第1章 特殊平行四边形（8类题型突破）

第1章特殊平行四边形（题型突破）重要题型题型一菱形、矩形、正方形的性质与判定的有关概念【例1】下列选项中，矩形一定具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角巩固训练：下列性质中，菱形不一定具备的性质是（）A．四边相等 B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对边平行2．下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，对角线一定相等的是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．①②③④3．下列四个命题中，假命题是（

）A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C．四条边都相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形4．已知四边形ABCD为矩形，下列条件中，不能判定四边形ABCD为正方形的是（

）A．∠ABD=∠CBD B．∠A+C．AB=BC D．AC题型二根据菱形、矩形、正方形的性质求长度、角度面积等问题【例2】矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADO=75°，那么的度数是（）

A．30° B．55° C．60° D．75°巩固训练：1．已知菱形的对角线的长分别是6和8，则这个菱形的面积是；2．矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠COB=120°，BD=8，则AB的长为（）A．4 B．43 C．3 3．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=4，，则AC=．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（

）A．13 B．12 C．6 D．35．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别为AO、AD的中点，若EF=3，则OD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．66．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是．7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=16，DB=12，DH⊥AB于点，则DH的长为（

）

A．9.6 B．10 C．19.2 D．208．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，连接CE，则△DEC的周长为（

A．10 B．11 C．12 D．139．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC上的两个动点(不与顶点A、B、C重合)，在运动中始终保持AE=BF，DE与AC交于点G，当∠AFB=67.5°时，∠CGD的度数为(

A．22.5° B．45° C．60° D．67.5°题型三菱形、矩形、正方形的性质与判定【例3】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF=3，则BD的长为()A．6 B．9 C．12 D．15巩固训练：如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF的周长为

2．如图，两张宽均为3cm的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD．若测得AB=5cm，则四边形ABCD的周长为3．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，连接AE，若AB=5，则AE的长为

4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．若OE=5，AC=8，则菱形ABCD的面积为．5．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E,F是对角线AC上的两个动点，分别从A,C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为t(0≤t≤5)秒，若G,H分别是AB,DC的中点，且t≠2.5，当E,G,F,H为顶点的四边形为矩形时，t6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且对角线交于点O，连接OC．若AC=3,OC=32，则另一条直角边BC7．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，若AP=5，则EF=（）A．5 B．52 C．2.5 D．8．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点（点O不与A、C两点重合），过点O作直线MN∥BC，直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．(1)OE与OF相等吗？为什么？(2)探究：当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．(3)在（2）中当∠ACB等于多少时，四边形为正方形（不要求说理由）题型四特殊平行四边形的解答证明题【例4】．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上的两点，且BM=DN，AC=2OM．(1)求证：四边形AMCN是矩形；(2)若∠BAD=135°，CD=2，AB⊥AC，求四边形ABCD的面积．巩固训练：1．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长．2．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．4．如图，矩形ABCD和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.（1）求证：AF=HG；（2）求证：∠FAE=题型五特殊平行四边形与坐标系【例5】．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则点C的坐标为（

）A．（3，4） B．（4，3） C．（2，3） D．（2，4）巩固训练：1．如图，平面直角坐标系中，已知点A9,9，点B、C分别在y轴、x轴上，AB⊥AC且AB=AC，若B点坐标为，则OC=（用含a的代数式表示）．2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝12cm，AD＝36cm，BC＝40cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度向点D运动；点Q

A．当t=9时，PQ∥DC B．当时，PQ⊥C．当t=9或11.5时， D．当时，四边形ABQP的最大面积为384cm3．如图，菱形ABDC的顶点A(1，1)，B(3，1)，∠BAC=60°，规定把菱形ABDC“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位长度”为1次变换，如果这样连续经过2022次变换后，顶点C对应的坐标为．4．如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C→A→D运动至终点D．设点P的运动路程为x，△BCP的面积为y，若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为．5．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为26，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC=60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA'B'C'(点A'

A．36,32 B．32,366．如果点A的坐标为xA,yA，点B的坐标为xB,yB，则线段AB中点坐标为．这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为10，2，四边形ABDE是菱形，D的坐标为16，10．若直线l把矩形OABC

A．y=2x+11 B．y=-2x+12C．y=53x−7．如图，直线y=−12x+2与x轴交于A，与y轴交于B，点P在经过点B的直线y=13x+b上，当题型六特殊平行四边形与方程【例6】．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1cm/s．连接PQ，AQ，CP．设点P，Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．巩固训练：1．如图，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是题型七最值、动点问题【例7】．如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,BC=10,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F，则EF的最小值为（

）

A．65 B．125 C．245巩固训练：1．如图，矩形▱ABCD的面积为12，AC=BD=6，AC与BD交于点O．分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（

）

A．1 B．32 C．322．如图，正方形ABCD的边长为2，E,F分别是AD,AB边上一点，且AE=BF，连接BE,CF交于点P，则线段DP的最小值为

3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘,AB=6,AC=8，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，于F，M为

A．125≤AM<4 B．6≤AM<8 C．245题型八特殊平行四边形动态问题【例8】．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，点D为BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，将△EDB沿DE翻折，得到△DEP，连接PC，PB，PA，若DP经过AC的中点F，且PC＝2，则△AFP的面积是．巩固训练：1．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB＝6，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为．2．在矩形ABCD中，AB=5，P是边BC上的一个动点，将△ABP沿直线AP翻折，点B的对应点为E，直线PE与直线AD交于点F．

(1)如图①，点F在AD的延长线上时，判断与PF的数量关系，并证明；(2)当点E到直线AD的距离等于3时（边BC足够长），求BP的长；(3)若BC=10，当点P、E、D在同一条直线上（如图②）时，点P开始向点C运动，到C重合时停止，运动过程中，CE的最小值为___________，点F运动的路程是___________．

第1章特殊平行四边形（题型突破）重要题型题型一菱形、矩形、正方形的性质与判定的有关概念【例1】下列选项中，矩形一定具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角【答案】A【分析】根据矩形的对角线相等的性质即可作出判断.【解析】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，故选项A符合题意，而选项B、C、D中的性质是菱形所具有的；故选：A.【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，熟知矩形对角线相等的性质是解题关键.巩固训练：1．下列性质中，菱形不一定具备的性质是（）A．四边相等 B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对边平行【答案】B【分析】根据菱形的性质逐项判断即可．【解析】菱形的四边相等，对角线互相垂直，不一定相等，对边相等且平行，所以不一定具备的性质是对角线相等．故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，理解菱形的性质是解题的关键．2．下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，对角线一定相等的是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．①②③④【答案】C【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对各小题分析判断后即可得解．【解析】解：①平行四边形的对角线不一定相等，②矩形的对角线一定相等，③菱形的对角线不一定相等，④正方形的对角线一定相等，所以，对角线一定相等的是②④．故选：C．【点睛】本题考查了正方形，平行四边形，菱形，矩形的对角线的性质，熟记各性质是解题的关键．3．下列四个命题中，假命题是（

）A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C．四条边都相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形【答案】D【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项分析即可．【解析】A．有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，故不符合题意；B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，是真命题，故不符合题意；C．四条边都相等的四边形是菱形，是真命题，故不符合题意；D．对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题，故符合题意；故选：D．【点睛】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．4．已知四边形ABCD为矩形，下列条件中，不能判定四边形ABCD为正方形的是（

）A．∠ABD=∠CBD B．∠A+C．AB=BC D．AC【答案】B【分析】根据正方形的定义逐项判定即可．【解析】如下图，

对于选项A，由矩形的对边平行，可得内错角相等，即∠ABD=∵∠ABD=∴∠CDB=则BC=CD（等角对等边）．所以，四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．故A选项说法正确，但不符合题意；对于选项B，对角互补是矩形本身就具有的条件，相当于没有增加判定正方形的条件，故不能判定四边形ABCD为正方形．故B选项说法错误，符合题意．对于选项C，因AB=BC，四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．故选项C说法正确，但不符合题意；对于选项D，因矩形的对角线互相平分，∴O为AC的中点，又AC⊥∴△OAB≌△则AB=BC，所以，四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．故选项D说法正确，但不符合题意；故答案为：B．【点睛】本题涉及矩形的性质及正方形的判定等相关知识点，解题的关键是对正方形的定义有准确的判断．题型二根据菱形、矩形、正方形的性质求长度、角度面积等问题【例2】矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADO=75°，那么的度数是（）

A．30° B．55° C．60° D．75°【答案】A【分析】根据矩形的性质证得OA=OD，根据三角形的内角和定理即可解决问题．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴，OD=12BD，∴OA=OD，∵∠ADO=75°∴∠DAO=75°∴∠AOD=180°−75°−75°=30°故选：A．【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，掌握矩形的性质是解题的关键．巩固训练：1．已知菱形的对角线的长分别是6和8，则这个菱形的面积是；【答案】24【分析】根据菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半进行求解即可．【解析】解：∵菱形的对角线的长分别是6和8，∴这个菱形的面积是12故答案为：24【点睛】此题考查了菱形，熟练掌握菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解题的关键．2．矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠COB=120°，BD=8，则AB的长为（）A．4 B．43 C．3 【答案】A【分析】先由矩形的性质得出OA=OB，结合题意证明△AOB【解析】解：如图，

∵四边形ABCD是矩形，且BD=8，∴OA=OB=OC=OD=∵∠∴∠AOB=60°∴△∴OA=AB=4．故选：A．【点睛】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质及等边三角形的判定，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键．3．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=4，，则AC=．【答案】2【分析】由菱形的性质可得、OB=12BD,OA=12AC、AC⊥BD，再根据可得BD=6，即OD=3；再运用勾股定理可得【解析】解：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O∴,OB=12BD,OA=∵∴BD=6，则OD=∴OA=∴AC=2OA=27故答案为27【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用菱形的性质是解答本题的关键．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（

）A．13 B．12 C．6 D．3【答案】A【分析】由勾股定理求出AB2，再由正方形的面积公式即可得到答案．【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，∴AB2＝AC2+BC2＝32+22＝13，∴正方形的面积＝AB2＝13，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的面积计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别为AO、AD的中点，若EF=3，则OD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】由题意可得，EF是△AOD【解析】解：∵E、F分别为AO、AD的中点，∴EF是△AOD∴EF=12OD∵EF=3∴OD=6故选：D．【点睛】本题考查了三角形中位线的定义与性质，掌握三角形的中位线性质定理是解题的关键．6．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是．【答案】22.5°/22.5度【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC．【解析】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，∴∠BAC=45°，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=67.5°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∴∠EBC=22.5°，故答案为：22.5°．【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数．7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=16，DB=12，DH⊥AB于点，则DH的长为（

）

A．9.6 B．10 C．19.2 D．20【答案】A【分析】根据菱形对角线互相垂直且平分利用勾股定理求出菱形边长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半或等于边长乘以边上的高求解即可．【解析】解：∵AC⊥BD，AO=CO=12AC=8∴AB=∵DH∴S∴1∴DH=9.6故选：A．【点睛】本题考查了菱形的面积和勾股定理，掌握菱形面积公式和菱形的性质是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，连接CE，则△DEC的周长为（

A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【分析】根据矩形的性质得出CD=AB，AD=BC，AO=CO，再根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，进而得出△DEC的周长=CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD，可得答案．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，AD=BC=6，AO=CO．∵EF⊥∴AE=CE，∴△DEC的周长=CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=4+6=10．故选：A．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质等，弄清各线段之间的数量关系是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC上的两个动点(不与顶点A、B、C重合)，在运动中始终保持AE=BF，DE与AC交于点G，当∠AFB=67.5°时，∠CGD的度数为(

A．22.5° B．45° C．60° D．67.5°【答案】D【分析】根据正方形的性质结合已知条件证明△EAD≌△FBA，根据全等三角形的性质得出∠AED=∠AFB，进而得出∠GDC=【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BA，∠EAD=∠FBA=90°，∠ACD=45°又∵AE=BF，∴△∴∠∴当∠AFB=67.5°时，∠AED=67.5°∵AB∴∠在△GCD中，∠CGD=180°−故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．题型三菱形、矩形、正方形的性质与判定【例3】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF=3，则BD的长为()A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【分析】由题意可得EF是△OAB的中位线,由此推出OB,根据平行四边形的性质即可得出BD的长．【解析】∵点E,F分别是AB,AO的中点,连接EF,EF=3,∴EF是△OAB的中位线,则OB=2EF=6．∵在▱ABCD中,∴BD=2OB=12．故选：C．【点睛】本题考查中位线的性质、平行四边形的性质,关键在于熟练掌握基础知识并灵活使用．巩固训练：1．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF的周长为

【答案】16【分析】由角平分线的定义，可得，进而可得AE=ED，由平行四边形的性质可得答案．【解析】解：∵DE∥AC，DF∥∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=，，∴EA=ED∴平行四边形AEDF是菱形．∴四边形AEDF周长为4AE=16cm故答案为：16．【点睛】本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．2．如图，两张宽均为3cm的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD．若测得AB=5cm，则四边形ABCD的周长为【答案】20【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O，首先根据题意证明出四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的性质求解即可．【解析】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．由题意知：AD∥BC，AB∥∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR=AS，∵AR⋅∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=5cm∴四边形ABCDD的周长为20cm故答案为：20．【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，解题的关键是掌握菱形的性质和判定．3．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，连接AE，若AB=5，则AE的长为

【答案】85【分析】四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，AB=5，如图所示，过点E作EH⊥AD于，交BC于Q，AE与BC交于点P，可证△BCG≌△QEC(SAS)，【解析】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，AB=5∴BG=AG=1∴在Rt△BCG中，如图所示，过点E作EH⊥AD于，交BC于Q，AE与BC交于点P，

∵四边形CEFG为正方形，∴CE=CG，∵∠1+∴∠1=在△BCG,∠1=∴△BCG∴EQ=BC=5，CQ=GB=52，即Q同理，可证△EQP∴QP=BP=12∴在Rt△AP=A∴AE=2AP=2×85故答案为：852【点睛】本题主要考查正方形与直角三角形勾股定理的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．若OE=5，AC=8，则菱形ABCD的面积为．【答案】24【分析】由菱形性质结合平行条件可证AOBE是矩形，得AB=OE，由勾股定理求出OB，进而根据对角线求菱形面积．【解析】解：菱形ABCD中，OA=12∵BE∥AC，AE∴四边形AOBE是矩形∴Rt△OAB∴BD=2OB=6∴菱形ABCD的面积为=故答案为：24．【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．5．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E,F是对角线AC上的两个动点，分别从A,C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为t(0≤t≤5)秒，若G,H分别是AB,DC的中点，且t≠2.5，当E,G,F,H为顶点的四边形为矩形时，t【答案】0.5或4.5【分析】如图所示，连接GH，当E,G,F,H为顶点的四边形为矩形时，则四边形EGFH的对角线相等，结合分类讨论即可求解．【解析】解：如图所示，连接GH，∵矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，G,H分别是∴GH=BC=8cm∵E,F是AC上的动点，速度均为2cm/s，运动时间为t(0≤t≤5)∴AE=CF=2t，当E,G,F,H为顶点的四边形为矩形时，则EF=GH=8cm∴①，解得，t=0.5；②，解得，t=4.5；综上所述，当t为0.5或4.5时，E,G,F,H为顶点的四边形为矩形，故答案为：0.5或4.5．【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的判定和性质是解题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且对角线交于点O，连接OC．若AC=3,OC=32，则另一条直角边BC【答案】5【分析】过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，可得四边形ACFM为矩形，推出AM=CF,AC=MF=3，根据正方形的性质得出∠AOB=90°,OA=OB，求出∠BOF=∠OAM，根据AAS证△AOM≌△BOF，推出AM=OF,OM=FB，得出等腰三角形三角形OCF，根据勾股定理求出CF=OF=4，求出，即可求出答案．【解析】解：过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于∵∠ACB=90°∴∠AMO=∴四边形ACFM是矩形，∴AM=CF,AC=MF=3，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°,OA=OB∴∠AOM+又∵∠AMO=90°∴∠AOM+∴∠BOF=∴△AOM∴AM=OF,OM=FB，∴OF=CF，∵∠CFO=90°∴△CFO∴OC=O∵OC=32∴CF=OF=4，∴BF=OM=OF−FM=4−3=1，∴BC=CF+BF=4+1=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，有一定的难度．7．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，若AP=5，则EF=（）A．5 B．52 C．2.5 D．【答案】A【分析】根据正方形的性质即可得到四边形是矩形，四边形QPFD是正方形，再利用矩形和正方形的性质得到AQ=FC和PQ=EC，进而得到△AQP≌△FCE，从而得到EF的长度．【解析】解：延长EP于AD交于点Q，∵在正方形ABCD中，∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，∴∠ADB=∴DF=PF，∵PE⊥∴PQ⊥∴四边形是矩形，∴∠AQP=90°，EC=PF=DF，∴∠AQP=∠C，AQ=FC，四边形QPFD是正方形，∴QD=DF=PF=QP，∴CE=QP，∴在△AQP和△FCEAQ=FC，∠∴△AQP∴AP=EF，∵AP=5，∴EF=5．故选．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．8．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点（点O不与A、C两点重合），过点O作直线MN∥BC，直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．(1)OE与OF相等吗？为什么？(2)探究：当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．(3)在（2）中当∠ACB等于多少时，四边形为正方形（不要求说理由）【答案】(1)相等，理由见详解(2)O是AC中点时，四边形是矩形，理由见详解(3)∠ACB=90°时，四边形为正方形，理由见详解【分析】（1）由CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，可得∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF，再根据MN∥BC，可得∠FEC=∠BCE，∠EFC=∠FCD，即有∠ACE=∠FEC，∠ACF=∠EFC，则有EO=OC，OC=OF，问题得解；（2）证明AC=EF，且AC、EF互相平分，即可判断四边形是矩形，据此作答即可；（3）根据对角线相互垂直的矩形是正方形作答即可．【解析】（1）EO=OF，理由如下：∵根据题意，有CE平分∠ACB，CF平分∠ACD∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∵MN∥∴∠FEC=∠BCE，∠EFC=∴∠ACE=∠FEC，∠ACF=∴EO=OC，OC=OF，∴EO=OC=OF；（2）O是AC中点时，四边形是矩形，理由如下：在（1）已证明EO=OC=OF，∵O是AC中点，∴AO=OC，∴EO=OC=OF=AO，∴AC=EF，且AC、EF互相平分，∴四边形是矩形；（3）当∠ACB=90°时，四边形为正方形，理由如下：在（2）中已证明四边形是矩形，∵∠ACB=90°∴AC⊥∵MN∥∴AC⊥∴AC⊥∴矩形是正方形．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，矩形的判定，正方形的判定等知识，掌握平行线的性质是解答本题的关键．题型四特殊平行四边形的解答证明题【例4】．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上的两点，且BM=DN，AC=2OM．(1)求证：四边形AMCN是矩形；(2)若∠BAD=135°，CD=2，AB⊥AC，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)四边形ABCD的面积为4【分析】（1）先证明OA=OC，OB=OD，再证明OM=ON，证明四边形AMCN是平行四边形，再证明MN=AC，从而可得结论；（2）证明∠ABC＋∠BAD=180°，∠ABC=45°【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，∴OB−BM=OD−DN，即OM=ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∴MN=2OM，∵AC=2OM，∴MN=AC，∴四边形AMCN是矩形（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=2，AD∥∴∠ABC＋∵∠BAD=135°，∴∠ABC∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB=2，∴四边形ABCD的面积为AB×AC=2×2=4．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练的运用矩形的判定定理解决问题是关键．巩固训练：1．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案；（2）首先利用去等三角形的性质得出CE，CF的长，再利用勾股定理得出答案．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，AD=AB在△ADE和△ABF中，AD=AB∠∴△ADE≌△ABF（SAS）；（2）解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6，∴BF＝DE＝6，∵BC＝DC＝8，∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14，在Rt△FCE中，EF＝＝＝102．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确应用正方形的性质是解题关键．2．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】见解析【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．【解析】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，AB=CB∠∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°∴PM=MD，∴四边形MPND是正方形．3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．【答案】（1）见解析；（2）50【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝10，∴AO＝12AC＝5，AB＝10，BO＝5，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝12×10×10＝50，故答案为：50．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．4．如图，矩形ABCD和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.（1）求证：AF=HG；（2）求证：∠FAE=【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）根据题意可先证明四边形AHCE为平行四边形，再根据正方形的性质得到∴AH=FG，AH//FG，故可证明四边形AHGF是平行四边形，即可求解；（2）根据四边形AHGF是平行四边形，得∠FAH+∠AHG=180°，根据四边形ABCD是矩形，可得∠DAH=【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，且E、H分别为AD、BC的中点，∴AE=HC，AE//HC，∴四边形AHCE为平行四边形，∴AH=EC，AH//EC，又∵四边形ECGF为正方形，∴EC=FG，EC//FG，∴AH=FG，AH//FG，∴四边形AHGF是平行四边形，∴AH=FG；（2）证明：∵四边形AHGF是平行四边形，∴∠FAH+∵四边形ABCD是矩形，∴，∴∠DAH=又∵∠AHB+∴∠FAD=【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知特殊平行四边形的性质定理.题型五特殊平行四边形与坐标系【例5】．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则点C的坐标为（

）A．（3，4） B．（4，3） C．（2，3） D．（2，4）【答案】A【分析】先由四边形OABC是菱形得到OC=OA=AB=BC，BC∥OA，然后过点B作BD⊥OA设可表示出OA、AD，利用勾股定理即可求得BC的长，则可得C点的坐标．【解析】解：过点B作BD⊥OA于∵四边形OABC是菱形，∴OC=OA=AB=BC，BC∥设，则OA=x，，在Rt△ABD中AB即，解得x=5，∴BC=5∴C点的坐标为(3，4).故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．巩固训练：1．如图，平面直角坐标系中，已知点A9,9，点B、C分别在y轴、x轴上，AB⊥AC且AB=AC，若B点坐标为，则OC=（用含【答案】18-a．【分析】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，构造正方形AEOD，再证△AEB≌△ADC（SAS），得BE=CD，由EB=EO-BO=9-a，可求CD=9-a，求出OC=OD+CD=9+9-a=18-a即可．【解析】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，∵点A9,9AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，四边形AEOD为正方形，∵AB⊥AC，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AE=AD，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE=CD，∵EB=EO-BO=9-a，∴CD=9-a，OC=OD+CD=9+9-a=18-a，故答案为：18-a．【点睛】本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝12cm，AD＝36cm，BC＝40cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度向点

A．当t=9时，PQ∥DC B．当时，C．当t=9或11.5时， D．当时，四边形ABQP的最大面积为384cm【答案】C【分析】根据点P、点Q的速度及AD、BC的长，分别用t表示出AP、PD、CQ、BQ的长，根据t值，利用平行四边形及矩形的判定定理可判断A、B选项正确，利用A选项的结论、矩形的性质及勾股定理可判断C选项错误，根据梯形的面积公式及一次函数的性质可判断D选项正确，即可得答案．【解析】∵点P的速度为3cm/s，点Q的速度为1cm∴AP=3t，PD=36−3t，CQ=t，BQ=40−t，当t=9时，PD=36−3t=9，CQ=t=9，∴PD=CQ，∵AD∥BC，即∴四边形是平行四边形，∴PQ∥DC，故如图，过点D作DH⊥BC于

∵AD∥BC，∴∠A=∴四边形ABHD是矩形，∴HD=AB=12，BH=AD=36，∴CH=BC−BH=4，∴CD=C当时，PD=36−3t=6，CQ=t=10，∴QH=CQ−CH=6，∴PD=QH，∴四边形PQHD是平行四边形，∵DH⊥∴四边形PQHD是矩形，∴PQ⊥BC，故由A选项可知：当t=9时，四边形是平行四边形，∴PQ∥如图，当t=11.5时，过点P作PE⊥BC于

∴PD=36−3t=1.5，CQ=t=11.5，∵∠DHB=∴四边形PEHD是矩形，∴PE=DH=12，PD=EH=1.5，∴EQ=CQ−EH−CH=6，∴PQ=E∴PQ≠CD，故C选项错误，符合题意，∵AP=3t，BQ=40−t，∴S四边形ABQP36÷3=12，40÷1=40，∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，∴0≤t≤12，∵12>0，∴S随t的增大而增大，∴当时，四边形ABQP的面积最大，最大面积为384cm2，故故选：C．【点睛】本题考查四边形中的动点问题、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及一次函数的性质，正确表示出各线段的长，熟练掌握平行四边形、矩形的判定定理及一次函数的性质是解题关键．3．如图，菱形ABDC的顶点A(1，1)，B(3，1)，∠BAC=60°，规定把菱形ABDC“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位长度”为1次变换，如果这样连续经过2022次变换后，顶点C对应的坐标为．【答案】2，【分析】据轴对称判断出点C变换后在y轴的右侧，根据平移的距离求出点C变换后的纵坐标，最后写出即可．【解析】解：∵四边形ABDC是菱形，∴AB=AC．∵，∴△ABC∵A1，1，B∴AB=3−1=2，∴点C到y轴的距离为1+2×12=2，点C到AB∴C2,第2022次变换后的三角形在y轴右侧，此时，点C的横坐标为2，纵坐标为：，所以，点C对应的坐标是2，3故答案为：2，3【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2022次这样的变换得到三角形在y轴右侧是解题的关键．4．如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C→A→D运动至终点D．设点P的运动路程为x，△BCP的面积为y，若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为．【答案】22【分析】由图象上点（12，48）知CA＝12，且点P在点A时，△BCP的面积为48，连接BD交AC于点M，则可求出BM和BD，利用勾股定理求出AD，得到a．【解析】解：如图1，连接BD交AC于点M，由图2知，AC＝12，且CP＝12时，△BCP的面积为48，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，且AM＝6，BM＝MD，∴12∴BM＝8，∴DM＝8，∴AD＝10，∴a＝CA＋AD＝12＋10＝22.故答案为：22．【点睛】本题考查了三角形的面积公式、菱形的对角线互相垂直平分的性质、勾股定理和函数图象，要求学生学会由函数图象找出对应的信息，理解（12，48）的几何意义时关键．5．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为26，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC=60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA'B'C'(点A'

A．36,32 B．32,36【答案】B【分析】延长交x轴于点D，根据旋转的性质以及已知条件得出∠B'DO=90°，进而求得【解析】解：如图所示，延长交x轴于点D，

∵四边形ABCD是菱形，点B在x轴的正半轴上，OB平分∠AOC，∠AOC=60°∴∠COB=∠AOB=30°，∠∵将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，∴∠C'OC=60°，则∴∠∴∠B在Rt△CDO∴CD=12∴DB∴B'故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．6．如果点A的坐标为xA,yA，点B的坐标为xB,yB，则线段AB中点坐标为．这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为10，2，四边形ABDE是菱形，D的坐标为16，10．若直线l把矩形OABC

A．y=2x+11 B．y=-2x+12C．y=53x−【答案】C【分析】先求得点A的坐标为0，2，再求得线段OB和AD中点坐标，然后根据直线l把矩形OABC和菱形ABDE组成的图形的面积分成相等的两部分可知两中点在直线l上，然后运用待定系数法即可解答．【解析】解：如图：∵矩形OABC的顶点B的坐标为10，2，∴点A的坐标为0，2，∴线段OB中点坐标为0+102，0+22，即5，1；线段AD中点坐标为∵直线l把矩形OABC和菱形ABDE组成的图形的面积分成相等的两部分，∴直线l过点5，1，8，6,设直线l的解析式为，则1=5k+b6=8k+b，解得：k=∴直线l的解析式为y=5故选C．

【点睛】本题主要考查了中点的定义、菱形和矩形的性质、待定系数法求函数解析式等知识点，理解把矩形OABC和菱形ABDE组成的图形的面积分成相等的两部分的直线必过它们对角线的交点是解答本题的关键．7．如图，直线y=−12x+2与x轴交于A，与y轴交于B，点P在经过点B的直线y=13x+b上，当【答案】（6，4）或（3，3）/（3，3）或（6，4）【分析】先求出点A和点B的坐标，用待定系数法求出b，根据△PAB是等腰直角三角形且∠PBA≠90°，所以分∠BAP'=90°、∠BPA=90°两种情况分别求点P的坐标，即可求解．【解析】对于y=−12x+2，令x令y=0，则，解得：x=4，∴点A（4，0），B（0，2），∴OB=2，OA=4，把点B（0，2）代入y=13x+b∴直线PB的解析式为y=1根据题意得：∠PBA≠90°，①当∠BAP′=90°且AB=AP′，过A作AP′⊥AB，垂足为A，过P′作P′H′⊥轴，∴∠AOB=∠P′H′A=90°，∠OAB+∠P′AH′=90°，∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBA=∠P′AH′，又AB=AP′，∴△AOB≌△P′AH′（AAS），∴AH′=0B=2，P′H′=0A=4，∴OH′=OA+AH′=6，∴P′（6，4），把x=6代入y=13x+2∴点P′在直线y=1②当∠BPA=90°且BP=AP，过A作AP⊥BP于点P，过P作PH⊥y轴，过P作PQ⊥x轴，∴∠PHO=∠PQO=∠HOQ=90°，∴四边形OHPQ为矩形，∴PH=0Q，PQ=OH，∠HPB+∠BPQ=90°，∵∠APQ+∠BPQ=90°，∴∠HPB=∠APQ，又∵BP=AP，∴△HBP≌△QAP（AAS），∴HP=PQ，HB=QA，∴四边形OHPQ为正方形，∵OH+OQ=（OB+HB）+OQ=OB+AQ+OQ=OB+（AQ+OQ）=OB+OA=4+2=6，∴PH=PQ=3，∴P（3，3），把x=3代入y=13x+2∴点P在直线y=1综上所述，点P的坐标为（6，4）或（3，3）．故答案为：（6，4）或（3，3）【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数及图像上的点的坐标，其中根据等腰直角三角形的直角分为两种可能，再通过添加辅助线构造全等三角形，是求得点P坐标的关键．题型六特殊平行四边形与方程【例6】．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1cm/s．连接PQ，AQ，CP．设点P，Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【答案】(1)当t=8时，四边形ABQP是矩形(2)当t=6时，四边形AQCP是菱形(3)菱形AQCP周长为40cm；菱形AQCP面积为80cm2【分析】（1）根据矩形的性质和判定定理列出一元一次方程并求解即可．（2）根据勾股定理求出AQ的长度，根据菱形的判定定理列出方程并求解即可．（3）根据（2）中结果求出CQ的长度，再根据菱形的周长公式和面积公式求解即可．【解析】（1）解：根据矩形的判定定理确定当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形．∵点P，Q的速度都是1cm/s，点P，Q运动的时间为ts∴BQ=tcm，PD=t∵矩形ABCD中，BC=16cm∴AD=BC=16cm∴AP=AD−PD=16−t∴t=16-t．∴t=8．∴当t=8时，四边形ABQP是矩形．（2）解：根据菱形的判定定理确定当AQ=CQ时，四边形AQCP是菱形．∵矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，∴AQ=AB2∴64+t解得t=6．∴当t=6时，四边形AQCP是菱形．（3）解：∵t=6，∴CQ=10cm∴C菱形AQCP=4CQ=40cm【点睛】本题考查矩形的判定定理和性质，勾股定理，菱形的判定定理，菱形的周长公式和面积公式，熟练掌握这些知识点是解题关键．巩固训练：1．如图，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是【答案】258【分析】△ADE是等腰三角形，所以可以分3种情况讨论：①当AD＝AE时，△ADE是等腰三角形．作AM⊥BC，垂足为M，利用勾股定理列方程可得结论；②当AD＝DE时，四边形ABED是菱形，可得m＝5；③当AE＝DE时，此时C与E重合，m＝8．【解析】解：分3种情况讨论：①当AD＝AE时，如图1，过A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC＝5，BM＝12BC∴AM＝3，由平移性质可得AD＝BE＝m，∴AE＝m，EM＝4−m，在Rt△AEM中，由勾股定理得：AE2＝AM2＋EM2，∴m2＝32＋（4−m）2，m＝258②当DE＝AD时，如图2，由平移的性质得AB∥DE，∴四边形ABED是菱形，∴AD＝BE＝ED＝AB＝5，即m＝5；③当AC＝DE时，如图3，此时C与E重合，m＝8；综上所述：当m＝258或5或8时，△ADE故答案为：258【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平移的性质，解题的关键是分三种情况求出BE的长；本题属于基础题，难度不大，但在解决该题时，部分同学会落掉两种情况，故在解决该题型题目时，全面考虑等腰三角形的三种情况是关键．题型七最值、动点问题【例7】．如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,BC=10,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F，则EF的最小值为（

）

A．65 B．125 C．245【答案】C【分析】连接AP，勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，且∠A=90°，进而得出四边形AEPF是矩形，则AE=AP，然后根据等面积法即可求解．【解析】解：连接AP，如图所示，

∵AB=8,AC=6,BC=10∴AB∴AB2+AC∵PE⊥AB∴四边形AEPF是矩形，∴AE=AP，当AP时，AP取得最小值，即EF取得最小值，∴EF=AP=故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键．巩固训练：如图，矩形▱ABCD的面积为12，AC=BD=6，AC与BD交于点O．分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（

）

A．1 B．32 C．32【答案】A【分析】先证明OC=OD，四边形OCFD是菱形，如图，连接OF，，而点G是CD的中点，可得G为菱形对角线的交点，OF⊥CD，当GP⊥CF时，最小，再利用等面积法求解最小值即可．【解析】解：∵▱ABCD，AC=BD=6，∴▱ABCD∴OC=OD，∵OC∥DF，DO∥∴四边形OCFD是菱形，如图，连接OF，，而点G是CD的中点，

∴G为菱形对角线的交点，OF⊥∴当GP⊥CF时，∵▱ABCD即矩形ABCD的面积为12，AC=BD=6，∴OC=OD=3，S△∴S菱形OCFD∴S△由菱形的性质可得：CF=3，∴12∴GP=1，即的最小值为1．故选A【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．2．如图，正方形ABCD的边长为2，E,F分别是AD,AB边上一点，且AE=BF，连接BE,CF交于点P，则线段DP的最小值为

【答案】2或5【分析】如图所示，线段DP中，点P运动的路径是以BC中点为圆心，12BC为半径的半圆，分类讨论，①当E、F在线段AD、AB上时；②当E、F在线段【解析】解：如图所示，线段DP中，点P运动的路径是以BC中点为圆心，12①当E、F在线段AD、AB上时，如图所示，

∴当BE⊥CF时，DP的值最小，∵正方形ABCD的边长为2，∴如图所示，

由此，对角线的长为AC=BD=2∴DP=1②当E、F在线段AD、AB延长线上时，如图所示，

∴当BE⊥CF时，即点O,P,D在一条直线，DP的值最小，如图所示，连接OP，

∵BE⊥∴∠BPC=90°∵OB=OP=OC=12BC=∴在Rt△OCD中，∴DP=OD−OP=5综上所示，DP的最小为2或5−1故答案为：2或5−13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘,AB=6,AC=8，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，于F，M为

A．125≤AM<4 B．6≤AM<8 C．245【答案】A【分析】证明四边形AEPF是矩形，得EF=AP，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后求出PA的最小值可得AM的最小值，又由PA<AC，即可求得AM的取值范围．【解析】解：如图，连接PA，

在Rt△ABC中，∴BC=A∵PE⊥AB于E，于F∴∠PEA=∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP，∵M为EF中点，∴，当PA⊥CB时，PA=AB×AC∴此时AM有最小值，∵PA<8，∴AM<4，∴125故选：A．【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、垂线段最短等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．题型八特殊平行四边形动态问题【例8】．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，点D为BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，将△EDB沿DE翻折，得到△DEP，连接PC，PB，PA，若DP经过AC的中点F，且PC＝2，则△AFP的面积是．【答案】265【分析】过点D作DM⊥AB于点M，设ED与BP交于点O，可得四边形BDPE为平行四边形，而BD＝DP，故平行四边形BDPE为菱形，即得EP＝BD＝BE＝CD＝5，BP⊥ED，又四边形EPCD为平行四边形，推出ED＝PC＝2，证明四边形EDPG是平行四边形，可得PF是△ACG中位线，从而PF=12AG＝1，在Rt△BOE中，BO＝26，即知S△BDE=12DE•BO＝26=12BE•DM，推出DM=【解析】解：过点D作DM⊥AB于点M，设ED与BP交于点O，∵点D是BC边的中点，点F是AC的中点，∴DP∥BE，∴∠EBD＝∠PDC，又∵∠EPD＝∠EBD，∴∠EPD＝∠PDC，∴EP∥BD，∴四边形BDPE为平行四边形，

又∵BD＝DP，∴平行四边形BDPE为菱形，∴EP＝BD＝BE＝DP＝CD＝5，BP⊥ED，∴四边形EPCD为平行四边形，∴ED＝PC＝2，ED∥CP，∵DP∥BE，即DP∥EG，∴四边形EDPG是平行四边形，∴EG＝DP＝5，PG＝ED＝2，∴PG＝CP，∴PF是△ACG中位线，

∵AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3，∴AG＝EG﹣AE＝5﹣3＝2，∴PF=12在Rt△