2024-2025学年高中数学第一章推理与证明3反证法课后作业含解析北师大版选修2-2

PAGE第一章推理与证明[A组基础巩固]1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是()A．无解 B．两解C．至少两解 D．无解或至少两解解析：解是唯一的否定应为“无解或至少两解”．答案：D2．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：①错，应为a≤b；②对；③错，应为“三角形的外心在三角形内或三角形的边上”；④错，应为三角形的内角中有2个或2个以上的钝角．答案：B3．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数解析：对“至少有一个”的否定应为“一个也没有”，故选B.答案：B4．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列推断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中推断正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：因为a，b，c不全相等，所以①正确；②明显正确，③中的a≠c，b≠c，a≠b可以同时成立，所以③错，故选C.答案：C5．已知x＞0，y＞0，z＞0，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2解析：假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6.而事实上a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥2＋2＋2＝6，与假设冲突，所以a，b，c中至少有一个不小于2.答案：C6．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为________．解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”，即a，b不全为0.答案：a，b不全为07．用反证法证明命题“若p1p2＝2(q1＋q2)，则关于x的方程x2＋p1x＋q1＝0与x2＋p2x＋q2＝0中，至少有一个方程有实数根”时，应假设为________________．答案：两个方程都没有实数根8．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________________．解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x≠a且x≠b”的否定应为“x＝a或x＝b”．答案：x＝a或x＝b9．求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60°.解析：已知：∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角．求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个不小于60°.证明：假设△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C都小于60°，即∠A<60，∠B<60°，∠C<60°，三式相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.这与三角形内角和定理冲突，∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假设不能成立．∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.10．求证：抛物线上任取四点所组成的四边形不行能是平行四边形．证明：如图，设抛物线方程为y2＝ax(a>0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)是抛物线上不同的四点，则有yeq\o\al(2,i)＝axi，xi＝eq\f(y\o\al(2,i),a)(i＝1,2,3,4)，于是kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y2－y1,\f(y\o\al(2,2),a)－\f(y\o\al(2,1),a))＝eq\f(a,y2＋y1)，同理kBC＝eq\f(a,y3＋y2)，kCD＝eq\f(a,y4＋y3)，kDA＝eq\f(a,y1＋y4).假设四边形ABCD是平行四边形，则kAB＝kCD，kBC＝kDA，从而得y1＝y3，y2＝y4，进而得x1＝x3，x2＝x4，于是点A，C重合，点B，D重合，这与假设A，B，C，D是抛物线上不同的四点相冲突．故四边形ABCD不行能是平行四边形．[B组实力提升]1．在数列11,111,1111，…中()A．有完全平方数 B．没有完全平方数C．有偶数 D．没有3的倍数解析：明显没有偶数，有3的倍数，故C、D错误，假设有完全平方数，它必为奇数的平方，设11…1m个1＝(2n＋1)2(m，n为正整数)，则11…10(m－1)个1＝4n(n＋1)，两边同除以2得，55…5(m－1)个5＝2n(n＋1)，此式左端为奇数，右端为偶数，冲突．答案：B2．假如两个数之和为正数，则这两数________．解析：假设两个都为负数，则这两个数之和为负数与题设冲突．两个数均为正数明显符合题意，若一正一负，且正数的肯定值大于负数的肯定值，也符合题意．答案：至少有一个是正数3．假如△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1为________三角形，△A2B2C2为________三角形(填“锐角”或解析：由已知△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1为锐角三角形，则由题意，知△A2B2C2为锐角三角形或钝角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA2＝cosA1＝sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A1))，,sinB2＝cosB1＝sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B1))，,sinC2＝cosC1＝sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C1))，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A2＝\f(π,2)－A1，,B2＝\f(π,2)－B1，,C2＝\f(π,2)－C1，))所以A2＋B2＋C2＝eq\f(π,2)与A2＋B2＋C2＝π冲突，所以△A2B2C2是钝角三角形．答案：锐角钝角4．a、b∈R，用反证法证明a2＋ab与b2＋ab中至少有一个因式为非负数．证明：假设a2＋ab与b2＋ab都是负数，即a2＋ab<0，b2＋ab<0，则a2＋ab＋b2＋ab<0，即a2＋2ab＋b2<0，也就是(a＋b)2<0，这与(a＋b)2≥0冲突．所以假设错误，原结论正确．5．已知函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，设当x0≥1，f(x0)≥1时，有f[f(x0)]＝x0，求证：f(x0)＝x0.证明：假设f(x0)≠x0，则必有f(x0)>x0或f(x0)<x0.若f(x0)>x0≥1，由f(x)在[1