与数学期望.

【答案】

（1）完善列联表如下:

数学成绩不超过120分数学成绩超过120分总计

每天在线学习数学不超过1小时151025

每天在线学习数学超过1小时51520

总计202545

根据列联表中的数据，可得^2^45(15x15-5x10)-^56125>3.841，

20x25x25x20

所以有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有

关"；

（2）由列联表可得，被抽查学生中这次数学成绩不超过120分的学生有20人，其中每天在

线学习数学不超过1小时的有15人，每天在线学习数学超过1小时的有5人，从中随机抽

取2人，则抽取的2人中每天在线学习数学的时长超过1小时的人数4的可能取值为0,1,

2,

则Pq=0）=务苏尸（"1）=誉=3,P（"2）=*，，

则4的分布列如下:

012

21151

P

383819

则E(J)=0x@+lx"+2x2」

v73838192

21.已知双曲线C：»l（a>0,%>0）的离心率为2,且过点A（2,3）.

（1）求C的方程；

（2）若斜率为。的直线/与C交于P,Q两点，且与X轴交于点M,若Q为PM的中点,

求/的方程.

【答案】

（1）因为e=9=J1+（9）2=2,所以一=即。=

ay1aa

入2«49

将点A的坐标代入二-二=1,得；-3=1,

a~3a2a23ir

2

解得标=1,故c的方程为尤2-21=1.

3

（2）设尸（药,%），Q（孙力），

因为Q为P/W的中点，所以％=2%.

因为直线/的斜率为当，所以可设/的方程为x=^y+f,

2

f2_y___]

联立J3'得14y2+6■+3（产-1）=0,

x=也y+1,

A=（6后）2_4x14x3（J-1）=12（产+14）>0,

由韦达定理可得%+%=-半，%％=式/.

因为％=2%,所以％+%=3%=，解得为=一^^，

=2y；=2x（―4^）2=江江D,解得，2=21,

即，=±751,故/的方程为九-0y±V^T=0.

在第（2）问中，若未写判别式大于0,

但写到"由半〈石，得/与C必有两个不同的交点"，

另外本问还可以通过联立方程消去y求解，其过程如下:

设尸&,另）,。（孙力），/的方程为y邛x+f，

,V2,

X---=1,

联立L得14/-2非tx-5(〃+3)=0,

V5

y=-^-冗+兀

A=(26了-4xl4x[—5(产+3)]=60(5r+14)>0,

由韦达定理可得网+々=字，%%=-5(23).

因为Q为P/W的中点，所以％=2%,则%=2当+后,

%1+x2=+A/5?=,解得x.=_2*',X]=3,f,

「¥，（¥）二-5『,解得八g

即/=±*1,故/的方程为y=gx土当^（或x-6y土用'=（））.

22.已矢口函数/（%）=6"+以€：05%—〃5111%—5尤2—％+1,a^R.

（1）求函数f（x）的图象在（0,〃。））处的切线方程；

（2）