151152随机事件和样本空间随机事件的概率（原卷版）

15.1&15.2随机事件和样本空间随机事件的概率【考点梳理】考点一随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.考点二样本空间我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.考点三随机事件、必然事件与不可能事件1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.3.空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件.考点四随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.考点五古典概型一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.考点六古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).考点七概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).性质5如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).【题型归纳】题型一：总体和样本1．（2023·全国·高一专题练习）某次考试有50000名学生参加，为了解学生的数学成绩，从中抽取了1000名学生的数学成绩进行分析．在这个问题中，以下说法正确的个数是（

）（1）抽取的1000名考生的总体是一个样本；（2）抽取的1000名考生的数学成绩的平均数等于总体平均数；（3）样本容量是1000；（4）这50000名考生的数学成绩是总体．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023·全国·高一专题练习）为了了解某路口每天在学校放学时段的车流量，有下面几个样本，统计该路口在学校放学时段的车流量，你认为合适的是（

）A．抽取两天作为一个样本B．春､夏､秋､冬每个季节各选两周作为样本C．选取每周星期日作为样本D．以全年每一天作为样本3．（2023春·全国·高一专题练习）杨柳青一中期末考试后，为了分析高一年级520名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是（

）A．520名学生是总体 B．每名学生是个体C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本的容量是100题型二：随机事件的概念4．（2023·全国·高一专题练习）下列事件中是随机事件的是（

）A．所有四边形的内角和为180°B．通常加热到100℃，水沸腾C．袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上5．（2023·全国·高一专题练习）以下事件是随机事件的是（

）A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根6．（2023·全国·高一专题练习）已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（

）A．事件“都是红色球”是随机事件B．事件“都是白色球”是不可能事件C．事件“至少有一个白色球”是必然事件D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件题型三：确定事件和随机事件的概率7．（2023·全国·高一专题练习）12个同类产品中，有10个正品，任意抽取3个产品概率是1的事件是（

）A．3个都是正品 B．至少有一个是次品C．3个都是次品 D．至少有一个是正品8．（2022·高一课时练习）100件产品中，有95件正品、5件次品．从中抽取6件，“至少有1件正品”“至少有3件次品”“6件都是次品”“有2件次品、4件正品”这四个事件中随机事件的个数是（

）A．3 B．4 C．2 D．19．（2019春·全国·高一专题练习）下列说法中正确的是A．一个篮球运动员投三分球的命中率是10%，则当他投10个三分球时必然要投进一个B．一个篮球运动员投三分球的命中率是10%，则当他投了9个球均未投进时，第10个一定投进C．掷一枚均匀的硬币，连续出现了5次正面向上，则下一次出现反面向上的概率一定大于0.5D．掷一枚均匀的硬币，连续出现了5次正面向上，则下一次出现反面向上的概率仍然等于0.5题型四：频率和概率10．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30%，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（

）A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.3311．（2023·全国·高一专题练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（

）A．0.56，0.56 B．0.56，0.5C．0.5，0.5 D．0.5，0.5612．（2021春·西藏山南·高一山南二中校考期末）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（

）A． B． C． D．题型五：古典概型经典类型问题13．（2023·全国·高一专题练习）甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.14．（2023·全国·高一专题练习）全国爱卫办组织开展“地级市创卫工作”满意度调查工作,2023年2月14日24日在网上进行问卷调查,该调查是国家卫生城市评审的重要依据,居民可根据自身实际感受,对所在市创卫工作作出客观、公正的评价.现随机抽取了100名居民的问卷进行评分统计,评分的频率分布直方图如图所示,数据分组依次为:(1)求的值以及这100名居民问卷评分的中位数；(2)若根据各组的频率的比例采用分层随机抽样的方法,从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6人,查阅他们的答卷情况,再从这6人中选取2人进行专项调查,求这2人中恰有1人的评分在内的概率.15．（2023春·全国·高一专题练习）某地要举办一年一度为期一个月（30天）的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装．根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：到会人数/人需求量/箱400450500550600到会人数/人天数56874以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率．(1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y（单位：元），当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15000元的概率．【双基达标】一、单选题16．（2023·全国·高一专题练习）下列四个事件：①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔．其中必然事件有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个17．（2023·高一课时练习）为估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捉了1000条鱼做了记号，然后放回池塘，经过一段时间，等有记号的鱼完全混入鱼群，再捕捞200条，发觉其中有10条标有记号，则估计池塘里共有鱼______条.A．2000 B．10000 C．20000 D．4000018．（2023·全国·高一专题练习）两名学生均打算只去甲､乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市是等可能的，则不去同一城市上大学的概率为（

）A． B． C． D．19．（2023·全国·高一专题练习）新疆棉花是世界上最优质的棉花之一，普通的优质棉纱纤维长度左右，而新疆超长棉纱纤维长度可以达到以上.用超长棉纱制成的纯毛巾，质地柔软，手感舒适，色彩鲜艳，吸水性极好.某商场中有5款优质毛巾，其中有3款是用新疆超长棉纱制成的，在这5款毛巾中任选2款，只有一款是用新疆超长棉纱制成的概率是（

）A． B． C． D．20．（2023春·全国·高一专题练习）某校分别统计了甲、乙两人星期一至星期五每天在“学习强国”上的学习积分情况，得到如下条形图：则下列结论中错误的是（

）A．甲的积分的众数大于乙的积分的众数B．甲积分的方差小于乙积分的方差C．在这5天中，随机抽取1天，乙积分大于30分的概率为0.6D．在这5天中，随机抽取1天，甲积分大于30分的概率为0.421．（2023·全国·高一专题练习）对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：抽取台数501002003005001000优等品数4092192285478954(1)根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；(2)该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？22．（2023·全国·高一专题练习）某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：(1)估计两组测试的平均成绩，(2)若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．【高分突破】一、单选题23．（2023·全国·高一专题练习）四川乐山沙湾区是一个人杰地灵的好地方，大文豪郭沫若先生就出生于此地.乐山沫若中学高二（7）班文学小组的同学们计划在郭老先生的5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》中，随机选两部排练节目参加艺术节活动，则《风凰涅槃》恰好被选中的概率为（

）A． B． C． D．24．（2023春·广东江门·高一鹤山市第一中学校考阶段练习）目前，全国所有省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.已知某班甲、乙同学都选了物理和地理科目，且甲同学的另一科目会从化学、生物、政治这3科中选1科，乙同学的另一科目会从化学、生物这2科中选1科，则甲、乙所选科目相同的概率是（

）A． B． C． D．25．（2023·全国·高一专题练习）袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0，1，2，3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：232

321

230

023

231

021

122

203

012231

130

133

231

031

123

122

103

233由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（

）A． B． C． D．26．（2023·全国·高一专题练习）12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来.我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养.若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（

）A． B． C． D．27．（2023·全国·高一专题练习）下列关于古典概型的说法正确的是（

）①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则.A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①③④28．（2021秋·高一课时练习）某商场对某一商品搞活动，已知该商品每个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为（

）A． B．C． D．二、多选题29．（2023·全国·高一专题练习）从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是（

）A．500名学生是总体B．每名学生是个体C．学生的体重是变量D．抽取的60名学生的体重是样本容量30．（2023·全国·高一专题练习）已知某高中共有学生2040人，其中高一段学生800人，高二段学生600人，为了了解学生的体质健康水平，现从三个段中采取分层抽样的方法，抽取一个容量为51的样本，检测得到高一、高二、高三段的优秀率分别为45%，60%，50%，下列说法正确的是（

）A．体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段B．体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段C．高二段抽取了15人D．估计该校学生体质健康水平的优秀率为49.3%（百分比保留一位小数）31．（2023·全国·高一专题练习）如图是国家统计局公布的2021年5月至2021年12月的规模以上工业日均发电量的月度走势情况，则（

）．A．2021年7月至2021年10月，规模以上工业月度日均发电量呈现下降趋势B．2021年5月至2021年12月，规模以上工业月度日均发电量的中位数为228C．2021年11月，规模以上工业发电总量约为6758亿千瓦时D．从2021年5月至2021年12月中随机抽取2个月份，规模以上工业月度日均发电量都超过230亿千瓦时的概率为32．（2022·高一课时练习）某博览会安排了分别标有序号“1号”“2号”“3号”的三辆车，按等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的序号大于第一辆车的序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记该嘉宾按方案一与方案二乘坐到“3号”车的概率分别为，，则（

）A． B． C． D．33．（2023·全国·高一专题练习）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（

）A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，如果随机试验的次数超过10000，那么所估计出的概率一定很准确34．（2023·全国·高一专题练习）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170，方差为17；女生身高样本均值为160，方差为30.下列说法中正确的是（

）A．男生样本容量为30B．每个女生被抽入到样本的概率均为C．所有样本的均值为166D．所有样本的方差为46.2三、填空题35．（2023·全国·高一专题练习）一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.375，则该组样本的频数为______．36．（2022秋·高一单元测试）（1）随机现象的发生能够人为控制其发生或不发生；（2）随机现象的结果是可以预知的；（3）不可能事件反映的是确定性现象；（4）已经发生的事件一定是必然事件.以上说法正确的有__________.37．（2023·全国·高一专题练习）下列事件中，属于随机现象的序号是______.①明天是阴天；

②方程有两个不相等的实数根；③明天吴淞口的最高水位是4.5米；

④三角形中，大角对大边．38．（2023春·全国·高一专题练习）某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图.设成绩在88分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩记为事件，则事件发生的概率___________.39．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是____.四、解答题40．（2023春·辽宁本溪·高一校考阶段练习）某网络营销部门随机抽取了某市200名网友在2022年5月1日的网购金额，所得数据如下表：网购金额合计（单位：千元）人数频率160.08xp200.10yq180.09160.08合计2001.00已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数之比恰为.(1)求x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）；(2)利用组中值估计网购金额的平均数；(3)在一次网购中，金金和钟钟每人随机从“微信，支付宝，银行卡，货到付款”4种支付方式中任选1种方式进行支付，求两人均未选择货到