2024-2025学年高中数学第一章统计案例1.2独立性检验的基本思想及其初步应用课时跟踪训练含解析新人教A版选修1-2

PAGE独立性检验的基本思想及其初步应用[A组学业达标]1．在一项中学生近视状况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有劝服力()A．平均数与方差 B．回来分析C．独立性检验 D．概率解析：推断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验，故选C.答案：C2．如表是2×2列联表：y1y2总计x1a2173x222527总计b46则表中a，b处的值分别为()A．94,96 B．52,50C．52,54 D．54,52解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋21＝73，,a＋2＝b，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝52，,b＝54.))答案：C3．如图是调查某地区男女中学生喜爱理科的等高条形图，阴影部分表示喜爱理科的百分比，从图可以看出()A．性别与喜爱理科无关B．女生中喜爱理科的比例为80%C．男生比女生喜爱理科的可能性大些D．男生不喜爱理科的比例为60%解析：由等高条形图知：女生喜爱理科的比例为20%，男生不喜爱理科的比例为40%，因此B、D不正确．从图形中，男生比女生喜爱理科的可能性大些．答案：C4．分类变量X和Y的列联表如下：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d则下列说法正确的是()A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱B．ad－bc越大，说明X与Y关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强解析：|ad－bc|越小，说明X与Y关系越弱，|ad－bc|越大，说明X与Y关系越强．答案：C5．在探讨打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是()A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾C．100个心脏病患者中肯定有打鼾的人D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有解析：这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.依据概率的意义可知答案应选D.答案：D6．有2×2列联表：Beq\x\to(B)总计A544094eq\x\to(A)326395总计86103189由上表可计算K2的观测值k≈________.解析：k＝eq\f(189×54×63－32×402,94×95×86×103)≈10.76.答案：10.767．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40岁152742总计5545100由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：________(填“是”或“否”)．解析：因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即eq\f(b,a＋b)＝eq\f(18,58)，eq\f(d,c＋d)＝eq\f(27,42)，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．答案：是8．对某校小学生进行心理障碍测试得到如下列联表：有心理障碍没有心理障碍总计女生1030男生7080总计20110将表格填写完整，试说明心理障碍与性别是否有关？附：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：将列联表补充完整如下：有心理障碍没有心理障碍总计女生102030男生107080总计2090110k＝eq\f(110×10×70－20×102,30×80×20×90)≈6.366>5.024，所以有97.5%的把握认为心理障碍与性别有关．9．随着生活水平的提高，人们患肝病的越来越多，为了解中年人患肝病与常常饮酒是否有关，现对30名中年人进行了问卷调查得到如下列联表：常饮酒不常饮酒合计患肝病2不患肝病18合计30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肝病患者的概率为eq\f(4,15).(1)请将上面的列联表补充完整，并推断是否有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关．说明你的理由；(2)现从常饮酒且患肝病的中年人(恰有2名女性)中，抽取2人参与电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：(1)设患肝病中常饮酒的人有x人，eq\f(x＋2,30)＝eq\f(4,15)，x＝6.常饮酒不常饮酒合计患肝病628不患肝病41822合计102030由已知数据可求得K2＝eq\f(30×6×18－2×42,10×20×8×22)≈8.523>7.879，因此有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关．(2)设常饮酒且患肝病的男性为A，B，C，D，女性为E，F，则任取两人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，共8种．故抽出一男一女的概率是P＝eq\f(8,15).[B组实力提升]1．通过随机询问110名性别不同的高校生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)算得，观测值k＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解析：由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．答案：A2．春节期间，“厉行节约，反对奢侈”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到列联表：做不到“光盘”能做到“光盘”男4510女3015由此列联表得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”解析：列出列联表：做不到“光盘”能做到“光盘”总计男451055女301545总计7525100∴K2的观测值k＝eq\f(10045×15－30×102,75×25×55×45)≈3.030，又3.030>2.706，且P(K2≥2.706)＝0.10，∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为该市居民能否做到“光盘”与性别有关．答案：C3．在吸烟与患肺病是否相关的推断中，有下面的说法：①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________(填序号)．解析：K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．答案：③4．下列关于K2的说法中，正确的有________(填序号)．①K2的值越大，两个分类变量的相关性越大；②K2的计算公式是K2＝eq\f(nad－bc,a＋bc＋da＋cb＋d)；③若求出K2＝4＞3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；④独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事务，若在一次试验中该事务发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断．解析：对于①，K2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能推断相关性大小，故①错；对于②，(ad－bc)应为(ad－bc)2，故②错；③④对．答案：③④5．国家规定，疫苗在上市前必需经过严格的检测，并通过临床试验获得相关数据，以保证疫苗运用的平安和有效．某生物制品探讨所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床试验，得到统计数据如下：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40px注射疫苗60qy总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为eq\f(3,5).(1)求2×2列联表中的数据p，q，x，y的值；(2)能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗状况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828解析：(1)p＝60，q＝40，x＝100，y＝100.(2)由K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)，得K2＝eq\f(20040×40－60×602,100×100×100×100)＝8<10.828，所以没有99.9%把握认为注射此种疫苗有效．(3)由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例为3∶2，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，用a，b，c表示，2只已注射