21.4 圆周角 同步练习

第二十一章圆(上)二圆的性质21.4圆周角基础过关全练知识点1圆周角的概念1.下列选项中，∠1是圆周角的是()A B C D知识点2圆周角定理2.(2023北京大兴期末)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为0°，50°，则∠ACB的度数是()A.25° B.30° C.40° D.50°[变式]如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度为50°，则∠BCD的度数为.

3.(2022浙江温州中考)如图，AB，AC是☉O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OB，OC.若∠DOE=130°，则∠BOC的度数为()A.95° B.100° C.105° D.130°知识点3圆周角定理的推论4.(2023北京西城期末)如图，在☉O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=45°，∠APD=80°，则∠B的大小是()A.35° B.45° C.60° D.70°5.(2022湖南株洲中考)如图所示，等边△ABC的顶点A在☉O上，边AB、AC与☉O分别交于点D、E，点F是劣弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为()A.115° B.118° C.120° D.125°6.(2023吉林长春外国语实验学校期末)如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则cos∠BCD的值为()A.34 B.35 C.437.(2022山东日照中考)一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺按如图所示的方式进行测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为.

8.如图，△ABC内接于☉O，AH⊥BC于点H，若AC=10，AH=8，☉O的半径为7，则AB=.

9.(2018北京中考)如图，点A，B，C，D在☉O上，CB=CD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．能力提升全练10.(2023北京人大附中朝阳分校月考)已知A、B、C是☉O上的三个点，且∠AOB=60°，那么∠ACB的度数是()A.30° B.120° C.30°或120° D.30°或150°11.(2023北京昌平期末)如图，AB是☉O的直径，AB=10，C，D是圆上的点，AC=6，AD=BC，点E是劣弧BD上的一点(不与B，D重合)，则AE的长可能为()A.7 B.8 C.9 D.1012.(2022辽宁营口中考)如图，点A，B，C，D在☉O上，AC⊥BC，AC=4，∠ADC=30°，则BC的长为()A.43 B.8 C.42 D.413.(2022北京西城铁路二中期中)如图，☉O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E.若∠B=60°，CD=6，则AC的长为.

14.(2023北京首师大附中期中)如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD.请写出图中任意一组互补的角为(不添加辅助线，不添加数字角标和字母).

15.(2021北京中考)如图，☉O是△ABC的外接圆，AD是☉O的直径，AD⊥BC于点E.(1)求证：∠BAD=∠CAD；(2)连接BO并延长，交AC于点F，交☉O于点G，连接GC.若☉O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长.素养探究全练16.(2022贵州六盘水中考)牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图所示的是月亮洞的截面示意图.(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长(结果精确到0.1m)；(2)若∠COD=162°，点M在CD上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶CD上巡视时总能看清洞口CD的情况.

第二十一章圆(上)二圆的性质21.4圆周角答案全解全析基础过关全练1.C圆周角的特征：(1)角的顶点在圆周上；(2)角的两边与圆相交.只有C选项符合题意.2.A如图，设量角器所在圆的圆心为O，连接OA，OB.由题意得，∠AOB=50°-0°=50°，∴∠ACB=12∠AOB=25°，故选A[变式]答案65°解析设量角器所在圆的圆心为O，连接DO，CO(图略)，∵斜边AB与量角器的直径重合，∴O为AB的中点，∴OA=OB=OC，∴点C在以AB为直径的圆上，由圆周角定理可知，∠ACD=12∠AOD=12×50°=25°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=653.B∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODA=∠OEA=90°，∵∠DOE=130°，∴∠BAC=360°-∠ODA-∠OEA-∠DOE=360°-90°-90°-130°=50°，∴∠BOC=2∠BAC=2×50°=100°，故选B.4.A∵∠A=∠D=45°，∠APD=∠B+∠D，∴∠B=∠APD-∠D=80°-45°=35°，故选A.5.C由题意得四边形EFDA是圆内接四边形，∴∠EFD+∠A=180°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠EFD=120°，故选C.6.D连接AD，BD(图略)，∵AB是圆的直径，∴∠ADB=90°，∴AB=AD2+BD2=42+32=5，∴cos∠BAD∴cos∠BCD=cos∠BAD=45.故选D7.答案132解析如图，连接AC，由题意得∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得AC=AB2+BC2=1228.答案56解析如图，连接AO并延长，交☉O于D，连接BD，则AD为直径，∴∠ABD=90°，又AH⊥BC，∴∠ABD=∠AHC，由圆周角定理的推论得，∠D=∠C，∴△ABD∽△AHC，∴ABAH=ADAC，即AB8=1410，解得9.答案70°解析∵CB=CD，∠CAD=30°，∴∠CAB=∠CAD=30°，∠DBC=∠CAD=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ADB=∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-(50°+30°)=70°.能力提升全练10.D如图1，当点C位于优弧AB上时，∵∠AOB和∠ACB分别是AB所对的圆心角和圆周角，∴∠AOB=2∠ACB，∵∠AOB=60°，∴∠ACB=30°.如图2，当点C位于劣弧AB上时，在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，则∠ADB=12∠AOB=60°，∵∠ADB+∠ACB=180°，∴∠ACB=150°综上所述，∠ACB的度数是30°或150°.故选D.图1图211.C连接BC，AD，AE(图略)，∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=10，AC=6，∴BC=AB2−AC2=102∴AD=BC=8，∵点E是劣弧BD上的一点(不与B，D重合)，∴AD<AE<AB，∴8<AE<10，∴AE的长可能为9，故选C.12.A连接AB，如图所示，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°.∵∠ADC=30°，∴∠ABC=∠ADC=30°.在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACBC，∴BC=AC∵AC=4，∴BC=4tan30°=43.故选A13.答案6解析∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠B=90°-60°=30°，∵AB⊥CD，∴∠AEC=90°，CE=DE=12CD=3，∴AC=2CE=614.答案∠ADC，∠ABC(答案不唯一)解析∵点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，∴点A、B、C、D在☉O上，补全☉O如图，∴∠ADC+∠ABC=180°.(答案不唯一)15.解析(1)证明：∵AD是☉O的直径，AD⊥BC，∴BD=CD，∴∠BAD=∠CAD.(2)在Rt△BOE中，OB=5，OE=3，∴BE=OB2∵AD是☉O的直径，AD⊥BC，∴BC=2BE=8.∵BG是☉O的直径，∴∠BCG=90°，∴GC=BG2−BC2=6.∵AD⊥BC∴AE∥GC，∴△AFO∽△CFG，∴OAGC=OFFG，即56=OF5−OF，素养探究全练16.解析(1)设OA=OC=Rm，∵OA⊥CD，∴CB