非线性规划(数学建模)

国家级精品课程数学实验课件数学实验之—非线性规划SHUXUESHIYANZHIFEIXIANXINGGUIHUA你可以自由的从网站/cmewebhome上传或下载重庆大学数学实验与数学建模的最新信息，ppt幻灯片及相关资料，以便相互学习．

1952年美国经济学家Markowitz用概率统计的方法，将收益视作随机变量，用它的方差作为风险的指标，建立了完整的组合投资理论，于1990年获得诺贝尔经济学奖。

引例组合投资

问题的描述:

设有8种投资选择:5支股票,2种债券,黄金.投资者收集到这些投资项目的年收益率的历史数据(见下页表),投资者应如何分配他的投资资金,即需要确定这8种投资的最佳投资分配比例.

引例x1+x2+…+xn=1,xi0

问题的分析:设投资的期限是一年，不妨设投资总数为1个单位，用于第i项投资的资金比例为xi,X=(x1,x2,…,xn)称为投资组合向量.显然有

项目年份债券1债券2股票1股票2股票3股票4股票5黄金19731.0750.9420.8520.8150.6981.0230.8511.67719741.0841.0200.7350.7160.6621.0020.7681.72219751.0611.0561.3711.3851.3181.1231.3540.76019761.0521.1751.2361.2661.2801.1561.0250.96019771.0551.0020.9260.9741.0931.0301.1811.20019781.0770.9821.0641.0931.1461.0121.3261.29519791.1090.9781.1841.2561.3071.0231.0482.21219801.1270.9471.3231.3371.3671.0311.2261.29619811.1561.0030.9490.9630.9901.0730.9770.68819821.1171.4651.2151.1871.2131.3110.9811.08419831.0920.9851.2241.2351.2171.0801.2370.87219841.1031.1591.0611.0300.9031.1501.0740.82519851.0801.3661.3161.3261.3331.2131.5621.00619861.0631.3091.1861.1611.0861.1561.6941.21619871.0610.9251.0521.0230.9591.0231.2461.24419881.0711.0861.1651.1791.1651.0761.2830.86119891.0871.2121.3161.2921.2041.1421.1050.97719901.0801.0540.9680.9380.8301.0830.7660.92219911.0571.1931.3041.3421.5941.1611.1210.95819921.0361.0791.0761.0901.1741.0760.8780.92619931.0311.2171.1001.1131.1621.1101.3261.14619941.0450.8891.0120.9990.9680.9651.0780.990其中:rjk

代表第j种投资在第k年的收益率.Markowitz风险的定义:

收益的波动程度,可用样本方差(历史方差)来度量,为

引例收益和风险

每个投资项目的收益率可以看成一个随机变量,其均值可以用样本均值(历史均值)来近似.因此,预计第j种投资的平均收益率为

投资组合X=(x1,x2,…,xn)在第k年的收益率为:投资组合X=(x1,x2,…,xn)的风险为:投资组合X=(x1,x2,…,xn)的平均收益率为:

引例双目标:最大化利润,最小化风险s.t.x1+x2+…+x8=1,

xi0,i=1,2,…,8组合投资

引例化为单目标:模型1:控制风险最大化收益模型2:固定赢利，最小化风险化为单目标:模型3:对收益和风险加权平均(01)组合投资

引例3个模型均为非线性规划模型。投资选择问题

某公司在一个时期内可用于投资的总资本为b万元,可供选择的项目有n个。假定对第i个项目的投资总额为ai万元，收益总额为ci万元。问如何确定投资方案，使总的投资利润率(收益占总投资的比例)达最高？设决策变量为：

引例对第i项目进行投资不对第i项目投资数学模型非线性整数规划问题。收益占总投资的比例

引例b:总资本ai:第i个项目的投资额ci:第i个项目的收益基本概念例如：非线性规划模型的一般形式特殊情形1）无约束2）二次规划基本概念多峰函数，存在局部最大(小)和整体最大(小)函数曲面图形图形解释基本概念fgoalattain多目标规划fminbnd有界标量非线性优化问题fmincon

约束非线性极小化fminimax极小极大最优化fminsearchfminunc

无约束非线性最优化fseminf半无限极小化linprog

线性规划quadprog

二次规划MATLAB软件求解优化工具箱主要命令无约束非线性规划情形MATLAB软件求解

标准形式

:MinF(X)MATLAB求解步骤①首先建立一个函数M文件，如fun.m调用格式：

[X,fval]=fminunc(‘fun’,X0,options)或[X,fval]=fminsearch(‘fun’,X0,options)1.函数fminunc、fminsearch的具体用法

例1Rosenbrock函数

已知初始点（-1.9，2）。试分析最优解是否与初始点有关？无约束非线性规划情形MATLAB软件求解1）functionf=fun1(x)f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;1.函数fminunc、fminsearch的具体用法无约束非线性规划情形MATLAB软件求解2）x0=[-1.9,2];options=optimset(‘display’,‘iter’)[x,fval]=fminunc('fun1',x0,options),计算结果：x=0.99990.9997;fval=1.9047e-008若想结果更精确，将options修改为options=optimset(‘display’,‘iter’,‘tolfun’,1e-10);1.函数fminunc、fminsearch的具体用法1.函数fminunc、fminsearch的具体用法无约束非线性规划情形MATLAB软件求解计算结果：x=5.184026.8991;fval=17.5675未能得到最优解,说明初始解的选择很关键,一般选择与最优解尽量接近的点.若改变初始解,比如:取x0=[10,10]标准模型:2.函数fmincon的具体用法约束非线性规划情形MATLAB软件求解Minf(X)s.t.G1(X)≤0,G2(X)=0(非线性约束)AX≤b,Aeq.X=beq,(线性约束)

lb≤X≤ub调用格式:[x,fval]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@con)2.函数fmincon的具体用法约束非线性规划情形MATLAB软件求解①建立m文件函数fun.mfunctionf=fun(x)f=f(x);③为函数fmincon的其余输入变量赋值，然后调用该函数求出约束规划问题的解。②建立m文件函数nonlcon.mfunction[c,ceq]=nonlcon(x)c=G1(x);ceq=G2(x)2.函数fmincon的具体用法约束非线性规划情形MATLAB软件求解例：求解以下约束非线性规划：Maxf(x)=x1x2s.t.2(x1+x2)x3≤500

x3≥2

xj≥0，j=1,2①functionf=fun2(x)f=-x(1)*x(2);MATLAB程序②function[c,ceq]=nlcon(x)c=(x(1)+x(2))*x(3)-250;ceq=[];2.函数fmincon的具体用法约束非线性规划情形MATLAB软件求解③x0=[10102]';L=[002]';[x,fval]=fmincon('fun2',x0,[],[],[],[],L,[],'nlcon')计算结果:x=62.500062.50002.0000fval=-3.9063e+003maxf(x)=x12+

x22-x1x2-2x1-5x2s.t.-(x1–1)2+x2≥02

x1-3x2+6≥0,x0=[0,1]例2转化成标准形min

f(x)=-x12-x22+x1x2+2x1+5x2s.t.(x1–1)2-x2

≤0-2

x1+3x2–6≤0,x0=[0,1]2.函数fmincon的具体用法约束非线性规划情形MATLAB软件求解①functionf=fun22(x)f=-x(1)^2-x(2)^2+x(1)*x(2)+2*x(1)+5*x(2);②function[G,Geq]=cont2(x)G=(x(1)-1)^2-x(2);Geq=[];③x0=[01];A=[-2,3];b=6;Aeq=[];beq=[];lb=[];ub=[];[x,fval]=fmincon(@fun22,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@cont2)x=1.0e+008*[-0.0006-2.7649]fval=-7.6432e+016MATLAB程序:计算结果:3、使用quadprog求解二次规划问题二次规划标准模型调用格式:[x,fval]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,L,U,x0)MATLAB软件求解例4写成标准模型MATLAB软件求解beq=2H=[2,-2;-2,4];c=[-4,-12];A=[-1,2;2,1];b=[2,3]’;Aeq=[11];beq=2;[x,fval]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq)计算结果：x=[0.66671.3333]，f=-16.4444MATLAB软件求解MATLAB程序:小结无约束非线性规划

MinF(X)调用格式:[X,fval]=fminunc(‘F’,X0,options)

或[X,fval]=fminsearch(‘F’,X0,options)二次规划

Min0.5*XTHX+CTXs.t.AX≤bAeqX=beqL≤X≤U调用格式：[X,fval]=quadprog(H,c,A,b)MATLAB软件求解约束非线性规划

MinF(X)s.t.G(X)≤0,Geq=0AX≤b,Aeq.X=beq,

l≤X≤u调用格式：[X,fval]=fmincon(‘F’,X0,A,b,Aeq,beq,l,u,‘GGeq’)MATLAB软件求解小结供应与选址6个建筑工地水泥的日用量分别为3,5,4,7,6,11,(吨)两个临时料场A,B，日储量各有20吨。假设从料场到工地均有直线道路相连.范例供应与选址问题1：试制定每天A、B两料场向各工地供应水泥的供应计划，使总的吨千米数最小。范例问题2：为进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两个新的，日储量仍各为20吨，问应建在何处，节省的吨千米数有多大？建立规划模型

记工地的位置为(ai,bi)，水泥日用量为di,i=1,…,6,料场位置为(xj,yj),日储量为rj,j=1,2；从料场j向工地i的运送量为zij。（工地日用量）（料场日储量）供应与选址范例问题1的MATLAB程序：使用临时料场，即料场位置(xj,yj)为已知,决策变量为zij，上述模型为线性规划模型。记决策变量Z=[z11,z21,…,z61,z12,…z62]a0=[1.258.750.55.7537.25];b0=[1.250.754.7556.57.75];c1=sqrt((5-a0).^2+(1-b0).^2);c2=sqrt((2-a0).^2+(7-b0).^2);c=[c1,c2];A=[ones(1,6),zeros(1,6);zeros(1,6),ones(1,6)];b=[20;20];Aeq=[eye(6),eye(6)];beq=[3 54 7611]';L=zeros(1,12);[Z,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,L)最优目标值f=136.2275（吨千米）料场A,B运往各工地的水泥的日运量分别为i123456zi1(料场A)350701zi2(料场B)0040610供应与选址范例问题1的求解结果问题2的求解要为新建料场选址,料场位置(xj,yj)为未知时,决策变量为zij，xj,yj，模型为非线性规划模型。（工地日用量）（料场日储量）供应与选址范例目标函数的函数M文件:functionf=liaocmb(x)a0=[1.258.750.55.7537.25];b0=[1.250.75 4.75 56.57.75];c1=sqrt((x(13)-a0).^2+(x(14)-b0).^2);c2=sqrt((x(15)-a0).^2+(x(16)-b0).^2);c=[c1,c2];f=c*x(1:12,1);供应与选址范例问题2的求解function[c,ceq]=liaocys(x)A=[ones(1,6),zeros(1,6);zeros(1,6),ones(1,6)];b=[20;20];Aeq=[eye(6),eye(6)];beq=[3547611]';c=A*x(1:12,1)-b;ceq=Aeq*x(1:12,1)-beq;约束条件的函数M文件:供应与选址范例问题2的求解clearL=zeros(16,1);x0=[zeros(1,12),5,1,2,7]';options=optimset('largescale','off','display','iter','MaxFunEval',2000);[x,val,]=fmincon('liaocmb',x0,[],[],[],[],L,[],'liaocys',options)解非线性规划的主程序供应与选址范例问题2的求解i123456zi1(料场A)304760zi2(料场B)0500011计算结果：最优目标值f=85.2660（吨千米）

新料场位置的改变，目标值比原来减少了50.9615吨千米。

新料场A,B的坐标为（3.2550，5.6522）和（7.2500，7.7500）。新料场A,B运往各工地的水泥的日运量分别为问题2的求解

优化结果是新料场应建在用量最大的工地旁边，你预先估计到这个结果了吗？供应与选址范例历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯的变化资料精品课件欢迎使用[自读教材·填要点]一、铁路，更多的铁路1．地位铁路是

建设的重点，便于国计民生，成为国民经济发展的动脉。2．出现1881年，中国自建的第一条铁路——唐山

至胥各庄铁路建成通车。1888年，宫廷专用铁路落成。交通运输开平

3．发展(1)原因：①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的

。②修路成为中国人

的强烈愿望。(2)成果：1909年

建成通车；民国以后，各条商路修筑权收归国有。4．制约因素政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入正轨。修筑权救亡图存京张铁路

二、水运与航空1．水运(1)1872年,

正式成立，标志着中国新式航运业的诞生。(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是在列强排挤中艰难求生。2．航空(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始研制

。(2)发展：1918年，北洋政府在交通部下设“

”；此后十年间，航空事业获得较快发展。轮船招商局水上飞机筹办航空事宜处三、从驿传到邮政1．邮政(1)初办邮政：1896年成立“大清邮政局”，此后又设

，邮传正式脱离海关。(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站；1920年，中国首次参加

。邮传部万国邮联大会2．电讯(1)开端：1877年，福建巡抚在

架设第一条电报线，成为中国自办电报的开端。(2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变化。3．交通通讯变化的影响(1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和

，

转变了人们的思想观念。(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便捷。(3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活

。台湾出行方式多姿多彩[合作探究·提认知]

电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家，从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。

提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车，近代的小火轮、火车同时使用)。

原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；政府及各阶层人士的提倡与推动。[串点成面·握全局]

一、近代交通业发展的原因、特点及影响1．原因(1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促进中国社会发展。(2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。(3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供了物质条件。2．特点(1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和航空都获得了一定程度的发展。(2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。(3)地域之间的发展不平衡。3．影响(1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式，一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的联系，丰富了人们的生活。(2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立之势”。这说明该企业的创办 (

)A．打破了外商对中国航运业的垄断B．阻止了外国对中国的经济侵略C．标志着中国近代化的起步D．使李鸿章转变为民族资本家解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家；洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D三项表述都有错误。答案：A二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影响(1)交通工具和交通事业的发展，不仅推动各地经济文化交流和发展，而且也促进信息的传播，开阔人们的视野，加快生活的节奏，对人们的社会生活产生了深刻影响。(2)通讯工具的变迁和电讯事业的发展，使信息的传递变得快捷简便，深刻地改变着人们的思想观念，影响着人们的社会生活。2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽有万钧柁，动如绕指柔。”这是在描写 (

)A．电话B．汽车C．电报 D．火车解析：从“万钧柁”“动如绕指柔”可推断为火车。答案：D[典题例析][例1]

上海世博会曾吸引了大批海内外人士利用各种交通工具前往参观。然而在19世纪七十年代，江苏沿江居民到上海，最有可能乘坐的交通工具是 (

)A．江南制造总局的汽车B．洋人发明的火车C．轮船招商局的轮船D．福州船政局的军舰[解析]由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。[答案]

C[题组冲关]1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是(

)A．公路运输 B．铁路运输C．轮船运输 D．航空运输解析：根据所学1872年李鸿章创办轮船招商局，这是洋务运动中由军工企业转向兼办民用企业、由官办转向官督商办的第一个企业。具有打破外轮垄断中国航运业的积极意义，这在一定程度上保护了中国的权利。据此本题选C项。答案：C2.右图是1909年《民呼日报》上登载的一幅漫画，其要表达的主题是(

)A．帝国主义掠夺中国铁路权益B．西方国家学习中国文化C．西方列强掀起瓜分中国狂潮D．西方八国组成联军侵略中国解析：从图片中可以了解到各国举的灯笼是火车形状，20世纪初的这一幅漫画正反映了帝国主义掠夺中国铁路权益。B项说法错误，C项不能反映漫画的主题，D项时间上不一致。答案：A[典题例析][例2]

(2010·福建高考)上海是近代中国茶叶的一个外销中心。1884年，福建茶叶市场出现了茶叶收购价格与上海出口价格同步变动的现象。与这一现象直接相关的近代