福建省福州市2024−2025学年高二上学期第一次限时训练（10月）数学试卷含答案

福建省福州市2024−2025学年高二上学期第一次限时训练（10月）数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．三点在一条直线上，则k的值为（

）A． B． C． D．2．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．3．过点且垂直于直线的直线方程为（

）A． B． C． D．4．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（

）A． B．或C．或 D．或5．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP=2PN，设向量，，，则=（

）A． B．C． D．6．已知点在直线上运动.当取最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．7．如图所示，三棱锥中，，，两两垂直且长度均为1，若，，则（

）A． B． C． D．8．如图1四边形与四边形分别为正方形和等腰梯形，,沿边将四边形折起，使得平面平面，如图2，动点在线段上，分别是的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．(多选)下列四个选项中正确的是（

）A．方程与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程10．如图，正方体的棱长为a，以下结论正确的是（

）.A．B．C．存在实数，使得D．11．下列命题正确的是（

）A．若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是B．已知三点不共线，对于空间中任意一点，若，则四点共面C．已知，若与垂直，则D．已知的顶点分别为，则边上的高的长为三、填空题（本大题共3小题）12．若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是．13．是直线上的两点，，，且直线与直线成的角，则两点间的距离是．14．已知点，，若轴上存在一点，使最大，则点的坐标为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知坐标平面内三点，，.(1)求直线，，的斜率和倾斜角；(2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.16．如图，在直三棱柱中-ABC中，ABAC，AB=AC=2，=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与所成二面角的正弦值．17．如图，在正方体中，棱长为1，、分别为、的中点，求下列问题：(1)求到直线的距离；(2)求到面的距离.18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，．（Ⅰ）求证：直线平面PAC；（Ⅱ）求直线PB与平面PAD所成角的正切值；（Ⅲ）设点M在线段PC上，且二面角C-MB-A的余弦值为，求点M到底面ABCD的距离．19．如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度．

参考答案1．【答案】B【详解】依题意，即，解得.故选：B2．【答案】D【详解】由直线，可得直线的斜率，设其倾斜角为，可得，所以.故选：D.3．【答案】A【详解】解：由题意可得直线的斜率为，则过点且垂直于直线的直线斜率为，直线方程为，化为一般式为．故选：A．4．【答案】D【解析】分两种情况讨论：当直线过原点时，斜率为，由点斜式写出直线的方程；当直线不过原点时，设直线的方程是：，把点代入方程求解即可.【详解】当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是．当直线不过原点时，设直线的方程是：，把点代入方程得，所以直线的方程是.综上，所求直线的方程为或.故选：D．5．【答案】C【详解】由题意，=+=×(+)+×=,故选C.6．【答案】D【详解】设，即，故，，当时，向量数量积有最小值，此时.故选：D.7．【答案】C【详解】在三棱锥中，取空间的一个基底，则，由，得，而两两垂直，，所以.故选：C8．【答案】A【详解】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系，由题意可得，，，，，动点在线段上，则可设，，令则则当时取最大值故选：9．【答案】BC【详解】对于A，方程表示直线上去掉点所形成的两条射线，与方程表示的图形不相同，A故错误；对于B，直线过点，倾斜角为，该直线的斜率不存在，垂直于轴，其方程为，故B正确；对于C，直线过点，斜率为，则其方程为，即，故C正确；对于D，若直线垂直于轴，则直线的斜率不存在，该直线没有点斜式和斜截式方程，故D错误.故选：BC.10．【答案】BD【详解】以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标，如图所示，因为正方体的棱长为，可得对于A中，可得，所以，所以A错误；对于B中，可得，所以，所以B正确；对于C中，可得，所以向量与不是共线向量，所以不存在实数，使得，所以C错误；对于D中，由，所以D正确.故选：BD.11．【答案】BCD【详解】若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，当时，即使，也不能说明，故A错误；若，则，所以，所以四点共面，故B正确；由题意可得，若与垂直，则，解得，故C正确；由题意可得，则边上的高的长即为点到直线的距离，故D正确．故选：BCD.12．【答案】(－2,1)【详解】由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围．解：∵过点P（1-a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0，，故答案为.13．【答案】5或【详解】,,或60°或故答案为或．14．【答案】【详解】设点关于轴的对称点，则，，所以，当三点共线时，取得最大值，因为，，所以，所以直线的方程为，当，得，所以当最大时，点的坐标为，故答案为：

15．【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）解：因为，，，由斜率公式，可得，再由直线倾斜角的定义得：直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为.（2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点，即在线段上，此时的斜率由增大到，所以的取值范围为.16．【答案】（1）；（2）.【详解】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为．（2）设平面的法向量为，，，即且，令，则，是平面的一个法向量，取平面的一个法向量为，设平面与平面夹角的大小为，由，得，故平面与平面夹角的正弦值为．17．【答案】(1)(2)【详解】（1）如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，.，，则到直线的距离.（2）由（1）可得，，设为面的法向量，则，即，取，得平面的一个法向量.又，得到面的距离为.18．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)1或者【解析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正切值即可；(Ⅲ)设，由题意结合空间直角坐标系求得的值即可确定点M到底面ABCD的距离．【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可知，由线面垂直的定义可知：，且，由线面垂直的判定定理可得：直线平面；(Ⅱ)以点A为坐标原点，AD，AP方向为y轴，z轴正方向，如图所示，在平面ABCD内与AD垂直的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则：，则直线PB的方向向量，很明显平面PAD的法向量为，设直线PB与平面PAD所成角为，则，.(Ⅲ)设，且，由于，故：，据此可得：，即点M的坐标为，设平面CMB的法向量为：，则：，据此可得平面CMB的一个法向量为：，设平面MBA的法向量为：，则：，据此可得平面MBA的一个法向量为：，二面角的余弦值为，故：，整理得，解得：或.由点M的坐标易知点M到底面ABCD的距离为1或者.19．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）证明：设O为矩形对角线的中点，∴．即．∴O为三棱锥外接球的球心．又∵三棱锥外接球表面积为，∴外接球半径为2．即．过P点作，垂足为E，过点C作，垂足为F，则，，，，∴而，在中，满足∴为直角三角形，∵，，∴平面．又∵平面，∴平面平面．（2）以E为坐标原点，所在直线分别为x轴、z轴，以平面内过E且垂直于的直线为y轴，建立