平面解析几何-2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】（含解析）

(8)平面解析几何

2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】

易混重难知识

1.两条直线平行与垂直的判定：设两条直线44的斜率分别为勺，

(1)/]〃4O勺=%2；(2)4，4O不2=-1.

2.直线的方程：

=

(1)点斜式：Jok(x-xo).(2)斜截式：y=kx+b.

(3)两点式：——=~.(4)截距式：—+—=1(<27^0,Z?7^0).

%一%马一玉ab

(5)一般式：Ax+By+C=Q(A,3不同时为0).

3.直线的交点坐标与距离公式

①一般地，将两条直线的方程联立，得方程组++,若方程组有唯一解，则两

i

yA1x-rB2y+C2=0

条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平

行.

22

②两点<(芭，/),4(%，y2)间的距离公式I明1=^-xj+(y2-yj.

③点到直线的距离：点々(/，为)到直线/：上+为+c=o的距离d=心+联：。

A/A2+B2

④两条平行直线间的距离：若直线k，4的方程分别为k-.Ax+By+C^Q,l2:Ax+By+C2=Q,

则两平行线的距离d=尸一卬.

VA2+B2

4.判断直线与圆的位置关系的方法：

(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：A>0=相交，A<0=相

离，A=0=相切.

(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径厂的大小)：设圆心到直线的距离为d,则

相交，d>r。相离，d=r=相切.

5.圆与圆的位置关系：设圆&半径为心圆。2半径为攻

圆心距与两圆半径的关系两圆的位置关系

1。。2IV「为1内含

101021=1/I-1内切

引<002<4+马|相交

|。。2R…।外切

|002因4+4।外离

6.椭圆的方程与简单几何性质

焦点在X轴上焦点在y轴上

2222

标准方程餐+3=1(。>6>0)=+2=1(。”>。)

abab

一般方程AX2+B/=1(A>0,B>0,A^B)

焦点坐标耳(-c,0),工(c,0)£(0「c),月(0©

^(-0,0),A,(a,0)4(0,-a),4(0,a)

顶点坐标

4(0,询也(。,份4(——0),与(瓦。)

范围|x|Wa,\y\<b|x|Wb,\y\<a

长轴长144|=2a

「.|=2b

短轴长

焦距WKI=2c

e=-=.l—^-(0<e<l)，

离心率a\a

e越接近于1,椭圆越扁；€越接近于0,椭圆越圆

7.双曲线的几何性质

焦点在X轴上焦点在y轴上

2222

标准方程—7-7^-=1(^>0,Z?>0)A一2=1(。>0,Z?>0)

abab

焦点坐标-(-c,0)，K(c,0)耳（0「C），K（O©

顶点坐标A(-a,0),4(a,0)4(0,-a),4(0,a)

范围\x\>a\y\>a

对称性关于X轴、y轴对称，关于原点对称

实、虚轴长实轴长为2a,虚轴长为2b

离心率双曲线的焦距与实轴长的比e=£

a

一x

渐近线方程y=+—x

ab

8.抛物线的几何性质

标准方程y2=2Px(p>0)y2=-2px(p>0)x2-2py(p>0)x2=-2py(p>0)

范围%>0,yeRx<0,yGR%eR,y>0%eR,y<0

pPp

准线x=----x=—y=y=

22-22

隹占g,0)(4,0)(o,g（0，-9

八、、八、、

对称性关于X轴对称关于y轴对称

顶点(0,0)

离心率e=l

ppp7“

焦半径长%+5F+万

焦点弦长%+%]+p-(%+xJ+p坊+y+P-(%+x)+p

易错试题提升

1.过点（-1,2）且与直线2x-3y+4=0垂直的直线方程为（）

A.3%+2y+7=0B.3x+2y—1=0

C.2x-3y+5=0D.2x—3y+8=0

2.在平面直角坐标系xOy中，已知A是圆&：/+（,_3）2=I上的一点，B,。是圆

。2：（%-4）2+；/=4上的两点，则/BAC的最大值为（）

A.-B.-C.-D.—

6323

22

3.已知双曲线c：三-方=l（q>0,6>0）的离心率为2,左、右焦点分别为qF2,6到渐近

线的距离为3,过尸2的直线/1%轴，与双曲线C的右支交于A,5两点，则的面积为

（）

A.9B.24C.36D.72

2

4.已知R为椭圆C：］+y2=i的右焦点，P为。上一点，。为圆加"2+（”4）2=1上一点，

则|PQ|-忱刊的最小值为（）

-2-\/62>/6C—5+2^/^D.-7+2^/^

5.已知抛物线C：y2=8%的焦点为尸,5（-1,4）,点尸（孙”）是抛物线C上一动点,^\\AP\+m

的最小值是（）

A.3B.5C.7D.8

6.已知椭圆C:1+g=l的左右焦点为耳，F2,P为椭圆C上一点，NPFB弋,则耳月

的面积为（）

A.A/3B.lC.3D.2相

7.已知抛物线C：9=8%的焦点为R过点R作两条互相垂直的直线4，小且直线&分

别与抛物线C交于A,3和。，E,则四边形AD3E面积的最小值是（）

A.32B.64C.128D.256

8/是双曲线c：二-匕=l（a>0,>>0）的左焦点，。是坐标原点，直线丫=且％与双曲线C

«b-3

的左、右两支分别交于P,Q两点，且|FO|=|尸耳，则双曲线的离心率为（）

A.0+1B.后+iC.且±1D.走±1

33

22

9.（多选）已知椭圆c：斗+斗=l（a>>>0）的左、右焦点分别为耳，F,上顶点为8（0,加），

ab

离心率为也，若M,N为C上关于原点对称的两点，则（）

2

AC的标准方程为X+d=i

42

419

B------+------>—

I阿R|-4

C-kBM,kBN=-g

D.四边形MF{NF2的周长随MN的变化而变化

10.（多选）已知。为坐标原点，点R为抛物线C：V=4x焦点，点P（4,4）,直线

/:尤=72+1交抛物线C于A,3两点（不与尸点重合），则以下说法正确的是（）

A.|M|>1

B.存在实数粗，使得NA03（巴

2

C.若赤=2万，贝1]〃，=土变

J4

D.若直线以与的倾斜角互补，则加=—2

11.已知圆。:炉+产―4%+2缈+3=。关于直线x+2y-6=0对称，圆C交y于A,3两点，则

---

12.已知抛物线C：>2=8%的焦点为R/（4,0）,过点M作直线x+（a-耳-2=0的

垂线，垂足为。，点P是抛物线C上的动点，则归刊+|PQ|的最小值为_____________..

13.已知椭圆C:三+斗=1（">>>0），。的上顶点为A,两个焦点为片，F2,离心率为L过£

ab2

且垂直于A月的直线与C交于。，E两点，△"火的周长是13,贝1||。同=.

22

14.已知双曲线0：1—4=1（。〉0]〉0）的离心率为夜,右焦点为F（2,0）.

-27c2

（1）求双曲线c的标准方程.

(2)过点R的直线/与双曲线C的右支交于A,3两点，在无轴上是否存在点P,使得

丽.而为定值?若存在.求出该定值；若不存在，请说明理由.

15.已知椭圆£■：二+匕=i(q>b>0)的离心率为更，A、C分别是E的上、下顶点，B,D分

a-b-3

别是E的左、右顶点，|AC|=4.

(1)求E的方程；

(2)设尸为第一象限内E上的动点，直线PD与直线交于点直线以与直线y=-2交

于点N.求证：MN//CD-

答案以及解析

1.答案：B

解析：直线2x—3y+4=0的斜率为：，

所以与直线2x-3y+4=0垂直的直线斜率为-9,

故由点斜式可得y—2=—T(x+1)，即3无+2y—1=0,

故选：B.

2.答案：B

解析：由点A是圆C]：/+(y—3)2=1上的一点，B,C是圆4了+丁2=4上的两点,

可得圆心C](0,3),C2(4,0),半径彳=1,r2=2,

根据题意，当点A与圆的距离最短时，且过A与圆。2：(%-4)2+V=4相切时，

此时/BAC取得最大值,此时|AC21mhi=|CC|—1=432+42—1=4,

nJMsinZBAC=-=-,所以/痴。2=巴，所以N3AC=巴.

242263

故选：B.

e=%=2卜=6

解析：由题知，设双曲线的焦距为2c，则b=3,解得b=3,

a2+b2=c2c=2相

.•・双曲线C：；—！=1，耳'2百,0),每(260).

22

将%=2指代入C：A-巳=1,解得y=±3指,二|阴=6一，

的面积为gEK|.|AB|=gx46x6G=36.

故选：C.

4.答案：D

解析：如图，由题可知，圆M的圆心坐标为（0,4）,半径为1,

设椭圆C的左焦点为E,即后卜2也0）,

则|PQ|—|P司=|PQ|—（2a—|尸目）=|P0+1—6,

故要求|PQ|-|P目的最小值，即求|PQ|+|P£|的最小值，

所以|PQ|+|五目的最小值等于|ME|-1=78+16-1=2#-1,

即|P2|-|PF\的最小值为_7+2指，

故选：D.

5.答案：A

解析：由题意得网2,0）,

由抛物线焦半径公式可知，加=归同-2,

故|AP|+m=|AP|+|尸青-2,显然连接AR与抛物线交点为「，

此时|AP|+|PF|取得最小值,即当A,P,尸三点共线时,|AP|+附最小,

最小值为\AF\=J（-l_2）2+（4-0）2=5，

故|人耳+机=|/1?|+归目-2的最小值为3.

故选：A

6.答案：A

解析：由题意得，=4-3=1,解得c=l,

由椭圆定义可得|?制+户闾=4,闺囚=2,

由余弦定理得cos/P耳片」PR:闺9勾，

2附IM用

因为归闾=4—户用，/PFE.，

所以爪谓也型=g解得冏=2，

则S△呻2=；附|・闺图sinN尸耳耳=qx2x2x*=^.

故选：A.

7.答案：C

解析：由题意抛物线的焦点为尸（2,0）,显然[斜率存在且不为°，

设直线6方程为y=A（x-2）,设4（再,%）,B（x2,K）＞由A"2），得

[y=8%

左2龙2_（4左之+8）龙+4左2=o

QQ

则%+%=4+正，BP\AB\=X1+X2+4=8+—,

设直线4的方程为丁=-工（%-2），设。（毛，%），。（%4，、4）

k

贝(J尤3+乙=4+8左2,即|6|=项+2+4=8+8左2,

418+部8+/1

.-.S=^\AB\\CD\8k2)=322+k2+x——=128,当且仅当

2"2+2版k2

7

k2』，即左=±i时等号成立.

K

故选：C.

8.答案：C

解析：因为直线y=YE%与双曲线C的左、右两支分别交于P,。两点,

3

所以/。。E=4?0/=30°，

因为归0|=|尸同=c,所以/FPO=/POP=30°，

所以/0/7=120。，

过尸作尸G,%轴于点G,在Rt△尸产G中，|PF|=c，ZPFG=60°，

所以|FG|=gc，|PG|=V3

——c

2

所以点P的坐标为1-3c,-"c1,

122J

22

因为点尸在双曲线。：=-3=1（口＞0,。＞0）上，

cib

93

2C2

以

所-c-

44化间得—3a=2=4a%2'

一-

2

所以9(。2-/)c_3a2c2=4/伍2-,整理得9c4_16a2c2+4,=。，

所以9e4—16e2+4=0,所以e?=.士^⑹-4x4x9=8±2/,

189

因为e〉l，所以/_8+25_(S+1),所以e=也土1,

-=~3

故选：C

9.答案：ABC

解析：由题意得，上顶点为仅0,0)，离心率为Y1,故6=c=B"2,

2

故C的标准方程为看+廿=1，显然A正确,

42

连接摩，NF2,由对称性得用=|A*|,

结合椭圆的定义得|5|+|N用=I孙I+pw闾=2a=4,

引)〉工(4+1+2M.%)-2,

故％嬴+|附环四时)少+1+"+1可)-4(VRIRI4

当且仅当|摩|=|,|八圜=\时取等，故B正确，

22

设/(%,%),N(-%,-%),而上+2^_=i，故端=4-2%2,

故%=3,凝”段1

故须M=工^-7=支?^2"2,故C正确,

4一2%2

玉)%0%02

易知四边形幽N区的周长为打库|+|八*|+|川用+|N国=8，为定值，故D错误.

故选：ABC.

10.答案：ACD

解析：由已知，抛物线c：>2=4%，."=2,告=1，焦点打1,0）,

不妨设为A（X，yJ，*々,%），设43到准线的距离分别为应，dB，

对于A,•.•由标准方程知，抛物线顶点在原点，开口向右，为20，

由抛物线的定义|E4|=Z=X]+5=Xj+121，故选项A正确；

对于B,~4x消去x,化简得9_4冲—4=0（八>0），

x=my+1

222

则%+%=4掰，乂%=-4,；尸=4%，...x=2L，=

416

,.,04=（玉，％）,。5=（%2，%），OA-OB—xrx2+yxy2=1一4二一3<0，

cosNAOB=cos[OA,OB^=答•岗<0,ZAOB>]，

二.不存在实数如使得4403〈巴，选项B错误；

2

对于C,AF=（1-^,-^）>FB=（X2-l,y2），

•.•衣=2丽，乂）=2（/-1，%）=（2尤2-2,2%），=2%

又;由选项B判断过程知其+%=4加，x%=-4，

解得X=2A/^,y2=—A/2?加=或％=—,y2=^2>m=—，

44

,若衣=2而，则根=土也，选项C正确；

4

对于D,由题意，石片4,%力4,%/4,%力4，

直线以与尸3的倾斜角互补时，斜率均存在，且左以=-4网，

.•・二=一匚，代入斗=豆，/=反，化简得%+%+8=0，

1

Xj-4X2-444

由选项B的判断知，yl+y2=4m,.-.4m+8=o>

.,.加=—2，故选项D正确.

1L答案：2

解析：圆+y2-4x+2〃y+3=0,(x-2)2+(y+a)2=a2+1圆心C(2,-〃)，半径

r=V«2+1，

因为圆C关于直线x+2y-6=0对称，所以2+2x（-a）-6=0，解得。=—2,

所以（x-2『+（y-2『=5，圆心C（2,2）,半径厂=6，

则圆心C（2,2）到y轴的距离d=2,所以|阴=24—解=2.

故答案为：2

12.答案：。

2

解析：由%+,_君））_疯?_2=0得。卜_6）+%_6》_2=0，

所以直线x+（a——底—2=0过点A3,6）.

连接AM,则｝=2，由题意知点。在以AM为直径的圆上,

设Q（x,y），所以点Q的轨迹方程为卜-|J+卜-咚1=1（不包含点卜,6））,

记圆口-2丫+心_旬=i的圆心为J2,回，过点Q,P,N分别作准线％=—2的垂线,

I2M2JI22J

垂足分别为3,D,S,连接。。，则

|PF|+|PQ|=\PD\+\PQ\>\DQ\>|QB|>|NS|-1=|+2-1=y,当且仅当3,P,Q,N四点共线

且点。在PN中间时等号同时成立，所以归目+|PQ|的最小值为2.

故答案为：11.

2

13.答案：6

解析：如图，连接4耳，DF2,EF2,

2a2

所以"2=1—C2=302,

因为|/闿=|A闾=a=2c=|耳闾，所以为等边三角形,

又QE1A6,所以直线DE为线段A片的垂直平分线，

所以AD=D鸟，AE=附，

则△4£）£的周长为1A0+I/归1+1。石1=

\DF2\+\EF2\+\DE\^\DF2\+\EF2\

”13

=4a=13=〃=—，

4

13

..c——，

8

而/班K=30°，所以直线DE的方程为y=7(%+c)'

22

代入椭圆。的方程工+工=1，得13f+Sex-32c2-0，

4c23c2

Qr32c2

设。EK，%），则%+%=一三"ML"，

所以DE=J1+；］］（石+九2『-4匹马'4%8c丫/(32c2)]48c

-----4义----------

13J(13)\13

故答案为：6.

14.答案：（1）H_f=i

22

（2）见解析

aa=-72,

解析：（1）由题意可得c=2,解得＜

b=0,

c2=a2+b2,

则双曲线C的标准方程为X—2i=i.

22

（2）由题意可知直线/的斜率不为0,设直线/:%=加丁+2,A（5,yJ,川玉，％），P（xo,O）,

x=my+2

联立fy2_,整理得(m2—1)y2+4〃2y+2=0,

三工一

则4m2

因为？A=（玉一九0,乂）,~8=（%2-%0，%），所以

西・丽=(玉-%)(%一%)+Xy2=(7孙+2-/)(叼2+2-/)+Xy2

=(〃/+1)%%+m(2一飞)(%+y2)+xo—4入0+4.

寸夕4m后代入上式,

2

4B——►►2(irr+l)4m(2-x0)―2)瓶2—%：+4%0—2

^PAPB=+XQ-4XQ+4=

m2-11m2-11m2—1

若丽・