专题11对数（九大题型）（原卷版）

专题11对数【题型归纳目录】题型一：对数的定义题型二：指数式与对数式互化及其应用题型三：利用对数恒等式化简求值题型四：积、商、幂的对数题型五：一类与对数有关方程的求解问题题型六：对数运算法则的应用题型七：换底公式的运用题型八：由已知对数求解未知对数式题型九：证明常见的对数恒等式【知识点梳理】知识点一、对数概念1、对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．知识点诠释：对数式中各字母的取值范围是：且，，．2、对数（且）具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即；（2）1的对数为0，即；（3）底的对数等于1，即．3、两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．4、对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．知识点二、对数的运算法则已知，（且，、）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；知识点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：，，．知识点三、对数公式1、对数恒等式：2、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，则有，，即，即，即：．（2），令，则有，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．【典例例题】题型一：对数的定义例1．（2023·高一课时练习）有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·高一课时练习）给出下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫作常用对数;④以为底的对数叫作自然对数.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4例3．（2023·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）已知，则x的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8变式1．（2023·高一单元测试）已知对数式有意义，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．题型二：指数式与对数式互化及其应用例4．（2023·高一课时练习）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与例5．（2023·全国·高一专题练习）下列对数式中，与指数式等价的是（

）A． B． C． D．例6．（2023·高一课时练习）将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．变式2．（2023·高一课前预习）将下列指数式与对数式互化：(1);(2)；(3);(4)（且，）．变式3．（2023·高一课时练习）将下列指数式与对数式互化：(1);(2)；(3);(4).变式4．（2023·全国·高一专题练习）利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值．（1）；（2）；（3）．题型三：利用对数恒等式化简求值例7．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（

）A． B． C． D．例8．（2022·全国·高一专题练习）计算(1)(2)例9．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）化简：＝________．变式5．（2022·贵州·遵义四中高一期末）______．题型四：积、商、幂的对数例10．（2023·高一课时练习）计算：log43×=____．例11．（2023·高一课时练习）计算：____．例12．（2023·辽宁大连·高一阶段练习）计算：______．变式6．（2023·湖北十堰·高一校联考阶段练习）__________．变式7．（2023·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）计算结果是_．题型五：一类与对数有关方程的求解问题例13．（2023·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）方程的解为___________.例14．（2023·上海虹口·高一上外附中校考期中）设、是关于x的方程的两个实数根,则_______．例15．（2023·广东惠州·高一惠州一中校考期中）记，则关于的方程的解集为_________.变式8．（2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知是方程的两个根，则的值是__________．变式9．（2023·云南红河·高一统考期末）方程的解是_________．变式10．（2023·上海·高一专题练习）方程的解为__________.题型六：对数运算法则的应用例16．（2022·全国·高一专题练习）______．（用数字作答）例17．（2022·全国·高一课时练习）计算：(1)；(2)；(3)．例18．（2022·全国·高一课时练习）(1)；(2)．变式11．（2022·全国·高一专题练习）求值变式12．（2022·广西·兴安县第二中学高一期中）计算下列各式的值：(1)(2)题型七：换底公式的运用例19．（2023·高一课时练习）若，，则____．例20．（2023·河北衡水·高一校考开学考试）已知，则__________.例21．（2023·上海徐汇·高一统考期末）已知（a为常数，且，），则________．（用a表示）变式13．（2023·陕西渭南·高一统考期末）=______.变式14．（2023·河北唐山·高一校考阶段练习）________．变式15．（2023·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）若，则的值为___________.变式16．（2023·广西桂林·高一统考期末）_________.题型八：由已知对数求解未知对数式例22．（2023·全国·高一专题练习）已知，，那么用含a、b的代数式表示为（

）A． B． C． D．例23．（2023·高一单元测试）已知，，则（用，表示）等于（

）A． B．C． D．例24．（2023·高一课时练习）已知，，则（

）（结果用，表示）A． B． C． D．变式17．（2023·上海·高一专题练习）设，则用表示（

）A． B． C． D．变式18．（2023·高一课时练习）若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75等于（

）A．a＋b B．a－b C． D．变式19．（2023·上海·高一专题练习）已知，，则可以用、表示为（

）A． B． C． D．变式20．（2023·高一课时练习）已知，则可表示为A． B． C． D．题型九：证明常见的对数恒等式例25．（2023·广西崇左·高一校考阶段练习）求满足下列条件的各式的值(1)若，求的值；(2)设，求证：.例26．（2023·高一课时练习）已知，求证：.例27．（2023·江苏·高一专题练习）设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明：（1）；（2）（，，）.变式21．（2023·高一课时练习）已知a，b，c均为正数，且，求证：；变式22．（2023·江苏苏州·高一吴县中学校考阶段练习）已知a，b，c满足.（1）当时，试讨论a､b､c三个数的大小关系；（2）当a，b，c均为正数，求证：.变式23．（2023·高一单元测试）设，且，求证：【过关测试】一、单选题1．（2023·江西九江·高一校考阶段练习）已知且，下列式子中，错误的是（）A． B．C． D．2．（2023·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度（单位：）可以表示为函数，其中表示燕子的耗氧量.当一只成年燕子的飞行速度时，它的耗氧量为（

）A．30 B．60 C．80 D．1003．（2023·湖南衡阳·高一统考期末）的值为（

）A．10 B． C．1 D．不能确定4．（2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）设都是正数，且，则下列等式正确的是（

）A． B． C． D．5．（2023·天津河西·高一校考期末）若，则（

）A． B． C．1 D．6．（2023·全国·高一假期作业）已知且，则的值为（

）A． B． C． D．7．（2023·河北邢台·高一邢台一中校考阶段练习）已知，则（

）A． B．2 C． D．8．（2023·高一课时练习）设，那么m等于（

）A． B．9 C．18 D．27二、多选题9．（2023·江苏扬州·高一统考阶段练习）下列运算正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则10．（2023·山东青岛·高一统考开学考试）已知，，则（

）A． B．C． D．11．（2023·高一单元测试）若，则下列各式中，一定成立的是（

）A． B．C． D．12．（2023·江西上饶·高一校联考阶段练习）已知正实数a，b满足，且，则的值可以为（

）A．2 B．3 C．4 D．5三、填空题13．（2023·浙江·高一校联考期中）计算：______.14．（2023·上海金山·高一统考阶段练习）已知，用m表示为__________．15．（2023·山东临沂·高一统考期末）已知，则___________.（用表示）16．（2023·辽宁沈阳·高一统考期末）若，是方程的两个根，则______．四、解答题17．（2023·辽宁丹东·高一统考期末）已知实数，满足，．(1)用表示；(2)计算的值．1