几何体的内切球-高考数学复习压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题63几何体的内切球

【方法点拨】

1.“切''的问题处理规律：

(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.

(2)体积分割是求内切球半径的常用方法.

2.多面体的内切球的半径，运用“等体积法”也是常用思路.

【典型题示例】

例1(2022•江苏南京、盐城•二检)某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧

的半径.如图，将三个半径为20cm的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个

小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差h为8cm,则圆弧的半径为

cm.

【答案】120

【解法一】由题意可知，5C=8,AB=12,AO=8,

设圆弧的半径为r,可得cosZAOOi=-^^=^=1=cosZM(?(?i，

则在△MOO1中，由余弦定理可得，(r-20)2=(r-20)2+402-2-(r-20)-40-1,

解得r=120.

【解法二】由题意可知，BC=8,AB=12,AO=8,

设圆弧的半径为r,可得cos/AOOi=/=悠=鲁=?

即£=就？解得MO=10°，则r=MO+20=120.

例2（2022•全国高中数学联赛江苏苏州选拔赛）已知半径为2的半球面碗中装有四

个半径均为r的小球，碗壁和球的表面都是光滑的，且每个小球均与碗口平面相切，则r的

值为.

【答案】A/3-I

【分析】先从碗口垂直方向分析四个球中，求得对角球心间的距离，再根据对角球与半球的

切点在同一过球心的平面上，根据几何关系列式求解即可.

【解析】由题意，两个对角球心A,3间的距离为J（2r『+（2r）2=2后，根据球的性质

可得球A3与半球碗的切点P,。在同一过球心。的截面上，且三点共线，O,B,Q

三点共线，作AC分别垂直于碗的水平线，则。4=扬J=底,又球的半

2

径为2,且Q4+AP=OP,故J§r+r=2即厂==6-1

A/3+I

故答案为：V3-1,

例3已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若

圆锥的底面半径为2,母线长为4,则a的最大值为.

4

【答案】-

3

【解法一】设圆锥的内切球与尸M切于A点，内切球球心为。,

连接。4,P<2=2A/3,设内切球半径为人

,.r2y/3-r273

/.由△A尸Q4s△APMQ=>/=——-——=>r=-^―

4

」.a的最大值为一.

3

正方体外接球半径为型,

2

6a,64

------«-------,a4一.

233

4

二。的最大值为一.

3

例4已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为

【答案】冬

【解析】易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.

圆锥及其内切球o如图所示，

设内切球的半径为几则sinNBPE=株端=等所以OP=3R,

所以「4R=［产序一心川3z-12=2取,

所以R=芈，所以内切球的体积—我3=%,

即该圆锥内半径最大的球的体积为坐兀

例5正四面体ABCD的棱长为。，。是棱A3的中点，以。为球心的球面与平面BCD

的交线和CD相切，则球。的体积是（）

A13口3CA/33CA/23

A.一兀aB.71aC.—兀a'D.na

6663

【答案】D

【分析】设点A在平面BCD内的射影为点E,则E为△BCD的中心，取CD的中点

连接3M，则EeBM，取线段HE的中点尸，连接Ob，分析可知以。为球心的球面与平

面BCD的交线和CD相切的切点为M,求出即为球。的半径，再利用球体的体积

公式可求得结果.

【解析】设点A在平面BCD内的射影为点E,则E为ABCD的中心，

取CD的中点M,连接BM，则EeNM，取线段HE的中点尸，连接。尸，

因为。、尸分别为A3、BE的中点，则。/〃4石且。E=

2

因为AEL平面BC。，则平面因为5Eu平面BCD,则

正Z\BCD的外接圆半径为BE=n:.AE=JAB?-BE?=—a.

2sm—3

3

所以，OF——AE-a，

易知球。被平面BCD所截的截面圆圆心为点产，且BF=EF=EM，故

FM—BE=—a，

3

因为△BCD为等边三角形，M为CD的中点，则BAfLCD,

因为以。为球心的球面与平面BCD的交线和CD相切，则切点为点

则球。的半径为0M=y/OF"+FM-=正a,

2

因此，球。的体积是丫==»x旺a=—7ra3.

3SJ3

故选：D.

【巩固训练】

1.在四棱锥P-ABC。中，底面48CD是边长为2a的正方形，PD_L底面A8CZ）,且尸£>=

2a若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为.

2.在棱长为1的正方体ABC。-44Goi内容纳9个等球，8个角各放1个，中间放1

个，则这些等球的最大半径为.

3.已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球0（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端

向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的《7时，小球与该三棱锥的各

O

侧面均相切（与水面也相切），则小球的表面积等于（）

,7兀一4兀-2兀一兀

A-TBTCTD-2

4.半径为R的球内部装有四个相同半径厂的小球，则厂的最大值为（）.

A.%C.—^-i=R

D.-------产K

2+V31+V32+V5

5.如图，在底面边长为2,高为3的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球

在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为

6.球。与棱长为2的正方体ABC。—A4GR的各个面都相切，点加

为棱。R的中点，则平面ACM截球。所得的截面圆与球心。所构成的圆锥的体积为.

7.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知某方锥各棱长均为2,则其内

切球的体积为.

8.正三棱柱有一个半径为6cm的内切球，则此棱柱的体积是（）.

A.96cn?B.54cm3C.27cm3D.18>/3cm3

【答案或提示】

L［答案］（2一®

【解析】由题意知，当球与四棱锥各面均相切，即内切于四棱锥时球的半径最大.作出过球

心的截面图，如图所示.易知球的半径厂=（2-地）0

■

。⑹2a4(B)

_.._2-\/3—3

2.【答案】-...

2

【解析】当球半径最大时，8个角上的球必与正方体的三个面相切，切点在各面的对角线上,

球心都在正方体的体对角面上

作轴截面A4GC,设球半径为广，则4。=2百厂+4厂，而有

故“皿

2

3.【答案】C

【解析】当注入水的体积是该三棱锥体积的57时，设水面上方的小三棱锥的棱长为式各棱

O

长都相等）.

-1得x=2,易得小三棱锥的高为手.

依题意,-8-

设小球半径为厂，则;S底面¥=4x<5底面邓底面为小三棱锥的底面积），得r=*.

故小球的表面积5=4/=半

4.【答案】B

5.【答案】$一岳

2

【分析】设出小球半径，结合图形，利用已知条件，根据勾股定理，即可求出答案.

【解析】易知大球的半径为H=l,设小球的半径为「，C为小球球心，。为大球球心，

大球与正四棱柱的下底面相切与点"，小球与正四棱柱的上底面相切与点E，连接

HN,EM,作CD，。。于点。，如图，

由题意可知，HN=叵，EM=5，

所以OD=HN—EM=6—拒「，CD=3-l-r=2-r,

因为两圆相切，所以CO=l+r,

因为AOa)为直角三角形，所以(1+厂『=(2—/『+(、历—行厂了,

即2r2—1。r+5=0,

T7rnJr.(r\i、er-1>110—VlOO—405—\/15

又因为re(0,1),所以厂=-------------=——--.

42

故答案为：5-屈

2

6「答案】鲁

【分析】由球心。为正方体的中心，连接8。与AC交于点尸，作如J_场，易知OE为

所得圆锥的高，底面的半径为r=E/求解.

【解析】如图所示：

易知球心O为正方体的中心，连接BD与AC交于点F,

作0E工MF,易知AC，面”BOD］,则AC，Q£,

又版="，所以0£_L平面AQ0,则OE为所得圆锥的高,

1c口OF-0M1.亚限

又0E=----------=-=——，

MF733

圆锥的底面的半径为r=EF=4OF2-OE2=I2-[

V〔3J3

所以圆锥的体积为厂=工开x乂"义典=如,

33327

\7

故答案为：典.