2024-2025学年新教材高中数学第2章常用逻辑用语2.3.1全称量词命题与存在量词命题课时素养评价含解析苏教版必修第一册

PAGE课时素养评价八全称量词命题与存在量词命题(15分钟30分)1.“存在集合A,使A”,对这个命题,下面说法中正确的是 ()A.全称量词命题、真命题B.全称量词命题、假命题C.存在量词命题、真命题D.存在量词命题、假命题【解析】选C.当A≠时,A,是存在量词命题,且为真命题.故选C.2.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是 ()A.∃a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2B.∃a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2C.∀a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2D.∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2【解析】选D.命题对应的全称量词命题为:∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2.3.若“随意x∈QUOTE,x≤m”是真命题,则实数m的最小值为()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为“随意x∈QUOTE,x≤m”是真命题,所以m≥QUOTE,所以实数m的最小值为QUOTE.4.对每一个x1∈R,x2∈R,且x1<x2,都有QUOTE<QUOTE是________量词命题(填“全称”或“存在”),是________(填“真”或“假”)命题.

【解析】含有全称量词“每一个”,是全称量词命题,令x1=-1,x2=0,则QUOTE>QUOTE,故此命题是假命题.答案:全称假5.用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并推断真假:(1)实数都能写成小数形式.(2)有的有理数没有倒数.(3)不论m取什么实数,方程x2+x-m=0必有实根.(4)存在一个实数x,使x2+x+4≤0.【解析】(1)∀a∈R,a都能写成小数形式,此命题是真命题.(2)∃x∈Q,x没有倒数,有理数0没有倒数,故此命题是真命题.(3)∀m∈R,方程x2+x-m=0必有实根.当m=-1时,方程无实根,是假命题.(4)∃x∈R,使x2+x+4≤0.x2+x+4=QUOTE+QUOTE>0恒成立,所以为假命题.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.下列命题中,存在量词命题的个数是 ()①实数的肯定值是非负数;②正方形的四条边相等;③存在整数n,使n能被11整除.A.1 B.2 C.3 D.0【解析】选A.①②是全称量词命题,③是存在量词命题.2.设非空集合P,Q满意P∩Q=Q且P≠Q,则下列命题是假命题的是 ()A.∀x∈Q,有x∈P B.∃x∈P,有x∉QC.∃x∉Q,有x∈P D.∀x∉Q,有x∉P【解析】选D.因为P∩Q=Q且P≠Q,所以QP,所以集合Q中的元素都是集合P的元素,但是集合P中有元素集合Q中是没有的,所以A,B,C正确,D错误.3.(2024·丹东高一检测)已知∀x∈[0,2],p>x;∃x∈[0,2],q>x.那么p,q的取值范围分别为 ()A.p∈(0,+∞),q∈(0,+∞)B.p∈(0,+∞),q∈(2,+∞)C.p∈(2,+∞),q∈(0,+∞)D.p∈(2,+∞),q∈(2,+∞)【解析】选C.由∀x∈[0,2],p>x;得p>2.由∃x∈[0,2],q>x;得q>0.所以p,q的取值范围分别为(2,+∞),(0,+∞).4.(多选题)下列命题是真命题的为 ()A.∀x∈R,-x2-1<0B.∀n∈Z,∃m∈Z,nm=mC.全部圆的圆心到其切线的距离都等于半径D.存在实数x,使得QUOTE=QUOTE【解析】选ABC.对于A,∀x∈R,-x2≤0,所以-x2-1<0,此命题是真命题;对于B,当m=0时,nm=m恒成立,此命题是真命题;对于C,任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径,此命题是真命题.对于D,因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以QUOTE≤QUOTE<QUOTE.故该命题是假命题.二、填空题(每小题5分,共10分)5.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a,b)为________.

【解析】当a=QUOTE,b=QUOTE时,存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab是真命题,故所求有序数对可以为QUOTE.答案:QUOTE(答案不唯一)6.给出下列命题,①存在a,b∈R,使得a2+b2-2a-2b+2<0;②任何实数都有算术平方根;③某些四边形不存在外接圆;④∀x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.其中正确命题的序号为________.

【解析】①是假命题,因为对随意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2=QUOTE+QUOTE≥0;②是假命题,例如-4没有算术平方根;③是真命题,因为只有对角互补的四边形有外接圆;④为假命题,当x=y=0时,x2+|y|=0.答案:③【误区警示】解答本题①简单忽视配方法的应用.三、解答题7.(10分)是否存在整数m,使得命题“∀x≥-QUOTE,-5<3-4m<x+1”是真命题?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.【解析】假设存在整数m,使得命题“∀x≥-QUOTE,-5<3-4m<x+1”是真命题.因为当