2024-2025学年高中数学第一章集合与函数概念1.1.1第1课时集合的概念学案含解析新人教A版必修1

PAGE1．1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的概念内容标准学科素养1.通过实例了解集合的含义．2.驾驭集合中元素的三个特性．3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.发展数学抽象提升逻辑推理应用数学运算授课提示：对应学生用书第1页[基础相识]学问点一元素与集合的概念eq\a\vs4\al(预习教材P2－3，思索并完成以下问题)假如说人生是一本书，那么，军训的生活便是书中最漂亮的彩页；假如说人生是一台戏，那么，军训的生活便是戏中最精彩的一幕．的确，几天的军训是短暂的，但它给我们留下的美妙回忆却是永恒的．(1)军训的时候我们常常听到教官喊“集合”，请问这个集合是指全体同学还是个别同学呢？提示：全体同学．(2)假如教官喊“全体高个子同学集合”，你还去集合吗？提示：不知道，有些同学很难推断自己究竟是不是高个子，高个子没有统一的标准，这要看和谁比．学问梳理1.元素：一般地，我们把探讨对象统称为元素．通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．3．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．4．集合的相等：构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．延长探究1.确定性：作为一个集合的元素必需是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．2．互异性：对于给定的集合，其中的元素肯定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．3．无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑依次的．如由1,2,3构成的集合与3,2,1构成的集合是同一个集合．学问点二元素与集合的关系eq\a\vs4\al(预习教材P2－3，思索并完成以下问题)假如教官喊“一班的同学集合”，你会马上去集合吗？提示：假如属于一班就会马上去集合，假如不属于一班，就不去集合．学问梳理1.属于：假如a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.2．不属于：假如a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.3．常用数集及符号表示数集非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR[自我检测]1．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．答案：C2．用“∈”或“∉”填空：eq\f(1,2)__________N；－3__________Z；eq\r(2)__________Q；0__________N*；eq\r(5)__________R.答案：∉∈∉∉∈3．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝__________.解析：由题意可知a＋1＝4，即a＝3.答案：3授课提示：对应学生用书第2页探究一集合的基本概念[例1]考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地的漂亮乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2024年感动中国人物．A．③④ B．②③④C．②③ D．②④[解析]①中“漂亮”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.[答案]B方法技巧推断一组对象能否组成集合的标准推断一组对象能否组成集合，关键是看这些元素是否具有确定性、互异性、无序性，假如条件满意就可以断定这些元素可以组成集合，否则不能组成集合．跟踪探究1.下列各项中，不行以组成集合的是()A．全部的正数 B．等于2的数C．接近于0的数 D．不等于0的偶数解析：选项C中接近于0的数不具有确定性，不行以组成集合．答案：C探究二元素与集合的关系[例2](1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A(2)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②eq\r(3)∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4[解析](1)由元素与集合的关系可知，a∈A.(2)①π∈R明显是正确的；②eq\r(3)是无理数，而Q表示有理数集，∴eq\r(3)∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．[答案](1)C(2)B方法技巧推断元素与集合间关系的方法推断一个对象是否为某个集合的元素，就是推断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．假如一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．跟踪探究2.给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.其中正确的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．答案：B探究三集合中元素特性的应用[例3]已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．[解析]由题意可知，a＝1或a2＝a，(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相冲突，故a≠1.(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满意集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.延长探究本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．解析：由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.方法技巧利用集合元素互异性求参数问题(1)依据集合中元素的确定性，可以解出字母的全部可能值，再依据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．(2)利用集合中元素的特性解题时，要留意分类探讨思想的应用．跟踪探究3.若集合A中有且仅有三个数1,0，a，若a2∈A，求a的值．解析：若a2＝0，则a＝0，不符合集合中元素的互异性，所以a2≠0.若a2＝1，则a＝±1，由元素的互异性知a≠1，所以当a＝－1时适合．若a2＝a，则a＝0或1，由上面探讨知均不符合集合中元素互异性的要求．综上可知，a＝－1.授课提示：对应学生用书第3页[课后小结]1．推断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．2．集合中的元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，用到分类探讨时，必需明确分类标准，才能做到不重不漏．[素养培优]忽视集合中元素的互异性致误已知集合A中含有两个元素为a和a2，若1∈A，则实数a的值为__________．易错分析：(1)缺乏分类探讨的意识，看到1∈A，就想当然地认为a＝1，而忽视分类探讨；(2)对元素的互异性缺乏