2025届高考数学一轮复习第七章立体几何第一节空间几何体的结构三视图和直观图教师文档教案文北师大版

PAGE第一节空间几何体的结构、三视图和直观图授课提示：对应学生用书第119页[基础梳理]1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面相互平行且相等多边形相互平行侧棱平行且相等相交于一点，但不肯定相等延长线交于一点侧面形态平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线相互平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形全等的圆侧面绽开图矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．简记为：横同竖半，平行性不变．3．三视图(1)几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方视察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：主左一样高，主俯一样长，左俯一样宽；看到的线画实线，看不到的线画虚线．1．依据斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图，S原图＝2eq\r(2)S直观图．2．球心到截面的距离d＝eq\r(R2－r2)(其中R为球的半径，r为截面半径)．[四基自测]1．(基础点：三视图的画法规则)若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为()A．2，2eq\r(3) B．2eq\r(2)，2C．4，2 D．2，4答案：D2．(易错点：三视图的识别)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为()答案：B3.(基础点：直观图的画法规则)如图，在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.答案：矩形8授课提示：对应学生用书第120页考点一空间几何体的结构特征[例](1)下列结论正确的是()A．以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台B．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台[解析]∵这条腰必需是垂直于两底的腰，∴A错；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，∴C错；必需用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以得到一个圆锥和一个圆台，D错．故选B.[答案]B(2)下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的随意一点的连线都是母线[解析]A错误．如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．图(1)B错误．如图(2)，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．图(2)C错误．若六棱锥的全部棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必定要大于底面边长．D正确．[答案]D(3)给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．[解析]①不正确，依据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不肯定全等；②正确，两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知．故答案为②③④[答案]②③④[破题技法]解空间几何体概念辨析问题的常用方法提示：(1)直棱柱的侧棱垂直于底面，正棱柱是底面为正多边形的直棱柱，易忽视正棱柱首先是直棱柱．(2)台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．考点二空间几何体的直观图[例](1)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形[解析]在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2cm，∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(（4\r(2)）2＋22)＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形，故选C.[答案]C(2)直观图为如图所示的一个边长为1cm的正方形，则原图形的周长为________cm.[解析]将直观图还原为平面图形，如图．可知还原后的图形中OB＝2eq\r(2)，AB＝eq\r(12＋（2\r(2)）2)＝3，于是周长为2×3＋2×1＝8(cm)．[答案]8(3)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．[解析]如图，∵OE＝eq\r(（\r(2)）2－12)＝1，∴O′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4).∴直观图A′B′C′D′的面积为S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).[答案]eq\f(\r(2),2)[破题技法]1.用斜二测画法画直观图的技巧：在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐标轴的夹角变更，,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，,图形变更.))“三不变”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不变更，,与x，z轴平行的线段的长度不变更，,相对位置不变更.))考点三空间几何体的三视图挖掘1已知几何体形态，识别几何体的三视图/自主练透[例1](1)(2024·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()[解析]由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.[答案]A(2)(2024·惠州调研)如图所示，将图①中的正方体截去两个三棱锥，得到图②中的几何体，则该几何体的左视图为()[解析]从几何体的左面看，AD1在视线范围内，画实线，C1F[答案]B[破题技法]由几何体的直观图求三视图．应留意主视图、左视图和俯视图的视察方向，留意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．还原几何体形态时不要忽视空间几何体的三视图中的虚线．挖掘2由空间几何体的三视图还原直观图/自主练透[例2](1)(2024·高考全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12C．14 D．16[解析]由题意，得该几何体的直观图是由一个三棱锥和一个三棱柱构成的，如图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这两个梯形的面积之和为2×(2＋4)×2×eq\f(1,2)＝12，故选B.[答案]B(2)(2024·南平质检)图中网格的各小格是单位正方形，粗线构成的上下两个图形分别是正三棱锥与圆台组合体的主视图和俯视图，那么该组合体的左视图的面积为()A．6＋eq\r(3) B．eq\f(15,2)C．6＋eq\f(3\r(3),4) D．8eq\r(3)[解析]由三视图还原可得原图形为一个圆台上面放了一个正三棱锥，所以左视图下面圆台是一个等腰梯形，面积为S1＝eq\f(（2＋4）×2,2)＝6，上面是一个三角形，面积为S2＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×2＝eq\f(3,2)，所以左视图的面积为S＝S1＋S2＝eq\f(15,2)，故选B.[答案]B[破题技法]由三视图还原几何体的方法：挖掘3由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图/自主练透[例3](2024·石家庄质检)一个三棱锥的主视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的左视图可能为()[解析]由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.[答案]D[破题技法]由几何体的部分视图画出剩余的视图，先依据已知的一部分视图，还原、推想直观图的可能形式，从而得到未知视图的可能形式．考点四三视图中的最值问题[例]某几何体的一条棱长为eq\r(7)，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为eq\r(6)的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．4 D．2eq\r(5)[解析]将此几何体中棱长为eq\r(7)的棱抽离出来，构造一个以它为体对角线的长方体，如图所示，则此长方体的面对角线分别为a，b，eq\r(6).设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝b2，,y2＋z2＝a2，,z2＋x2＝6，,x2＋y2＋z2＝7，))消去x，y，z，得a2＋b2＝8，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝16，则a＋b≤4.故选C.[答案]C[破题技法]1.三视图中的最值问题通常有两种破解策略：(1)利用函数思想求解，即在解答时通过设出变量，利用函数与方程思想得到方程或函数解析式，运用解方程或函数求最值的方法解答此类问题；(2)借助几何图形的结构特征求解，即仔细分析图形，确定取最值时的相应点、线段或角，再借助几何图形的结构特征进行计算求解．2．留意补形的策略在三视图问题中的应用，本例若是仅考虑符合题意的几何体的形态，便极易陷入苦思而不得的泥沼．现考虑长方体模型，因为长方体的体对角线的三视图即为长方体的三条面对角线，从而得到本题的简易解法．(2024·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆柱表面上