2024-2025学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.4点到直线的距离学案含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE2.2.4点到直线的距离必备学问·自主学习1.点到直线的距离(1)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(2)本质：用代数方法求平面内点到直线的距离．能不能干脆用直线的斜截式方程求点到直线的距离？提示：不能，必需先化成一般式，再代入公式求距离．2．两条平行直线间的距离(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．(2)公式：直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．(3)本质：用代数方法求平面内两条平行直线间的距离．直线l1，l2的方程具备什么特征时，才能干脆应用公式求距离？提示：直线l1，l2的方程必需是一般式，且一次项系数A，B相同．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.()(2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.()(3)两直线2x＋2y＝m与x＋y＝2n的距离为eq\f(|m－2n|,\r(2)).()提示：(1)×.点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离应为d＝|y0－b|，因为y0与b的大小不确定．(2)√.点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|，式子中加了肯定值，所以正确．(3)×.求两条平行线间的距离必需先把x与y的系数变为相同形式．2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)【解析】选D.d＝eq\f(|0＋2×0－5|,\r(12＋22))＝eq\r(5).3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为()A．3B．2C．1D．eq\f(1,2)【解析】选C.d＝eq\f(|－7－（－12）|,\r(32＋42))＝1.4．(教材二次开发：例题改编)若其次象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)，则m的值为________.【解析】由eq\f(|m＋1＋1|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，得m＝－4或m＝0，又因为m<0，所以m＝－4.答案：－4关键实力·合作学习类型一点到直线的距离公式(数学运算)1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是()A．3B．eq\f(5,3)C．1D．eq\f(\r(2),2)2．已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝()A．0B．eq\f(3,4)C．3D．0或eq\f(3,4)3．已知点P(1＋t，1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为eq\f(\r(5),5)，则点P的坐标为()A．(0，－2)B．(2，4)C．(0，－2)或(2，4)D．(1，1)4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是()A．8B．2eq\r(2)C．eq\r(2)D．16【解析】1.选B.点P(1，－1)到直线l的距离d＝eq\f(|3×（－1）－2|,\r(02＋32))＝eq\f(5,3).2．选D.点M到直线l的距离d＝eq\f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))，所以eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝0或m＝eq\f(3,4).3．选C.直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得eq\f(|2（1＋t）－（1＋3t）－1|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(\r(5),5)，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2，4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2).4．选A.x2＋y2＝(eq\r(（x－0）2＋（y－0）2))2，它表示原点到(x，y)距离的平方，x2＋y2的最小值即为原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|0＋0－4|,\r(2))))eq\s\up12(2)＝8.应用点到直线的距离公式应留意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍旧适用；(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特别直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【补偿训练】1.若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(31,3))) B．[3，4]C．(0，10) D．(－∞，0)∪[10，＋∞)【解析】选A.由eq\f(|16－3a|,\r(42＋32))≤3，即|3a－16|≤15，2．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于()A．eq\f(7,9)B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(7,9)或－eq\f(1,3)D．－eq\f(7,9)或eq\f(1,3)【解析】选C.由点到直线的距离公式可得eq\f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得实数a＝－eq\f(7,9)或－eq\f(1,3).3．已知点P(a，b)是其次象限的点，那么它到直线x－y＝0的距离是()A．eq\f(\r(2),2)(a－b)B．eq\f(\r(2),2)(b－a)C．b－aD．eq\r(a2＋b2)【解析】选B.因为P(a，b)是其次象限的点，所以a<0，b>0.所以a－b<0.所以点P到直线x－y＝0的距离d＝eq\f(|a－b|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)(b－a).类型二两条平行线间的距离(数学运算)【典例】(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________.(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________.【思路导引】(1)首先利用对应系数的比值相等求m，再计算距离；(2)设出直线l的方程，利用两条平行线间距离公式求解．【解析】(1)由题意，得eq\f(6,3)＝eq\f(m,1)，所以m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，由两平行线间距离公式，得eq\f(|－1＋6|,\r(62＋22))＝eq\f(5,\r(40))＝eq\f(\r(10),4).(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得eq\f(|3－C|,\r(22＋12))＝eq\f(|C＋1|,\r(22＋12))，解得C＝1，所以直线l的方程为2x－y＋1＝0.答案：(1)eq\f(\r(10),4)(2)2x－y＋1＝01．求两条平行线间距离的方法求两平行线间的距离，一般是干脆利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝eq\f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).但必需留意两直线方程中x，y的系数对应相等．2．由两平行直线间的距离求直线方程的两种思路(1)设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；(2)干脆运用两平行直线间的距离公式求解．1．若两平行直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x－ny－3＝0之间的距离是eq\r(5)，则m＋n＝()A．0B．1C．－1D．－2【解析】选A.由直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x－ny－3＝0平行可得－n＝2即n＝－2，又因为直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x＋2y－3＝0的距离为eq\r(5)，所以eq\f(|m＋3|,\r(12＋22))＝eq\r(5)，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))＝0.2．到直线2x＋y＋1＝0的距离等于eq\f(\r(5),5)的直线方程为()A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0【解析】选D.因为所求与直线2x＋y＋1＝0的距离为eq\f(\r(5),5)，所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，所以d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c－1)),\r(22＋12))＝eq\f(\r(5),5)，解得c＝0或c＝2，故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.类型三距离的综合应用(数学运算、直观想象)计算三角形面积【典例】已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，则△ABC的面积等于()A．3B．4C．5D．6【思路导引】计算一条边长和这条边上的高，即第三个顶点到这条边的距离．【解析】选C.设AB边上的高为h，则S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h，|AB|＝eq\r(（3－1）2＋（1－3）2)＝2eq\r(2)，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为eq\f(y－3,1－3)＝eq\f(x－1,3－1)，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))，因此，S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(5,\r(2))＝5.求直线方程【典例】已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．【思路导引】先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解．【解析】设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0，))得正方形的中心坐标为P(－1，0)，由点P到两直线l，l1的距离相等，得eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq\f(|－1＋c|,\r(12＋32))，解得c＝7或c＝－5(舍)，所以l1：x＋3y＋7＝0.又正方形另两边所在直线与l垂直，所以设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.因为正方形中心到四条边的距离相等，所以eq\f(|－3＋a|,\r(32＋（－1）2))＝eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))，得a＝9或a＝－3，所以另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.所以另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程．【解析】由例题知，正方形中心坐标为P(－1，0)，则与OP垂直的直线到原点的距离最大．因为kOP＝0，所以此时所求直线方程为x＝－1.距离公式综合应用的三种常用类型(1)最值问题：①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．(2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．(3)求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．1．已知△ABC中，A(1，1)，B(m，eq\r(m))(1<m<4)，C(4，2)，求m为何值时，△ABC的面积S最大？【解析】因为A(1，1)，C(4，2)，所以|AC|＝eq\r(（4－1）2＋（2－1）2)＝eq\r(10).又AC边所在直线的方程为x－3y＋2＝0，依据点到直线的距离公式，可得点B(m，eq\r(m))到直线AC的距离d＝eq\f(|m－3\r(m)＋2|,\r(10)).所以S＝eq\f(1,2)|AC|·d＝eq\f(1,2)|m－3eq\r(m)＋2|＝eq\f(1,2)|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)|.因为1<m<4，所以1<eq\r(m)<2，－eq\f(1,2)<eq\r(m)－eq\f(3,2)<eq\f(1,2).所以0≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))eq\s\up12(2)<eq\f(1,4)，所以S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(m)－\f(3,2)))\s\up12(2))).所以当eq\r(m)－eq\f(3,2)＝0，即m＝eq\f(9,4)时，S最大．故当m＝eq\f(9,4)时，△ABC的面积最大．2．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．【解析】设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以|AD|＝eq\r(2)，|BC|＝eq\r(2)b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝eq\f(|1＋0－b|,\r(2))＝eq\f(|b－1|,\r(2))＝eq\f(b－1,\r(2))(b>1)，由梯形的面积公式得eq\f(\r(2)＋\r(2)b,2)×eq\f(b－1,\r(2))＝4，所以b2＝9，b＝±3.又b>1，所以b＝3.从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.课堂检测·素养达标1．直线6x＋8y－2＝0与6x＋8y－3＝0间的距离为()A．1B．3C．eq\f(1,10)D．eq\f(2,5)【解析】选C.由平行线间的距离公式可知，直线间的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2＋3)),\r(62＋82))＝eq\f(1,10).2．点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为()A．a>7B．a<－7或a>3C．a<－3D．a>7或a<－3【解析】选D.依据题意，得eq\f(|3a－6|,\r(32＋42))>3，解得a>7或a<－3.3．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al