河北省郑口中学、鸡泽县2024−2025学年高二上学期10月月考 数学试题含答案

河北省郑口中学、鸡泽县2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．设直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．2．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（

）A． B． C．1 D．23．已知直线与平行，且过点，则（

）A． B．3 C． D．24．如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（

）A． B．C． D．5．已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．6．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．7．已知实数满足，且，则的取值范围为（

）A． B．C． D．8．在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知空间向量，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．10．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（

）A．始终过定点 B．若，则或C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限11．如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（

）A．点的轨迹长度为B．点到平面的距离是定值C．直线与平面所成角的正切值的最大值为D．的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为．13．已知向量，若共面，则.14．如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的顶点坐标为.(1)若点是边上的中点，求直线的方程；(2)求边上的高所在的直线方程.16．如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与直线的夹角的余弦值.17．如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.(1)求证：四边形为正方形；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18．已知直线过定点P.(1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程；(2)若直线过点且交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程.19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.

参考答案1．【答案】A【分析】设直线的倾斜角为，根据题意，得到，即可求解.【详解】由直线，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，其中，可得，所以.故选A.2．【答案】B【分析】根据得到，根据数量积为求解.【详解】因为，所以，所以，解得.故选B.3．【答案】D【分析】根据两直线平行的条件求出，将代入直线求出即可.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得，又直线过，则，解得，经验证与不重合，所以.故选D.4．【答案】A【分析】结合图形，利用向量的线性运算将所求向量用基底表示化简即得.【详解】如图，连接并延长交于点，连接.因为为的重心，故，又点是线段上的一点，且，故.故选A.5．【答案】C【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可.【详解】点关于对称的点设为，则，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为，即.故选C.6．【答案】C【分析】取的中点，以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】取的中点，则，以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，所以在上的投影的长度为，故点到直线的距离为.故选C.7．【答案】D【详解】由题意知，点满足关系式，且，可得点在线段上移动，且，，如图所示，设，则，因为点在线段上，所以的取值范围是.故选：D.8．【答案】B【详解】如图所示，延长至点，使得，所以，又由，所以四点共面，所以的最小值，即为点到平面的距离，因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半，又因为，所以三棱锥为正三棱锥，取等边的中心为，连接，可得平面，所以即为点到平面的距离，在等边，因为，可得，在直角中，可得，即点到平面的距离为，所以的最小值为.故选：B.9．【答案】ABD【分析】根据空间向量的模的坐标公式即可判断A；根据空间向量共线定理即可判断B；根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D.【详解】对于A，，，故A正确；对于B，，设，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选ABD.10．【答案】ACD【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确；选项B：当时，，重合，故B错误；选项C：当时，由，得或2，故C正确；选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.故选：ACD11．【答案】BCD【详解】对于A，因为，即，所以，即点在底面内是以为圆心､半径为1的圆上，所以点的轨迹长度为，故A错误；对于B，在正方体中，，又平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，又平面，所以点到平面的距离是定值，故B正确；对于C，因为平面，所以为直线与平面所成角，因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为，所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大，又，所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故C正确；对于D，到直线的距离为，当点落在上时，，故D正确.故选：BCD.12．【答案】（答案不唯一：或）【详解】由题意若过点的直线在坐标轴上的截距均为0，则显然满足题意，即，否则设满足题意的直线方程为，将代入得a=2，即也满足题意.故答案为：（答案不唯一：或）.13．【答案】5【分析】根据共面向量基本定理，即可列式求解.【详解】因为共面，所以存在实数，使得，即，即，解得：，，.故答案为：5.14．【答案】【详解】取中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，且，因为为的中点，故，于是，平面的一个法向量为，，设，则，，故，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.故答案为：．15．【答案】(1)(2)【分析】（1）由中点坐标公式得到，再由两点求出斜率，最后由点斜式方程求出即可；（2）由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为，再由点斜式得到直线方程即可；【详解】（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即.【关键点拨】求三角形一边的高所在的直线方程时，可利用点斜式求解，由于高线过三角形一个顶点，与对边垂直，借助垂直求出斜率，利用点斜式写出直线方程.16．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）先证，再由线线平行正线面平行即可；（2）由题意建系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】（1）因为是直三棱柱，则，又因为点分别为棱的中点，所以，则四边形是平行四边形，所以，又因为平面平面，故平面；（2）如图，因为直三棱柱中，故可以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，于是，设直线与直线的夹角为，则，故直线与直线的夹角的余弦值为.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，连接，在直四棱柱中，平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形；（2）如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，所以，故可取，设直线与平面所成角的大小为，所以即直线与平面所成角的正弦值为.18．【答案】(1)或或；(2)24，.【分析】（1）求出直线过原点和直线不过原点两种情况讨论求解即可；（2）由题意可知，直线的斜率存在，且，设直线，求出直线交轴的正半轴的点，交轴的负半轴的点，求出面积，进而根据基本不等式求解即可.【详解】（1）直线，即，令即即，若直线过原点，且过点，所以直线的方程为，即.若直线不过原点，可设直线方程为，因为点在直线上，所以，若，则，所以直线的方程为，若，则，所以直线的方程为，综上所述，所求直线的方程为或或.（2）由题意可知，直线的斜率存在，且，设直线，令，则；令，则，则，当且仅当时，即时取等号，故的最小值为24，此时，所以直线.19．【答案】(1)证明见