2025届高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列及其前n项和课时规范练理含解析新人教版

PAGE第五章数列其次节等差数列及其前n项和[A组基础对点练]1．设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5 B．7C．9 D．11解析：∵{an}是等差数列，∴a1＋a5＝2a3，即a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3∴S5＝eq\f(5（a1＋a5）,2)＝5a3＝5.答案：A2．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝eq\f(3,4)，则a1＝()A．－1 B．0C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)解析：由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝eq\f(3,4)，数列{an}单调递增，∴a2＝eq\f(1,2)，a4＝eq\f(3,2)，∴公差d＝eq\f(a4－a2,2)＝eq\f(1,2)，∴a1＝a2－d＝0.答案：B3．(2024·河北唐山市高三摸底考试)等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＋a11＝4，则S13＝()A．13 B．26C．39 D．52解析：由等差数列的性质可知，a1＋a13＝a3＋a11＝4，∴S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝26.答案：B4．等差数列{an}中，a1＝1，an＝100(n≥3).若{an}的公差为某一自然数，则n的全部可能取值为()A．3，7，9，15，100B．4，10，12，34，100C．5，11，16，30，100D．4，10，13，43，100解析：由等差数列的通项公式得，公差d＝eq\f(an－a1,n－1)＝eq\f(99,n－1).又因为d∈N，n≥3，所以n－1可能为3，9，11，33，99，n的全部可能取值为4，10，12，34，100.答案：B5．(2024·广东六校第一次联考)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝2S4，a2＋a4＝8，则a5＝()A．6 B．7C．8 D．10解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5a1＋\f(5×4,2)d＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)d))，,a1＋d＋a1＋3d＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3，))故a5＝a1＋4d＝－2＋12＝10.法二：因为S5＝2S4，所以a5＝S4＝eq\f(1,2)S5.因为a1＋a5＝a2＋a4＝8，所以S5＝eq\f(（a1＋a5）·5,2)＝eq\f(8×5,2)＝20，所以a5＝eq\f(1,2)S5＝eq\f(1,2)×20＝10.答案：D6．(2024·广东百校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1≠0，S2＝a4，则eq\f(a5,S3)＝()A．1 B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,3) D．eq\f(7,9)解析：设等差数列{an}的公差为d，由S2＝a4，得2a1＋d＝a1＋3d，所以a1＝2d，所以eq\f(a5,S3)＝eq\f(a1＋4d,3a1＋3d)＝eq\f(6d,9d)＝eq\f(2,3).答案：B7．(2024·安徽八校联考)在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则eq\f(1,5)a4＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：法一：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a1＋2d)＋(a1＋10d)－3(a1＋4d)＝10，即2a1＋6d＝10，即a1＋3d＝5，故a4＝5，所以eq\f(1,5)a4＝1.法二：设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为an＝am＋(n－m)d，所以由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a4－d)＋(a4＋7d)－3(a4＋d)＝10，整理得a4＝5，所以eq\f(1,5)a4＝1.法三：由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，所以4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以eq\f(1,5)答案：C8．已知{an}是等差数列，a1＝9，S5＝S9，那么使其前n项和Sn最大的n是()A．6 B．7C．8 D．9解析：因为a1＞0，S5＝S9，所以公差小于零，数列{an}的散点图对应的抛物线开口向下且对称轴为x＝7，故n＝7时，Sn最大．答案：B9．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a1，则eq\f(a1＋2015,2)＝1010，故a1＝5.答案：510．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对随意正整数n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，则eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)的值为________．解析：因为{an}，{bn}为等差数列，所以eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)＝eq\f(a9,2b6)＋eq\f(a3,2b6)＝eq\f(a9＋a3,2b6)＝eq\f(a6,b6).因为eq\f(S11,T11)＝eq\f(a1＋a11,b1＋b11)＝eq\f(2a6,2b6)＝eq\f(2×11－3,4×11－3)＝eq\f(19,41)，所以eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)＝eq\f(19,41).答案：eq\f(19,41)11．(2024·广东第一次模拟)等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四项等于________．解析：∵log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)成等差数列，∴log3(2x)＋log3(4x＋2)＝2log3(3x)，∴log3[2x(4x＋2)]＝log3(3x)2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x（4x＋2）＝（3x）2，,2x＞0，,4x＋2＞0，,3x＞0，))解得x＝4，∴等差数列的前三项为log38，log312，log318，∴公差d＝log312－log38＝log3eq\f(3,2)，∴数列的第四项为log318＋log3eq\f(3,2)＝log327＝3.答案：312．(2024·广东六校第三次联考)等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，求a9－eq\f(1,3)a11的值．解析：依题意，由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，得5a8＝120，即a8＝24，所以a9－eq\f(1,3)a11＝eq\f(1,3)(3a9－a11)＝eq\f(1,3)(a9＋a7＋a11－a11)＝eq\f(1,3)(a9＋a7)＝eq\f(2,3)a8＝eq\f(2,3)×24＝16.[B组素养提升练]1．(2024·河北石家庄模拟)已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则{an}的前100项的和为()A．－200 B．－100C．0 D．－50解析：由y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，可得y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称，由数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，可得a50＋a51＝－2.又由等差数列的性质得a1＋a100＝a50＋a51＝－2，则{an}的前100项的和为eq\f(100（a1＋a100）,2)＝－100.答案：B2．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝0，S2n－1＝38，则n等于__________．解析：∵{an}是等差数列，∴2an＝an－1＋an＋1.又∵an－1＋an＋1－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝0，∴2an－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝0，即an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2，∴S2n－1＝(2n－1)an＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.答案：103．已知数列{an}满意a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*).(1)求证数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差数列，并求其通项公式；(2)设bn＝eq\r(2an)－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.解析：(1)证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)，∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝2，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差数列，其公差为2，首项为2，∴eq\f(an,n)＝2＋2(n－1)＝2n.(2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝eq\r(2an)－15＝2n－15，则数列{bn}的前n项和Sn＝eq\f(n（－13＋2n－15）,2)＝n2－14n.令bn＝2n－15≤0，解得n≤7.∴当n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n.当n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98.∴Tn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(14n－n2，n≤7，,n2－14n＋98，n≥8.))4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，公差为d(d∈N*).(1)若a5＝30，求数列{an}的通项公式；(2)是否存在d，n使Sn＝10成立？若存在，试找出全部满意条件的d，n的值，并求出数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．解析：(1)当a5＝30时，由a5＝a1＋4d，得30＝－2＋4d，解得d＝8，所以an＝a1＋(n－1)d＝8n－10，所以数列{an}的通项公式为an＝8n－10.(2)由Sn＝10，得－2n＋eq\f(n（n－1）,2)d＝10，即－4n＋dn2－dn＝20，所以dn2－(d＋4)n－20＝0.当n＝1时，得－24＝0不存在；当n＝2时，得d＝14符合，此时数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝14n－16；当n＝3时，得d＝eq\f(16,3)不符合；当n＝