专题21三角函数性质综合应用-2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019）

专题21三角函数性质综合应用目录TOC\o"11"\h\u【题型一】正余弦对偶式求值 1【题型二】辅助角范围型 3【题型三】零点型范围：利用对称轴等性质求范围 5【题型四】利用对称中心求范围 8【题型五】三角函数与幂指对函数的交点 10【题型六】三角函数比大小 12【题型七】三角函数奇偶性应用 14【题型八】正切函数与均值求最值 16【题型九】三角函数单调性与最值 18【题型十】三角函数有界消元型 19【题型十一】三角函数应用：换元型 21培优第一阶——基础过关练 23培优第二阶——能力提升练 27培优第三阶——培优拔尖练 31【题型一】正余弦对偶式求值【典例分析】在△ABC中，如果，则∠C的大小为（

）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°【答案】B【分析】对分别平方再求和即可得,进而得，故【详解】因为，所以，，所以，即：，由于，所以，由于，故.故选：B.【提分秘籍】基本规律正余弦对偶式：正弦对应余弦，余弦对应正弦，系数一致（不涉及正负号）正余弦对偶式可以考虑整体话思想，两式平方后相加，结合同角的三角函数关系，以及两角差的正余弦公式。【变式训练】1.已知，，则__________.【答案】【分析】将和分别平方，再求和，即可得出．【详解】解：∵，两边同时平方得，又，同理得，两式相加得，化简得，∴，∴，故答案为：．2.已知，则_______________．【答案】##【分析】将所给条件两边同时平方再相加即可得解.【详解】解：因为，，所以，，即，，两式相加得，所以．故答案为：3.已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，，两式平方相加得到，根据，得到代入求解.【详解】因为，，所以两式平方相加得，即，又因为，所以，即，，将代入，得，即，所以，∴.故选：D.【题型二】辅助角范围型【典例分析】若，函数f(x)=3sinωx+4【答案】【解析】【分析】首先利用辅助角公式对化简，可得f(x)=5sinωx+φ，再利用的值域，可求出π2≤π3ω【详解】f=5sinωx+φ，其中因为，所以φ≤ωx令ωx+φ=t，则y=5sint又因为sinφ=4即0<π2-因为cosπcosπ所以cosπ3ω的取值范围是【提分秘籍】基本规律1.若角度是全体实数时。辅助角范围满足：2.角度不是全体实数时，可以借助单位圆或者三角函数图像单调性求对应的值域。【变式训练】1.若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．【答案】4【分析】化简，因为，则，在上有两个不等实根，转化为在上有两个不等实根，故，即可得出答案．【详解】，其中，，因为，则，+在上有两个不等实根，在上有两个不等实根，则，所以①对任意，，恒成立．由②得，存在，成立，所以，，所以．故答案为：42.函数的值域为A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得的最小正周期，进而在一个周期内分类讨论去掉绝对值，分别求得各部分的值域后即可得到函数的值域【详解】∵，∴为周期函数，其中一个周期为，故只需考虑在上的值域即可，当时，，（为锐角，且，，）由，为锐角，可得又，，，则当时，，（为锐角，且，，）由，为锐角，可得又，，，则综上，的值域为.故选：D3.已知函数在上的值域为，则的取值范围为______.【答案】【分析】化简得，其中，，，再结合三角函数的性质可求解.【详解】由题意得，其中，，，令，.因为，，故，因为，且，所以，，故，则.又当时，单调递减，且，，故.【题型三】零点型范围：利用对称轴等性质求范围【典例分析】将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数平移变换,先求得的解析式.根据,可知,即.根据可分别求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值.【详解】根据平移变换将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度,可得。由,可知。即所以。的最大值为,的最小值为则的最大值为,的最小值为。所以的最大值为故选:A【提分秘籍】基本规律形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ)＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程。对应函数的零点（或者水平交线，复合方程的根），可以借助对称轴等性质来转化求解【变式训练】1.把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，，，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出的解析式，然后根据得到，，这是本题的关键，接下来求出，，得到的最大值.【详解】由题意得：，因为，即，而最大值为3，最小值为3，相差为6，∴，，令，，解得：，令，，解得：，∵。∴要想取得最大值，则当，，当，，此时的最大值为。故选：C2.将函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标保持不变，得到图象，若，且，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得函数，并由函数的最值可知，根据函数的定义域，利用函数取得最值的条件，求的最大值.【详解】由条件可知，，若，，说明，当时，，要使取得最大值，则，，所以的最大值是.故选：B3..将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象.若gx1gx2=9，且，则的最大值为【答案】55【分析】根据图象的平移得出函数gx=2sin2x+π3+1，再由已知得gx1=gx2【详解】将函数的图象向左平移个单位，可得y=2sin2x+再向上平移1个单位，得到gx=2sin2x+因为，所以当gx1gx2=9∵，∴2x1要使最大，则最大，最小.则当2x1+π3=7π2最大，2故答案为：55π【题型四】利用对称中心求范围【典例分析】.已知函数的最小正周期，且是函数的一条对称轴，是函数的一个对称中心，则函数在上的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意求出的解析式，再根据x的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】函数的最小正周期，∴，解得：，由于是函数的一条对称轴，且为的一个对称中心，∴，（），则，（），则，又∵，，由于，∴，故，∵，∴，∴，∴.故选：B．【提分秘籍】基本规律形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像：1.对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；2.正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”：3.余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”：【变式训练】1.设函数.若，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函数的图象可得，x2，x1关于点（，0）对称，|x2﹣x1|最小，进而可得结果.【详解】根据函数f（x）＝sin（2x+）∵f（x1）+f（x2）＝0，可得f（x1）＝﹣f（x2），令x2＞x1，根据图象，可得x2，x1关于点（，0）对称时，|x2﹣x1|最小，∵x1x2＜0，∴x2＞0，则x1．∴可得|x2﹣x1|，故选：B．2.已知函数在上的最大值为M，最小值为m，则（）.A．4 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】根据题意，利用，求得的对称中心，从而问题得解.【详解】因为函数则故可得，故关于点对称，而区间也关于对称，故可得，即.故选：A.3.已知（）既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合五点作图法及函数图象进行计算求解即可.【详解】可设满足,且（）,则,注意到五点作图法的最左边端点为,而,,故有,,当时，，，此时；当时，，，此时,故选：C．【题型五】三角函数与幂指对函数的交点【典例分析】关于的方程在上解的个数是____________.【答案】4031【分析】计算函数的周期为2；化简函数的表达式，画出函数图像得到答案.【详解】的周期为2；画出函数图像，如图所示：当时：每个周期内有2个交点，共有2014个交点；当时：有1个交点；当时：每个周期内有2个交点，共有2016个交点；故共有4031个解。故答案为：4031.【提分秘籍】基本规律利用幂指对函数与三角函数的对称性与单调性，结合图像，借助数形结合思想求解交点【变式训练】1.设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为__________.【答案】【分析】推导出函数是周期为的周期函数，然后作出函数与函数在区间上的图象，利用对称性可求得函数在区间上的零点之和.【详解】由于函数为定义域为的奇函数，则，，所以，函数是周期为的周期函数，作出函数与函数在区间上的图象，如下图所示：由图象可知，函数与函数在区间上的图象共有个交点，且有对关于直线对称，因此，函数在区间上的所有零点的和为.2.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于2020，则满足条件的所有整数k的值是______.【答案】1006或1007.【分析】由题意可得函数的图像与函数的图像所有交点成对出现，且每一对关于点对称，结合所有横坐标之和等于2020即可得到k的值.【详解】函数的图像关于点对称，函数的图像也关于点对称，如图所示：故函数的图像与函数的图像所有交点成对出现，且每一对关于点对称，因为两个图像的所有交点的横坐标之和等于2020，当时，它们共有1010对交点，所以或，解得或.故答案为：1006或1007.3.定义在上的函数满足且.当时，.则函数在区间上所有的零点之和为__________.【答案】【分析】由是周期函数，奇函数，得对称中心，又也有对称性，利用对称性及单调性得的图象与图象的交点的性质，也即零点的性质，从而可得和．可画出图象说明．【详解】得，是偶函数，，是周期为4的周期函数，因此可得的图象也关于直线对称．是奇函数，它关于直线对称，也关于对称，函数在区间上所有的零点，即为方程的解，在同一坐标系中作出和的大致图象，如图，它们在上有6个交点，横坐标从小到大依次为，其中，，由对称性知，∴，∴题中零点和为．故答案为：．【题型六】三角函数比大小【典例分析】设，，，，则a，b，c，d的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】化简得到，，，，得到答案.【详解】；；；.根据余弦函数的单调性知：.故选：.【提分秘籍】基本规律三角函数比大小，通常从以下几方面入手：(1)变角：目的是把角变为一个单调区间内，便于比较大小，其手法通常是“配凑”.(2)变名：函数名称变为一致，便于借助图像单调性比较大小。其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.【变式训练】1.若，，且，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知中，，可得，进而可将已知变形为和，即，进而结合余弦函数的单调性，得到答案．解：，，，又，，故，又，即，，即，故，综上所述，，故选：C．2.已知,则（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式,将三个三角函数中的角度均转换成再比较即可.【详解】解：,,..故选：C.3.已知函数，设，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得函数关于直线，且在上单调递增，在上单调递减，又，即得.【详解】∵函数，∴函数关于直线，且在上单调递增，在上单调递减，又，∴，∴.故选：B.【题型七】三角函数奇偶性应用【典例分析】已知函数，若（），则=________．【答案】【解析】试题分析：，又函数是奇函数，由题意，所以，即，．【提分秘籍】函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx奇偶奇基本规律【变式训练】1.已知函数的图象上关于轴对称的点恰有9对,则实数的取值范围_________.【答案】【分析】求出函数关于轴对称的图像，利用数形结合可得到结论.【详解】若，则，，设为关于轴对称的图像，画出的图像，要使图像上有至少9个点关于轴对称，即与有至少9个交点，则，且满足，即．则，解得，故答案为2.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着轴上一点旋转;②沿轴正方向平移;③以轴为轴作轴对称;④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.A．①③ B．③④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.【详解】，，，当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；，，故，函数关于对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：.3..已知为正常数，f(x)=x2-ax+1,x⩾a【答案】1【分析】由f(a+x)=f(a-x)，可求出的图象关于直线x【详解】当x<a时，fx当x≥a时，fx=x∴f(x)在(-∞,a)上单调递减，在则f(f(a-同理可得，当x<0时，上式也成立，∴f(x)的∵fa=12(sin∴12<22sin【题型八】正切函数与均值求最值【典例分析】设，均为锐角，且，则的最大值是（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】由已知条件可得，而目标三角函数式可化为，结合基本不等式即可求其最大值.【详解】由题意，，得，即，∴由为锐角，，当且仅当，即时等号成立．故的最大值是．故选：B.【提分秘籍】基本规律切化弦，或者正切函数两角和与差公式，可以达到化“切”，以统一函数。求最值或者值域，可以适当的构建变量，用均值不等式求解【变式训练】1.已知，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根据，可得，再根据两角和的正切公式可得，结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：因为，所以，所以，，所以，即，又因，所以，即，解得或（舍去），所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：D.2.已知，为锐角，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基本不等式即可求出最值，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，，当且仅当即时取等号，所以的最小值为.故选：A.3..在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足B=2A，则1tanA-1tanB的取值范围是A． B．1,2 C．233,【答案】A根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围.【详解】因为B因此1tan因为ΔABC为锐角三角形，所以0<因为y=12(x+【题型九】三角函数单调性与最值【典例分析】若函数在区间是减函数，则的取值范围是答案．(－∞，2]【变式训练】1.已知函数，则的最小值是_____________．【答案】详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.2.设函数，若，且，则的取值范围是_______．【答案】(，)【详解】不妨设，则，由图可知．故答案为：(，)3，已知函数，则下列说法正确的是（）A．的值域为 B．的值域为C．的最小正周期为 D．在单调递增【答案】A【分析】先由周期的定义判断函数的周期为，然后分析函数在一个周期上的值域和单调区间即可【详解】由于，所以的最小正周期不是.故C错误；关于函数的值城，我们可以仅考虑一个周期即可，当时，，当时，，所以的值域为，故A正确，B错误；当时，，我们可得在时递增；当时，，我们可得在时递减，故D错误；故选：A.【题型十】三角函数有界消元型【典例分析】若0<α<【答案】18【分析】由0<α<π2,-π2<β【详解】由sinα+2又由0<α<π由0<1-2cosβ又由-π2<β则sin当cosβ=14时，sinα【提分秘籍】基本规律多个角及对应的角的三角函数时，可以通过“消元”消去，然后再构造单元函数求最值。无论是消去的三角函数，还是保留色三角函数，都要注意正余弦的“有界性”【变式训练】1.已知，则的最大值为________.【答案】【分析】先求出，再利用二次函数求函数的最大值得解.【详解】∵，，所以∴当时，上式取最大值，故答案为：.2.已知，则的最大值为____________【答案】9/16【分析】由已知求得，可得，利用同角三角函数基本关系可得，利用二次函数性质即可求解.【详解】，，，即。又，3.已知，则函数的值域是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】把转化为关于的二次函数即可求得.【详解】因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以.故函数的值域是.故选：A.【题型十一】三角函数应用：换元型【典例分析】若y=x-4【答案】[【分析】首先求出的取值范围，令x=4+2sin2t解：因为y=x-4+18-3x所以则y=4+2sin2因为t∈0,π2所以y∈2【提分秘籍】基本规律一般情况下，借助整体化思想，可以换元构造新函数求最值。常见的三角换元，有单根号换元，双根号换元，指对型换元等等，注意区别这些换元之间的不同选择【变式训练】1.已知实数满足,则的取值范围是_______．【答案】【解析】设因此因为，所以，即取值范围是2..已知非负实数，满足，则的最大值为__________.【答案】【分析】由，得，用换元法，令，，将问题转化为三角函数求最值，即可求得答案.【详解】由题意得：，令，，又，为非负实数，，，，即，解得，.故（其中），，即，，即又在上单调递增，∴当时，取得最大值，故当，时，取得最大值，最大值为.故答案为：3.函数y＝x＋的最小值为________．【答案】5－【分析】整理y＝x＋得：y＝x＋，利用作三角换元得：x－5＝cosα，，即可整理函数为：y＝2sin＋5，利用三角函数的性质即可得解.【详解】原函数可化为：y＝x＋.由2－(x－5)2≥0⇒|x－5|≤，令x－5＝cos，那么y＝cos＋5＋sin＝2sin＋5.因为＋∈，所以sin∈，所以函数的最小值为5－.分阶培优分阶培优练培优第一阶——基础过关练1．若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】写出全称命题为真命题，利用辅助角公式求出，从而求出实数a的取值范围.【详解】因为“，使得”为假命题，则“，使得”为真命题，因为，所以实数a的取值范围是故选：D2．已知，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦函数单调性、对数运算法则、指数函数单调性可求得的范围，进而比较出大小关系.【详解】，；又，，，，.故选：D.3．已知实数，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用正余弦函数的图像和单调性求出结果.【详解】由于，∴，则，由于，所以，得，∴．故选：A4．已知ω>0，函数在区间上单调递减，则实数ω的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函数的性质求解【详解】由题意得，则当时，由，解得，当时，由，得无解，同理时无解，故选：A5．已知函数，则（

）A．在上单调递减B．在上单调递增C．在上单调递减D．在上单调递增【答案】B【分析】利用二倍角正弦公式化简得到，利用代入检验的方式可确定结果.【详解】；对于A，当时，，则先减后增，A错误；对于B，当时，，则单调递增，B正确；对于C，当时，，则先增后减，C错误；对于D，当时，，则单调递减，D错误.故选：B.6．记函数的最小正周期为T，若，且的最小值为1.则曲线的一个对称中心为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据求得，根据的最小值求得，根据三角函数对称中心的求法求得正确答案.【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为，所以，所以，又函数的最小值为1，所以，所以，令，所以对称中心为，只有选项C符合题意（）.故选：C7．若函数在区间上的最大值是，则（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【分析】把函数化为的二次函数,根据求出函数的最大值,由此求得的值.【详解】函数由,得,所以时,函数在区间上取得最大值,解得故选:8．函数的最小值是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】化简，换元成二次函数易得函数最小值.【详解】由题意，函数，令，可得，当，即时，函数取得最小值，最小值为．故选：D．9．已知函数，若在上的值域是，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用换元法将在上的值域为转化为在上的值域为，然后结合余弦函数的单调性列不等式求解即可.【详解】，令，则，，因为，，的值域为，所以，解得.故选：B.10．在上有两个零点，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简题干函数，然后根据零点建立等式即可获解.【详解】其中,不妨设因为是的两个零点,所以即结合的范围知所以,即所以故选：D培优第二阶——能力提升练1．函数，试判断函数的奇偶性及最大值（

）A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为1 D．偶函数，最大值为1【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义可判断奇偶性；利用二倍角公式结合三角函数的性质可判断最大值．【详解】解：函数，又，所以，所以该函数为偶函数，又所以当即时，取最大值1．故选：D．2．函数的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（

）A．[π，2π） B． C． D．【答案】D【分析】首先代入求的取值范围，再根据三角函数的图象，列式求的取值范围.【详解】当时，，若函数在此区间恰取得两个最大值，则，解得：.故选：D3．已知函数中，则（

）A．的最大值为2 B．直线是图象的一条对称轴C．点是图象的一个对称中心 D．在上单调递减【答案】D【分析】根据解析式可直接判断A项；代入结合正弦函数的函数的性质可判断B、C、D项.【详解】由题意知，函数的最大值为3，A项错误；因为，所以直线不是图象的一条对称轴，B项错误；，但是，所以是图象的一个对称中心，而点不是图象的一个对称中心，C项错误；当时，，即，在上单调递减，所以在上单调递减，所以D项正确.故选：D.4．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，构造函数，借助导数探讨单调性比较b，c，再利用“媒介数”结合不等式性质比较a，b作答.【详解】令函数，，求导得：，令，，有，因此函数在上递减，即有，即，于是得在上递减，而，则，即，，则，又，则，即，有，则，所以.故选：B5．已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用正弦函数的图象和性质，求出，由是函数的最大值点，即可求出.【详解】由题意知，函数的最小正周期为，因为函数在上单调，且恒成立，所以，即，解得，又是函数的最大值点，是函数的最小值点，所以，又，解得.故选：D.6．若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是___________.【答案】【分析】在同一坐标系内画出与的图像，利用数形结合去求的取值范围【详解】则单调递增区间为，，单调递减区间为，，又，又函数的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是故答案为：7．函数在上单调递减，且，对于住意的，均有恒成立，则实数的最大值为__________.【答案】【分析】本题没有解析式，属于抽象函数问题，运用函数的性质解题，把不等式转化为的形式，根据函数单调递减去掉f可解.【详解】，，可化为，又在上单调递减，在上恒成立，，令，，此时故答案为：8．函数在区间内的零点个数为__________.【答案】3【分析】将函数在区间内的零点个数转化为函数的交点个数，利用数形结合法求解.【详解】函数，即，在同一坐标系中作出的图象，如图所示：由图象知，在区间内的零点个数为3，故函数在区间内的零点个数为3.故答案为：39．若存在，使得不等式有解，则实数的取值范围为____________．【答案】【分析】设，要使不等式有解，只需要即可.所以，先求出的最小值，化简，根据基本不等式可求得最小值，然后求解绝对值不等式即可.【详解】设，则，当且仅当，即，即时，等号成立，又，所以，显然存在.所以，最小值为9.要使不等式有解，只需要即可，即，去绝对值可得或，所以或.故答案为：.10．函数的最大值和最小值是、，则________.【答案】1【分析】设，结合三角恒等变换得到，平方整理后结合一元二次不等式、一元二次方程根与系数关系求得.【详解】设，即，即，即，所以，两边平方并化简得，设关于的方程的两根是，则，而不等式的解为：，即分别是函数的最小值和最大值，所以.故答案为：1.培优第三阶——培优拔尖练1．若在上是严格递增函数，的最大值是_____.【答案】【分析】利用辅助角公式化简得，利用整体代换的方式，结合正弦函数的单调性可构造不等式组求得，由可确定，由此可得的最大值.【详解】；当时，在上严格递增，，解得：；由得：；由得：；又，，，则的最大值为.故答案为：.2．已知函数，若在上无零点，则的取值范围为______．【答案】【分析】由辅助角公式化简，由三角函数性质求解，【详解】，而若在上无零点，则，，而时，，有，，则或或，解得或，故答案为：3．对任意闭区间，用，表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值范围为______．【答案】或【分析】对分类讨论，结合余弦函数的性质及二倍角公式计算可得.【详解】解：①当时，，为在上为减函数，所以，，由，则，即，解得或，不合题意；当时，有，，，由，则，可得；当时，有，，，不合题意；当时，有，，，适合题意；当时，的区间长度不小于，故，，适合题意．综上正数的取值范围为或．故答案为：或4．若，，且，则的最大值为______．【答案】【分析】由题意结合商