2024-2025学年新教材高中数学第10章概率10.1.2事件的关系和运算素养作业提技能含解析新人教A版必修第二册

PAGE第十章10.110.1.2A组·素养自测一、选择题1．掷一枚骰子，设事务A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事务A与事务B的关系是(B)A．A⊆BB．A∩B＝{出现的点数为2}C．事务A与B互斥D．事务A与B是对立事务[解析]由题意事务A表示出现的点数是1或2或3；事务B表示出现的点数是2或4或6．故A∩B＝{出现的点数为2}.2．某人在打靶中，连续射击2次，事务“至少有一次中靶”的互斥事务是(C)A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶[解析]由于事务“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事务是不行能事务，所以它们互为互斥事务.3．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事务“取出1个红球和2个白球”的对立事务是(D)A．取出2个红球和1个白球B．取出的3个球全是红球C．取出的3个球中既有白球也有红球D．取出的3个球不止一个红球[解析]从装有3个红球和1个白球的口袋中随机取出3个球可能的状况有：“3个红球”“1个红球2个白球”“2个红球1个白球”，所以事务“取出1个红球和2个白球”的对立事务是“3个红球或2个红球1个白球”即“3个球不止一个红球”，故选D．4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次放射一枚炮弹，设事务A＝{两弹都击中飞机}，事务B＝{两弹都没击中飞机}，事务C＝{恰有一弹击中飞机}，事务D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是(D)A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D[解析]“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中其次枚没中或第一枚没中其次枚击中，“至少有一弹击中”包含两种状况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.5．(多选)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事务是(BD)A．至少有1个红球与都是红球B．至少有2个红球与都是白球C．至少有1个红球与至少有1个白球D．恰有1个红球与恰有2个红球[解析]A项中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事务同时发生，故它们不是互斥事务，所以A项不符合题意；B项中，这两个事务不能同时发生，则它们是互斥事务，若取出的3个球为1红2白，则它们都没有发生，故它们不是对立事务，所以B项符合题意；C项中，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事务，所以C项不符合题意；D项中，这两个事务不能同时发生，是互斥事务，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事务，所以D项符合题意.二、填空题6．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事务A：“二次都出现正面”，事务B：“二次都出现反面”，则事务A与事务B是对立事务；(2)在命题(1)中，事务A与事务B是互斥事务；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事务A：“所取3件中最多有2件是次品”，事务B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事务A与事务B是互斥事务，其中真命题的个数是__1__.[解析]命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题.对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事务A，B外，还有“第一次出现正面，其次次发觉反面”和“第一次出现反面，其次次出现正面”两个事务，所以事务A和事务B不是对立事务，但它们不会同时发生，所以是互斥事务；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事务A和事务B同时发生，所以事务A和事务B不是互斥事务.7．若掷红、蓝两颗骰子，事务A＝“红骰子点数大于3”，事务B＝“蓝骰子点数大于3”，则A∩B＝__{(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}__.(记在点的坐标(x，y)中，x表示红骰子出现的点数，y8．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事务A，B，C，D，E，则事务取出的是理科书可记为__B∪D∪E__.[解析]由题意可知事务“取到理科书”可记为B∪D∪E.三、解答题9．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，推断下列给出的每对事务是否为互斥事务，是否为对立事务，并说明理由.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”[解析](1)是互斥事务，不是对立事务.理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不行能同时发生的，所以是互斥事务.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事务.(2)既是互斥事务，又是对立事务.理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事务不行能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事务，又是对立事务.(3)不是互斥事务，当然不行能是对立事务.理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事务可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事务，当然不行能是对立事务10．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事务R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“其次次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”.(1)事务R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？(2)事务R与事务G的并事务与事务M有什么关系？事务R1与事务R2的交事务与事务R有什么关系？[解析](1)因为R⊆R1，所以事务R1包含事务R；因为R∩G＝∅，所以事务R与事务G互斥；因为M∪N＝Ω，M∩N＝∅，所以事务M与事务N互为对立事务.(2)因为R∪G＝M，所以事务M是事务R与事务G的并事务；因为R1∩R2＝R，所以事务R是事务R1与事务R2的交事务.B组·素养提升一、选择题1．某人射击一次，设事务A为“击中环数小于4”，事务B为“击中环数大于4”，事务C为“击中环数不小于4”，事务D为“击中环数大于0且小于4”，A．A与B为对立事务 B．B与C为互斥事务C．C与D为对立事务 D．B与D为互斥事务[解析]“击中环数大于4”与“击中环数大于0且小于4”2．假如事务A，B互斥，记eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up6(－))分别为事务A，B的对立事务，那么(B)A．A∪B是必定事务 B．eq\o(A,\s\up6(－))∪eq\o(B,\s\up6(－))是必定事务C．eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))肯定互斥 D．eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))肯定不互斥[解析]利用集合Venn图可知B正确.3．设H，E，F为三个事务，eq\o(H,\s\up6(－))，eq\o(E,\s\up6(－))，eq\o(F,\s\up6(－))分别表示它们的对立事务，表示“三个事务恰有一个发生”的表达式为(B)A．H＋E＋F B．Heq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))＋eq\o(H,\s\up6(－))Eeq\o(F,\s\up6(－))＋eq\o(H,\s\up6(－))eq\o(E,\s\up6(－))FC．HEeq\o(F,\s\up6(－))＋Heq\o(E,\s\up6(－))F＋eq\o(H,\s\up6(－))EF D．eq\o(H,\s\up6(－))＋eq\o(E,\s\up6(－))＋eq\o(F,\s\up6(－))[解析]“恰有一个发生”是指三个事务中只有一个发生，同时另外两个不发生，故选B．4．(2024·福建省宁德市期末)2024年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语，必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.已知某同学已选了物理，记事务A：“他选择政治和地理”，事务B：“他选择化学和地理”，则事务A与事务B(AA．是互斥事务，不是对立事务B．是对立事务，不是互斥事务C．既是互斥事务，也是对立事务D．既不是互斥事务也不是对立事务[解析]事务A：“他选择政治和地理”，事务B：“他选择化学和地理”，则事务A与事务B不能同时发生，但能同时不发生，故事务A和B是互斥事务，但不是对立事务，故A正确.二、填空题5．掷一枚质地匀称的骰子，记A为事务“落地时向上的数是奇数”，B为事务“落地时向上的数是偶数”，C为事务“落地时向上的数是3的倍数”.其中是互斥事务的是__A，B__，是对立事务的是__A，B__.[解析]A，B既是互斥事务，也是对立事务.6．在掷骰子的试验中，可以得到以下事务：A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}.请依据这些事务，推断下列事务的关系：(1)B__⊆__H；(2)D__⊆__J；(3)E__⊆__I；(4)A__＝__G.[解析]当事务B发生时，H必定发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I，而事务A与G相等，即A＝G.三、解答题7．设A，B，C代表随机事务，记它们的对立事务分别为eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(C,\s\up6(－))，试用这些事务表示下列事务.(1)A与B发生，C不发生；(2)A，B，C恰好有两个发生；(3)A，B，C至少有两个发生.[解析](1)事务A与B同时发生，C不发生，则A，B，eq\o(C,\s\up6(－))同时发生，故所求事务为ABeq\o(C,\s\up6(－)).(2)A，B，C恰好有两个发生，分为三种状况：A，B发生，C不发生；A，C发生，B不发生；B，C发生，A不发生.分别求解每种状况，然后求和.故所求事务可以表示为ABeq\o(C,\s\up6(－))＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C＋eq\o(A,\s\up6(－))BC.(3)A，B，C至少有两个发生，较第(2)问多一种状况，即A，B，C同时发生，因此所求事务可以表示为ABeq\o(C,\s\up6(－))＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C＋eq\o(A,\s\up6(－))BC＋ABC.8．在掷骰子试验中，依据向上的点数可以定义很多事务，如：A＝{出现点数1}；B＝{出现点数3或4}；C＝{出现的点数是奇数}；D＝{出现的点数是偶数}.(1)说明以上4个事务的关系；(2)求两两运算的结果.[解析]在掷骰子的试验中，依据向上出现的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6).则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6．(1)事务A与事务B互斥，但不对立，事务A包含于事