三角形常考解答题题型-2024-2025学年湖南八年级数学上学期期中试题分类汇编（含答案）

专题03三角形常考解答题题型

三角形的三条线段有关问题

（23-24八年级上•湖南长沙•开学考试）

1.如图，是△NBC的中线，BE是△48。的中线.

⑴在ABED中作边上的高.

⑵若的面积为20,BD=5,则点£到边的距离为多少？

（22-23七年级下•湖南长沙•阶段练习）

2.如图，在RtZ\/8C中，/B4c=90。,AM,NN分别为边上的高和中线，且

45=5cm,AC=12cm,BC=13cm.

⑴求NW的长；

⑵求/\ACN和AABN的周长之差；

⑶若E为边的三等分点，连接CE,与NN交于尸点，记△，斯的面积为岳，ACFN的

面积为邑，求E-5的值.

（23-24八年级上•湖南岳阳•期中）

3.如图，已知CD平分B尸是△/BC的高，若//=70。，ZABC=60°,求NBMC

的度数.

试卷第1页，共10页

A

F

(23-24七年级上•湖南衡阳•开学考试)

4.如图所示，已知长方形N2CD长为10,宽为6,E在CD上，尸在/。上，其中三块空白

面积分别为4、8、3,那么阴影部分的面积为多少？

三角形角度的有关应用

(23-24八年级上•湖南郴州•期末)

5.在△/BC中，NC>NB,AE平分NBAC.

(2)如图(1),ADJ.BC于D,猜想NE4D与4B,NC有什么数量关系？请说明你的理由；

(3)如图(2),F为4E上一点、,FDLBHD,这时NEED与48、/C又有什么数量关系？

;(不用证明)

(4)如图(3),厂为/E的延长线上的一点，F£>_L2c于。，这时乙4即与NB,/C又有什么

数量关系？.(不用证明)

(22-23七年级下•湖南株洲•期中)

6.如图，248。和48DC的平分线相交于点E,BE的延长线交于点凡且

试卷第2页，共10页

Z1+Z2=90°.

⑴试说明N3〃CD;

（2）猜想N2与N3之间的数量关系，并说明理由.

（23-24八年级上•湖南岳阳•期中）

7.如图，已知C£＞平分B尸是△NBC的高，若乙4=70。，AABC=60°,求/BMC

的度数.

（23-24八年级上•湖南郴州•期末）

8.如图，在△NBC中，ZBAC-.ZABC:ZC=7-.8-.3,BE与AD交于点F,求/EEC的度

数.

A

9.如图，A,8分别是NM9N两边,CW上的动点（均不与点。重合）.

图1图2图3

试卷第3页，共10页

⑴如图1,当/MON=58。时，△/OB的外角NN3N,NM48的平分线交于点C,则

/ACB=

（2）如图2,当/MON=〃。时，ZOAB,NO8/的平分线交于点。，则=。（用

含n的式子表示）;

（3）如图3,当NMON=a（a为定值，0。<（/<90。）时，BE是的平分线，BE的反向

延长线与/CM3的平分线交于点?随着点42的运动，NF的大小会改变吗？如果不会,

求出NF的度数（用含a的式子表示）；如果会，请说明理由.

（23-24八年级上•湖南岳阳・开学考试）

10.如图1,已知三角形。是线段切延长线上一点,AE//BC.

图1图2图3

(1)求证：ZDAC=ZB+ZC；

（2）如图2,过C作CH〃4B交4E于H,4/平分N7X4E,CF平分ZDCH,若

乙BCD=70。，求/尸的度数;

（3）如图3,CH//AD,点P为线段NC上一点，点G为射线4D上一动点，线段尸。，GM

分别交。/于点。、其中NDGM=2NPGM,NCPQ=2ZGPQ,又过P作PN〃GM,

请直接写出』QPN与ZBAC的数量关系.

等腰三角形的性质与判定

（23-24八年级上•湖南郴州・期末）

11.如图所示，已知是等边三角形，点£、尸分别在CD上,

NBEM=20°,求ZMFD的度数.

（23-24八年级上•湖南常德•期中）

试卷第4页，共10页

12.如图，已知等边三角形E4D和正方形/BCD,试求/BEC的度数.

（22-23八年级上•湖南株洲•期末）

13.已知：如图，NB=NC,AB//DE,EC=ED.

AD

J,

BEC

（1）求证：ADEC为等边三角形；

⑵求ZBE。的度数.

（23-24八年级上•湖南长沙•期中）

14.如图，在△ABC中，AB=AC,。是8C边的中点，连接4D,BE平分NABC交AC于

点E.

⑴若NC=40。，求/24D的度数；

（2）过点£作即〃BC交于点R求证：尸是等腰三角形.

（3）若BE平分△48C的周长，△/£尸的周长为15,求△4BC的周长.

（23-24八年级上•湖南湘西•阶段练习）

15.概念学习

规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为

”等角三角形

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把

这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与

原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.

试卷第5页，共10页

理解概念

(1)如图1,在Rt448C中，ZACB=90°,CDVAB,请写出图中两对“等角三角形

概念应用

(2)如图2,在△4BC中，CD为角平分线，N/=40。，^5=60°.求证：CD为△4BC的

等角分割线.

(3)在△4BC中，N/=42。，CD是△4BC的等角分割线，直接写出N/C5的度数.

(23-24八年级上•湖南永州•期中)

16.△ABC中，4B=/C,点。是直线BC上一个动点，点E是射线NC上的点,

AD=AE,设Z8/O=x°,ZCDE=y0.

,y=；

(2)如图(1)当。在线段8C上，E在线段/C上求x和了之间的关系式；

(3)当点。在直线8c上，点£在射线/C上，(2)中x和y之间的关系还成立吗？说明你的

理由.

(22-23八年级上•湖南长沙•期末)

17.若。,4c分别为△/BC三边的长.

⑴若满足6(。-6)-。3-°)=0,试判断△NBC的形状，并说明理由；

(2)若满足/+2/+02-26(4+0)=0,试判断△4BC的形状，并说明理由.

试卷第6页，共10页

!题型04|全等三角形综合问题

（2023•湖南岳阳•一模）

18.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,直线/经过点力,过点3、C分别作/的垂线，垂足

分别为点。、E.有以下三个条件：®AD=CE；@BC//I；③N48C=45。.请从中选择

一个合适的作为已知条件，使DE=DB+EC.

（1）你添加的条件是（填写序号）；

（2）添加了条件后，请证明。E=Z）3+EC.

（23-24八年级上•湖南岳阳•期中）

19.如图，点£＞、£分别在线段/民/C上，AE=AD,不添加新的线段和字母，从下列条

件①N3=NC,@BE=CD,（3）ABAC,④44Z）C=44口中选择一个使得

A4BE%ACD.

（1）你选择的一个条件是（填写序号）

（2）根据你的选择，请写出证明过程.

（23-24八年级上•湖南怀化•期中）

20.问题探究：

小圣遇到这样一个问题：如图1,△4BC中，AB=6,AC=4,是中线，求4D的取值范

围.他的做法是：延长/。到E,使DE=AD,连接BE,证明△BEDg△C/。，经过推理

和计算使问题得到解决.请回答：

试卷第7页，共10页

A

A

(1)小圣证明△BED”4CAD的判定定理是:

(2)AD的取值范围是；

方法运用：

(3)如图2,是△NBC的中线，在上取一点尸，连接并延长交/C于点E,使

AE=EF，求证：BF=AC.

(23-24八年级上•湖南株洲•期末)

21.如图，等腰Rt4/CB中，ZACB=90°,AC=BC,E点为射线C8上一动点，连接

AE,作/尸_L/E且4斤=/£.

F

⑴如图1,过尸点作尸GJ./C交/C于G点，求证："GF知ECA；

AJJ

(2)如图2,连接班'交/C于。点，若无=3，求证：E点为8c中点；

BC4

(3)如图3,当E点在C2的延长线上时，连接BF与/C的延长线交于。点，若器=；,则

BE3

AD

CD一一

(23-24八年级上•湖南岳阳•阶段练习)

22.如图，在△4BC和△ZJCE中，^ACB=90°,CA=CB,ZDCE=90°,CD=CE.

试卷第8页，共10页

G

图1图2图3

⑴如图1,当点。在8C上时，CB=10,AE=6,则S四边切泣=

(2)如图2,当瓦C、E三点共线时，。在/C上，连接80、AE,尸是4D的中点，过点N

作4G||2D,交的延长线于点G,求证：/6=/5且/6，/£；

(3)如图3,B、C,E三点共线，且/D3E=15。，将线段/£绕点/以每秒10。的速度逆时针

旋转，同时线段BE绕点E以每秒20。的速度顺时针旋转180。后立即以相同速度回转，设转

动时间为f秒，当BE回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中，当BE和/£互

相平行时，请直接写出此时/的值.

(23-24八年级上•湖南长沙•阶段练习)

23.新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”.

(1)如图1中，若△/8C和△/0£互为“兄弟三角形"，AB=AC,则

①NBAD/C4E(填＞、＜或=)

②连接线段8。和CE,贝UADCE(填＞、＜或=)

⑵如图2,△NBC和△/£)£互为“兄弟三角形"，AB=AC,AD=AE,

NBAC=NDAE=90°,B、D、E三点在一条直线上，AC与BE交于点F,若点尸为NC

中点，

①求/8EC的大小；

②CE=2,求的面积；

⑶如图3,△FDC和互为“兄弟三角形"，DC=DF,DA=DE,

ZFDC=ZADE=90°,C、F、A三点在一条直线上，CD交AB于点、B,B、F、E三点

试卷第9页，共10页

在一条直线上，AB=AC,NCAB=90。，厂的面积为18,求4尸的长.

试卷第10页，共10页

1.(1)见解析

⑵点£到8c边的距离为2

【分析】本题主要考查了复杂作图，以及三角形中线的性质：

(1)根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；

(2)首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得△£8。的面积是5,再

利用三角形的面积公式进而得到的长.

【详解】(1)解：如图所示：

(2)解：是△4BC的中线，

•,S/XABD=5Si\ABC，

；BE'是的中线，

-S^BED=5S.ABD，

・・•△ABC的面积为20,

.•.△EAD的面积是20+4=5,

:.L.DBEH=5,

2

：.-x5EH=5

2f

­-EH=2,

即点£到5。边的距离为2.

60

2.(1)—cm

(2)7cm

⑶±5

【分析】本此题主要考查了三角形的高线和中线，三角形的面积，

(1)根据三角形面积公式得=据此可得的长；

(2)的周长为/C+CN+/N,ANBN的周长为48+8N+4V,据此可得和

答案第1页，共29页

的周长之差;

(3)根据点E是边的三等分点，分两种情况讨论如下：①当8£=(旬?时，根据/N为

中线得5.曲=15,即&+S四边形BEFN=15,再根据=得其年=10,即

邑+S四边形班网=1°，据此即可得出岳-邑的值；当=时，同理可得

SI+S四边形BEFM=15,5+S四边形BEFN=2。，据此即可得出&-S?的值.

【详解】(1)在RtZ“18C中，ZBAC=90°,AB=5,AC=12,BC=13,为BC边上

的高，

：.S^c=^BC-AM=^AB-AC,

即AM的长度为石'Cm；

(2)为BC边上的中线，

BN=CN,

•••△/CN的周长为：AC+CN+AN,

A/8N的周长为：AB+BN+AN,

.•.△/CN的周长-“8N的周长=/C-NN=7,

即A4CN和“BN的周长之差为7cm；

(3)♦.,点E是边的三等分点，

,有以下两种情况：

①当时，如图1所示：

在RtzX/BC中，ABAC=90°,AB=5,

4c=12

S=—AB•/(7=—x5xl2=30,

^AAHRLr,22

•・•/N为8c边上的中线,

答案第2页，共29页

..S“BN=/S“BC=15,

,,S/^EF+S四边形BEFN=15,即S]+S四边形BEFN=15,

-：BE=-AB,

3

=

•,^ACBE=^^ABC10，

••SKFN+S四边形BEfN-1。，即$2+S四边形BEFN=1。，

S]—S?=5；

②当/£=时，如图2所示:

同理得：Si+S四边形BEFN=15,

vAE=-AB,

3

:.BE=-AB,

3

2「「

=

S&CBE=]S^gc=2。,即S2+S四边形BEFN2。,

/.S]—邑=—5.

综上所述：的值为±5.

3.115°

【分析】本题主要考查三角形内角和、角平分线的定义及三角形的高，熟练掌握三角形内角

和、角平分线的定义及三角形的高是解题的关键；由题意易得』NC8,然后根据角平分线

的定义及三角形外角的性质可进行求解

【详解】解：•••//=70。，ZABC=60。，

ZACB=180°-N/-ZABC=50°.

•.•CD平分N/C8,

答案第3页，共29页

ZACD=-ZACB=25°.

2

尸为NC边上的高，

ZAFB=ZCFB=90°,

/BMC=ZCFB+//CD=90。+25。=115。.

4.阴影部分的面积为30

【分析】本题考查了三角形面积以及矩形的性质，知道同底等高的长方形面积是三角形面积

的2倍是解本题的关键.

△AEB的面积等于长方形面积的一半，AAFB的面积与△FDC的面积和等于AFBC的面

积.同理的面积与AEBC的面积和等于“M的面积.据此列出等量关系式解答即

可.

【详解】解:设四个阴影三角形面积分别为①、②、③、④，中间四边形面积为⑤，如图

所示.

则八AFB的面积与△EDC的面积和等于的面积.

即：4+@+8+@+3=@+(5)+@,

⑤二①+③+(8+3+4)-②-④(1),

△ADE的面积与AEBC的面积和等于AAEB的面积，

贝U：4+8+②+3+④=①+⑤+③，

即：⑤=②+④+(8+4+3)-①-③(2),

⑴+(2)式得：⑤+⑤=(8+4+3)x2,

⑤=8+4+3=15,

阴影面积=6义10-(4+8+3+⑤)

=6x10-(4+8+3+15),

=30,

答案第4页，共29页

答：阴影部分的面积为30.

5.(1)20°

(2)NEAD=g/C-；NB,理由见解析

(3)NEFD=gNC-；NB

(4)Z^FD=|ZC-1Z5

【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和为180

度，角平分线平分角，是解题的关键：

(1)三角形的内角和定理，求出NC48,/ZMC的度数，角平分线求出NC4E的度数，

再根据角的和差关系求出/及4。的度数即可；

(2)同法(1)即可得出结论；

(3)过点A作4G，8C,根据平行线的性质结合(2)中的结论，即可得出结果；

(4)过点A作根据平行线的性质结合(2)中的结论，即可得出结果.

【详解】(1)解：在△/BC中，/。=75。,/8=35。，

.-.ABAC=180°-75°-35°=70°,

■：AD1BC,

AADC=90°,

.•./C4D=90°-75°=15°,

•••4E1平分/8/C,

ZEAC=-ABAC=35°,

2

ZEAD=ZEAC-ZCAD=20°；

(2)解：在△/8C中，ZBAC+ZC+Z,B=l80°,

.­.ZBAC=1SO0-ZC-ZB,

ADIBC,

.•.//DC=90°,

ZCAD90°-ZC,

•••/E平分NB/C,

8—)=9。。-*6，

答案第5页，共29页

.­.ZEAD=ZEAC-ZCAD=90°--ZC--ZB-90°+ZC=-ZC--ZB；

2222

(3)解：过点A作NG，8C,

.-.DF//AG,

ZEFD=ZEAG,

由(2)可知：ZEAG=-ZC--ZB,

22

AEFD=-AC--AB-

22

故答案为：NEFD="-”；

22

(4)解：过点A作/

：.DF//AH,

：.ZAFD=ZEAH,

由(2)可知：ZEAH=-ZC--ZB,

22

：.AAFD=-AC--AB-

22

故答案为：N4FD="=NB.

22

6.⑴见解析

(2)N2+/3=90。，理由见解析

【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定，三角形外角的性质等知识.熟练掌握角平分

线，平行线的判定，三角形外角的性质是解题的关键.

答案第6页，共29页

(1)由和。的平分线相交于点E,可得44助二2/1,/CDB=2/2,

ZEDF=Z2,由Nl+N2=90。，可得乙48。+/CQ5=2(/1+/2)=180。，进而可证

AB//CD；

(2)由Nl+N2=90。，可得/DEF=/DEB=90。,由/3+/EDF=/DEB,可得

Z3+Z2=90°.

【详解】(1)解：和。的平分线相交于点£,

；・/ABD=2/T,ZCDB=2Z2,ZEDF=Z2,

vZl+Z2=90°,

ZABD+ZCDB=2(Z1+Z2)=180°,

・•.AB//CD；

(2)解：N2+N3=90。，理由如下：

vZl+Z2=90°,

ZD£F=Z1+Z2=9O°,

ABED=180°-/DEF=90°

vZ3+ZEDF=/DEB=90°,

.-.Z2+Z3=90°.

7.115°

【分析】本题主要考查三角形内角和、角平分线的定义及三角形的高，熟练掌握三角形内角

和、角平分线的定义及三角形的高是解题的关键；由题意易得/力C5,然后根据角平分线

的定义及三角形外角的性质可进行求解

【详解】解：・.・乙4=70。，ZABC=60。,

Z.ACB=180°-ZA-AABC=50°.

•••CD平分/ZCB,

ZACD=-ZACB=25°,

2

・・・B尸为/C边上的高，

ZAFB=ZCFB=90°,

/./BMC=ZCFB+ZACD=90°+25°=115°.

8.150°

【分析】本题主要考查三角形的内角和及四边形的内角和，熟练掌握三角形内角和是180。,

答案第7页，共29页

四边形内角和是360。是解题的关键.根据三角形内角和是180。，求出NC的度数，再根据

四边形CDFE内角和是360。求出ZEFD的度数即可.

【详解】解：；在△NBC中，NBAC:N4BC:NC=1:8:3,且三角形内角和是180。，

•••AD工BC于点、D,BELAC于点、E,

，在四边形底E中，ZADC=90°,NFEC=90°,NC=30。，

ZEFD=360°-90°-90°-30°=150°,

故NEED的度数为150。.

9.(1)61

⑵(90+；〃)

(3)立厂的大小不变，=

【分析】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义.

(1)根据三角形内角和定理得到/2\«/+乙忆43=180。+58。，根据角平分线的定义计算即

可；

(2)根据三角形内角和定理得到/OA4+/O42=(180-〃)。，根据角平分线的定义计算即可;

(3)根据三角形的外角性质得到/曲-/民4O=/MON=a,根据角平分线的定义、三角

形的外角性质计算即可.

【详解】(1);NMON=58。

ZOBA+ZOAB=122°

;.NNBA+NMAB=238。

vBC、AC分别为/NBA,AMAB的平分线

:.ZCBA=-NBA,ZCAB=-ZMAB

22

ZCBA+ZCAB=|x(NNBA+NMAB)=90°+gx58。

.•.NNC3=180°-(90°+；x58°)=90°-；x58°=61°

故答案为：61.

(2)-：AMON=n°,

NOBA+ZOAB=180。-〃°

vBD,47分别为/O48,/O3/的平分线

答案第8页，共29页

ZABD=-NOBA,ABAD=-NOAB

22

NABD+ABAD=gx{AOBA+NO/8)=；(180°一”。)

NADB=180。-；(180°-相)=90°+1n°

故答案为：(90+；〃).

(3)NF的大小不变，=

2

理由如下：ZNBA-ZBAO=AMON=a

又BE是/NB4的平分线，/尸是/CM8的平分线，

NEBA=-ZNBA,NBAF=-ZBAO

22

:.NF=NEBA-NBAF=1(NNBA-NBA=

10.(1)见解析

(2)55°

⑶ZBAC+180°=32QPN

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和是180。，三角形的外角的性质，掌握性

质及定理是解题的关键.

(1)由平行线的性质得出NCUEn/B,/EAC=NC,进而可得出结论.

(2)过点尸作尸G〃/E,设ND4F=NF4E=x,NDCF=NFCH=y,可证x+y=55。，

x+70°+y+Z^FC=180°,即可求解.

(3)设NPGM=x,ZGPQ=y,可证出x+y+/0PN=18O。，再证出

x+y^nO°-^ZBAC,即可求角轧

【详解】(1)证明：AE//BC,

:.NDAE=NB,NEAC=NC,

■：NDAC=ZDAE+NEAC,

；.NDAC=NB+NC.

(2)解：如图：过点尸作尸G〃/E,

答案第9页，共29页

图2

・：AF、CF平分NDAE,ZDCH,

^ZDAF=ZFAE=x,ZDCF=ZFCH=y,

・・・AE//BC,AB=ADAE=2x,

-CH//AB,.・.NB+/BCH=180。,

即：2x+700+2歹=180。，

:,x+y=55°,

vFGHAE,BC//AE,

:.FGHBCHAE,

：.NBCF=/CFG=70°+y,ZFAE+/AFG=180°,

即x+700+y+4产C=180。，：.ZAFC=55°.

故答案为：55°.

(3)解：设NPGM=x,ZGPQ=y,

4DGM=2x,/CPQ=2y,

•:PN〃GM,

・•・ZGPN+/PGM=180。，

・・.x+y+NQ7W=180。，

vZGPC+Z^PG=180°,

・・.3y+NZ尸G=180。，

•・•ZDGP=/GAP+/APG,

・・・/G"+/4PG=3x,

・・・NG"=18()o—/A4C,

・・・180°-ABAC+ZAPG=3x,

・•・NAPG=3x—180。+ABAC,

3j；+3x-180°+Z^C=180°,

答案第10页，共29页

.-.x+y=1200--ABAC,

3

・・・120。一；/34。+/。尸N=180。，

ZBAC+1SO°=3ZQPN.

11.40°

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质与判定，过点M作

驰AB"CD"MG,/MFD=/FMG,/EMG=NBEM=20。,再由等边三角形的性质得

至l」NEMF=60。，再由角的和差关系即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点"作MG〃力3,

•・•AB//CD,

ABHCD//MG,

:・NMFD=/FMG,NEMG=NBEM=20。,

•••△£五必是等边三角形，

ZEMF=60°,

ZMFD=ZFMG=ZEMF-ZEMG=40°.

12.150°

【分析】本题考查了正方形的性质、等腰和等边三角形的性质，灵活运用等边三角形的性质

是解题的关键.

【详解】解：•・・已知等边△石4D与正方形45CD,

AD=DE,AD=DC

从而DE=DC,NCED=/ECD

ZCDE=NADC-/ADE=90°-60°=30°

・・・/CED=/ECD=（180。-30。）=75°

同理乙4防二75。

ZBEC=360°-ZCED-NAEB-ZAED

=360°-75o-75o-60o=150°.

答案第11页，共29页

故答案为：150。.

13.⑴见解析

(2)120°

【分析】(1)根据平行线的性质和=/C可得NDEC=ZC,得到QE=C。，再由改二助

可得DE=CD=EC,即可证明；

(2)根据等边三角形的性质和三角形外角的定义即可求解.

【详解】(1)-AB//DE,

NDEC=NB,

♦・•/B=NC,

/.NDEC=NC,

/.DE=CD,

•・•EC=ED,

DE=CD—EC,

.•.△DEC为等边三角形.

(2)・「△DEC为等边三角形，

/££>C=/C=60。，

...NBED=NEDC+/C=60°+60°=120°.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的定义，熟

练掌握等边三角形的判定，平行线的性质是解题的关键.

14.(1)50°

⑵见解析

(3)30

【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，

(1)利用等腰三角形三线合一的性质即可得到乙4。8=90。，再利用等腰三角形的性质即可

求出2/3C的度数，即可求解；

(2)只要利用角平分线的定义和平行线的性质证明=即可解决问题；

(3)根据△/斯的周长可得/£+/8=15,利用BE平分△4BC的周长，即可求解.

【详解】(1)解：•.•NB=/C,

ZC=NABC,

vZC=40°，

答案第12页，共29页

AABC=40°,

AB=AC,。为BC的中点，

AD±BC,

ABDA=90°,

:./BAD=90°-/ABC=90°-40°=50°；

(2)证明：平分/4BC,

NABE=ZEBC,

EF//BC,

；.NEBC=ZBEF,

•••NEBF=NFEB,

BF=EF,

尸是等腰三角形；

(3)解：的周长为15,

AE+AF+EF=\5,

•••BF=EF,

AE+AF+BF=15,

即AE+AB=15,

•:BE平分4ABC的周长，

AE+AB=BC+CE^15,

:.^ABC的周长NE+AB+BC+CE=15+15=30.

15.(1)AABC马AACD,4ABC与ABCD,CO与△BCD是“等角三角形”；(2)见解

析;(3)111。或84。或106。或92。；

【分析】本题是三角形综合题，考查了“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内

角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.

(1)根据“等角三角形”的定义解答；

(2)根据三角形内角和定理求出4ACB,根据角平分线的定义得到

NACD=NDCB=gNACB=40°,根据“等角三角形”的定义证明即可；

2

(3)分A/CD是等腰三角形，DA=DC、D4=/C和△3CZ)是等腰三角形，DB=BC、

£>C=3£>四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.

答案第13页，共29页

【详解】解：(1)"ZACB=90°,CDVAB,

：.AA+ZACD=90°,ZACD+ZDCB=90°

；.NA=NDCB,同理，ZB=ZACD,

■■ZACB=ZADC=ZCDB,

A4BC与A4CD,MBC与ABCD,A/CZ)与△BCD是“等角三角形”;

(2),••在△ABC中，NN=40。，ZB=6Q0,

；.NACB=180°一NA-NB=80°

•••8为角平分线，

...ZACD=ZDCB=-ZACB=40°,

2

,-.ZACD=ZA,NDCB=NA,

CD=DA,

•.•在中，ZDCB=40°,ZB=60°,

ZBDC=180°-ZDCB-Z5=80°,

ZBDC=NACB,

CD=DA,ZBDC=ZACB,NDCB=ZA,NB=ZB,

二。为ZUBC的等角分割线；

(3)当A/C£＞是等腰三角形，

如图2,£M=DC时，ZACD=ZA=42°,

ZACB=NBDC=42O+42°=84°,

当A/CD是等腰三角形，

如图3,N=时，ZACD=ZADC=69°,

=69°+42°=111°,

当A/CD是等腰三角形，C£»=/C的情况不存在,

当△BCD是等腰三角形，

如图4,Z)C=AD时，

答案第14页，共29页

c

.-.ZACB=92°,

当△2。是等腰三角形,

如图5,=时，

ZBDC=/BCD,

设ZBDC=ZBCD=x,

则/3=180°-2x,

贝ij乙4cz>=/B=180°-2x,

由题意得，180°-2x+42°=x,

解得，x=74。，

ZACD=180°-2x=32°,

；.NACB=106°,

当ABCD是等腰三角形，CD=CB的情况不存在，

：.^ACB的度数为111。或84。或106。或92。.

16.(1)20；10

⑵x=2y

(3)当点。在C2的延长线上或点。在BC的延长线上，点E在射线NC上时，(2)中的结论

仍然成立，即x=2九理由见解析

【分析】(1)根据题意利用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质即

可得出结论；

(2)根据题意利用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质即可得出

答案第15页，共29页

结论；

(3)根据题意分①当点。在C5的延长线上，点£在射线4C上时，②点。在的延长

线上，点£在射线ZC上时，结合等腰三角形性质进行等量替换即可得出结论.

【详解】(1)解：・♦・45=/C,

・•.NABC=60°=/ACB,

ABAC=180。-ZABC-ZACB=60°,

vAD=AE,AADE=70°,

?.ZADE=ZAED=70°,

/DAE=180。—/ADE-ZAED=40°,

/./BAD=x°=ABAC-ADAC=60°-40°=20°,

•・•NADC=/BAD+/ABC=20°+60°=80°,

ZCDE=y°=ZADC-/ADE=80°-70°=10°,

故答案为：20,10；

(2)解：如图(1),

图⑴

vAB=AC,

・•・/B=/C,

・・・ZADC和NAED分别是和ACDE的外角,

・•.ZADC=NB+/BAD=ZB+x,

ZAED=ZC+ZCDE=ZC+y,

AD=AE,

・•・/ADE=ZAED,

AADE-y=AAED,

/B+x-y=ZC+y,

•••x=2y;

答案第16页，共29页

(3)解：当点。在C8的延长线上或点。在5C的延长线上，点£在射线NC上时，(2)

中的结论仍然成立，即x=2y.理由如下：

①如图3,当点。在C8的延长线上，点E在射线NC上时，

；./ABC=ZACB,

V/ABC和ZACB分别是△48。和CDE的外角,

；.NABC=NADB+ABAD=AADB+x,

ZACB=ZE+ZCDE=ZE+y,

AD=AE,

・••/ADE=ZE,

Z.ADB+y=Z-ACB-y,

/ABC—x+y=Z.ACB—y,

x=2y；

②如图4,点。在BC的延长线上，点K在射线/C上时,

AD=AE,

•••/ADE=ZE,

・••在中，ZCU£=180。—2/E,

・•./BAC=x—NDAE=x—180。+2/E,

答案第17页，共29页

VAB=AC,

180°—(x—180°+1Z.E)x

••・/ABC=ZACB=----------------------------L=180。----/E,

22

在中，ZDCE=lS00-y-ZE；

•・•ZACB=ZDCE,

Y

.•.180°---Z£'=180o-y-Z£',

・•・x=2y,

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形

外角的性质，解本题的关键是利用三角形的内角和定理得出等式.

17.(1)等腰三角形，理由见解析

(2)等边三角形，理由见解析

【分析】(1)将所给式子等号左边因式分解，得到a=b,即可判断；

(2)根据题中要求配成完全平方式，利用非负性可推出。=6=c,即可推出△NBC为等边

三角形.

【详解】(1)解：•.•6(a-b)-c(b-。)=0,

b(a-6)+c(tz-6)=0,

(6+c)(a-6)=0,

二。-6=0或6+c=0,

:・a=b,即△NBC是等腰三角形；

(2)a2+2b2+c2-2b{a+c)=0,

u~+b~—2ab++c~-2bc=0,

•••(a-Z>)2+(b-c)~=0,

。-6=0且6-c=0,

:.a=b=c,即△NBC为等边三角形.

【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方式的应用，等腰三角形和等边三角形的

定义，解题关键是熟练将式子变形.

18.⑴①，证明见(2)

(2)证明见解析

【分析】(1)添加条件①③，可以通过AAS证明△84D之A4CE,得到。8=£4进而证明

答案第18页，共29页

DE=DB+EC.

(2)先证明/区0/=/4£。=90。，ZDBA=ZCAE,可以通过AAS证明△8/。四△/(?£,

得到DB=EA进而证明。E=+EC.

【详解】(1)解：添加条件①，证明见(2)；

故答案为：①

(2)证明：CE11,

ABDA=ZAEC=90°,ZDBA+ZDAB=90°,

ABAC=90°,

：.ZDAB+ZCAE=90°,

ZDBA=NCAE,

又；AD=CE,

AACE(AAS),

DB=EA

:.DE=EA+AD=DB+EC.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关

键.

19.⑴①或③或④

(2)见解析

【分析】(1)根据全等三角形的判定方法选择一个条件即可；

(2)根据所选条件，利用相应的判定方法证明三角形全等即可.

【详解】(1)解:：/E=/£>,乙4=//,可以利用SAS,AAS,ASA三种方法证明AABE%ACD；

故可以选择的条件可以是：①或③或④

(2)选择①：

在和"CO中

Z=NA

<ZB=ZC,

AE=AD

.-.^ABE^ACD(AAS)；

选择③

答案第19页，共29页

在和A/CD中

AB=AC

AE=AD

.-.AABE^ACD(SAS)；

选择④

在A4BE和"CZ>中

ZADC=NAEB

<AE=AD,

NA=NA

LABE迫AACD(ASA).

【点睛】本题考查了添加一个条件证明三角形，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的

关键.

20.⑴边角边(SAS)

(2)1<40<5

(3)证明过程见详解

【分析】本题主要考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，等角对

等边的知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

(1)根据三角形的判定方法即可求解；

(2)运用三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，由此即可求解；

(3)如图所示，延长/。至点G,使得/£=OG,可证△BDGgZ\Cn4(SAS),可得

AC=BG,再根据E4=好可证NB尸G=/BGF,由此即可求解.

【详解】(1)解:4D是8c的中线，

：.BD=CD,

•.•延长4D到E,使DE=AD,ZBDE=ZCDA,

.•.△BED段ACAD(SAS),

••・运用的是“边角边(SAS)”判定定理证明，

故答案为：边角边(SAS).

答案第20页，共29页

(2)解：由(1)可知，ABED^CAD(SAS),

AC=BE=4,

在中，AB-BE<AE<AB+BE,

••・6-4<4£<6+4,即2</£<10,

••・AE=2AD,

.,.1<AD<5,

故答案为：1<4D<5.

(3)证明：如图所示，延长4。至点G,使得DG,

G

•・•力。是中点，5.ZBDG=ZCDA,AE=DG,

AABDG^ACDA(SAS)f

BG=AC,/G=/CAD,

-EA=EF,

・•・/LEAF=ZEFA,

•：ZAFE=/BFD,ZCAF=ZG,

・•・/BFG=/BGF,

；.BF=BG,且5G=4C,

：.BF=AC.

21.(1)见解析

(2)见解析

(3)T

【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质.

答案第21页，共29页

(1)易证/C4£=Nb，即可证明A/G尸会AEC4,即可解题；

(2)过尸点作尸GL/C交/C于G点，根据(1)中结论可得FG=/C=8C,即可证明

A]J/G1

JGD知BCD,可得。G=CD,根据一=3可证——=—,根据NG=CE,AC=BC,即

CDAC2

可解题；

AT4

(3)过尸作尸的延长线交于点G,易证左=亍，由(1)(2)可知

AC

"GFAECA,2GF知DCB,可得CD=OG,AG=CE,即可求得否的值，即可解

题.

【详解】(1)证明：-ZFAG+ZCAE=90°,ZFAG+ZF=90°,

/CAE=NF,

在44G尸和△ECZ中，

ZAGF=ZECA

<ZF=/CAE

AF=AE

.•.△/G衿△£C4(AAS)；

(2)证明：过尸点作尸G,4c交/C于G点,

♦：AAGF%ECA

FG=AC=BC,

在△尸GO和△5CZ)中,

ZFDG=ZCDB

<ZFGD=ZC=90°,

FG=BC

:AFGDRBCD(AAS),

/.DG=CD,

ADr

,/——=3,

CD

.4Gc

••-----=2,

CD

答案第22页，共29页

•4G_1

,,一，

AC2

・・・AG=CE,AC=BC

,CE1

•,一，

BC2

・•.E点为中点；

(3)解：过尸作尸G，/。的延长线交于点G,如图,

BC4

•・•一