逆命题与逆定理教案

19.4.1主备人：王启彤教学目标1.理解原命题、逆命题、逆定理的概念，通过比较，提高学生的辨析与表达能力；2.通过独立思考、小组合用，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识；3.积极投入，全力以赴，初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。教学重点难点重点：写出一个命题的逆命题。难点：判断逆命题的真假。教学方法教学过程一、预习案1.什么叫逆命题？2.如果一个命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？3.什么叫逆定理？二、基础知识探究探究点一逆命题与互逆命题问题1：命题由哪两部分组成？答案：命题由题设和结论组成。问题2：如果把一个命题的题设与结论互换位置，组成一个新的命题，那么新命题与原命题之间有什么关系？答案：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题；逆命题是一个命题，而互逆命题指的是两个命题之间的关系。问题3：如果一个命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？答案：原命题是真命题，它的逆命题未必是真命题，例如原命题“对顶角相等”是真命题，而它的逆命题“相等的角是对顶角”为假命题。问题4：如何判断一个命题的逆命题是假命题？答案：举反例。探究点二逆定理与互逆定理问题1：定理与命题有什么关系？答案：定理是命题，而命题不一定是定理。问题2：定理一定存在逆定理吗？答案：定理与逆定理一定是真命题；定理是一个命题，然而它的逆命题不一定正确，所以定理不一定存在逆定理。问题3：什么是互逆定理？答案：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理逆定理。归纳总结：特别注意定理、逆定理、互逆定理的联系：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。三、知识综合应用例1.写出下列命题的逆命题，指出这些逆命题的题设和结论，并判断其是真命题还是假命题：（1）两个负数之积为正数；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）有两个角互余的三角形是直角三角形；（4）如果那么.思考1：如何判断命题的题设与结论？思考2：如何根据原命题的题设与结论写出逆命题？思考3：如何说明一个逆命题是假命题？例2.写出下列定理的逆命题，并判断其能否成为原定理的逆定理：（1）等边三角形的三个内角都相等；（2）全等三角形的对应角相等。思考1：定理与逆定理一定是真命题吗？思考2：如何判断定理的逆命题能否成为原定理的逆定理？四、课堂练习1.说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；（2）等边三角形的每个角都等于60°；（3）全等三角形的对应角相等；（4）到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.2.举例说明下列命题的逆命题是假命题：（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等。五、课后作业：1.下列命题的逆命题是假命题的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.两直线平行，内错角相等C.矩形的对角线相等D.菱形的对角线互相垂直平分2.下列命题的逆命题是真命题的是（）A.若＜－2，则＞4B.全等三角形的对应角相等C.同位角相等，两直线平行D.平行四边形有一组对边互相平行3.命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是4.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）若；（2）若.5.下面的原命题与逆命题是互逆定理吗？如果不是，请说明理由.（1）“如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形”与“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边c的平方，即”；（2）“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”.19.4.2等腰三角形的判定主备人：王启彤教学目标1.理解等腰三角形的判定方法和证明过程，掌握运用“等角对等边”证明等腰三角形的方法，提高逻辑推理能力；2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，掌握分析问题和解决问题的方法；3.极度热情、全力以赴，体会数学源于实践，又服务于实践的辩证唯物主义观点。教学重点难点重点：等腰三角形的判定方法及其应用。难点：等腰三角形判定方法的证明中添加辅助线的思想方法以及等腰三角形性质与判定的区别。教学方法教学过程一、预习案1.等腰三角形性质定理的逆命题是什么？勾股定理的逆命题是什么？2.等腰三角形性质定理的逆命题可以用来证明它是一个等腰三角形吗？3.等腰三角形有几种证明方法？分别是什么？怎样证明一个三角形是直角三角形？二、基础知识探究探究点一等腰三角形的判定定理（重点）问题1：如图1，在△ABC中，AB=AC，图中必有哪些相等？为什么？答案：∠B=∠C，根据的是等腰三角形的性质定理。问题2：反过来，若∠B=∠C，一定有AB=AC吗？并证明你的结论.答案：一定。已知△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.思路分析：联想证明有关线段相等的知识知道，需先构造以AB、AC为对应边的全等三角形。因为已知∠B=∠C，没有对应边相等，所以需添加辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引出.再让学生回想等腰三角形中常添加的辅助线，学生可以作∠BAC的平分线AD交BC于D或作BC边上的高AD等，证明三角形全等，从而推出AB=AC.证明：如图2，作∠BAC的平分线AD交BC于D.在△BAD和△CAD中，因为∠B=∠C,∠1=∠2,AD=AD,所以△BAD≌△CAD(A.A.S.).所以AB=AC（全等三角形的对应边相等）.问题3：等腰三角形的判定定理是什么？答案：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（简写成“等角对等边”）问题4：还可以用其他方法判定等腰三角形吗？答案：直接利用等腰三角形的定义也可以判定等腰三角形.归纳总结：等腰三角形的判定方法有两种：（1）根据定义，即在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个三角形为等腰三角形；（2）等腰三角形的判定定理。探究点二勾股定理的定理问题1：什么是勾股定理？答案：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方.问题2：勾股定理的逆命题是什么？答案：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.问题3：如何证明该命题的正确性？答案：已知：如图3，在△ABC中，AB=c，BC=，CA=b,且.求证：△ABC是直角三角形.图1图2思路分析：首先构造直角三角形A1B1C1，使∠C1=90°，B1C1=，C1A1=b，然后可以证明△ABC≌△A1B1C1，从而可知△ABC是直角三角形.证明：如图2所示，构造直角三角形A1B1C1，使∠C1=90°，B1C1=，C1A1=b；在直角三角形A1B1C1中，由勾股定理可得B1B1=c;则在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，BC=B1C1，所以△ABC≌△A1B1C1，故有∠C=∠C1=90°，所以△ABC是直角三角形.归纳总结：（1）勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形的依据；（2）股定理通过计算判断一个三角形是否为直角三角形.三、知识综合应用例1.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，△ABD是等腰三角形吗？为什么？思考1：想判定△ABD为等腰三角形，只需要得出哪两个角相等即可？思考2：如何利用已知条件得出这两个角相等？思考3：判定三角形为等腰三角形的一般方法是什么？例2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数.思考1：分割法求角是我们常用的求角的方法，如何利用分割法求∠DAB呢？思考2：连结AC，如何说明△ACD是直角三角形？思考3：勾股定理的逆定理在证明直角三角形时应该怎么用？四、课堂练习1.如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的大小.2.三角形三边长、b、c分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？（1）=8，b=15，c=17；（2）=6，b=10，c=8；（3）=1，b=，c=2.3.给定一个三角形的两边长分别为5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？五、课后作业1.以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的有（）①6，7，8；②8，15，17；③7，24，25；④12，35，37.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一点，若∠BDC=72°，则图中等腰三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.43.在△ABC中，∠A=110°，∠C=35°，则△ABC=三角形.4.如图所示，∠ABC=∠ACB，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，求证：△DBC是等腰三角形.5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（）①∠A=∠1；②∠B=∠2=90°；③BC：AC：AB=3：4：5；④∠1=∠2A.1B.2C.3D.419.4.3角平分线主备人：王启彤教学目标1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理，并能运用这两个定理证明线段相等和角相等，提高逻辑推理能力；2.通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会数学的严密性；3.极度热情，做最佳的自己，激发学习数学的兴趣.教学重点难点重点：角平分线的性质定理及其逆定理的应用。难点：角平分线的性质定理及其逆定理的推导过程。教学方法教学过程一、预习案1.你如何理解角平分线的性质定理？2.你能通过逻辑推理的方法证明角平分线的性质定理吗？3.角平分线性质定理的逆命题正确吗？4.你能通过逻辑推理的方法证明角平分线的性质定理的逆命题吗？5.如何判定点在角的平分线上？二、基础知识探究探究点一角平分线的性质定理（重点）问题1：如何求直线外一点到直线的距离？答案：过点向直线作垂线段，垂线段的长度即为所求.问题2：如图所示，射线OP是∠AOB的平分线，点C为OP上任意一点，且CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E.那么点C到OA的距离是，点C到OB的距离是.问题3：若将图中的∠AOB沿着OC所在的直线折叠，你会发现CD与CE在数量上有什么关系？答案：相等.问题4：你能用逻辑推理的方法证明问题3的结论吗？答案:已知：如图，OP是∠AOB的平分线，C是OP上任意一点，且CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，求证：CD=CE.证明：因为射线OP是∠AOB的平分线，所以∠AOP=∠BOP.在Rt△DCO和Rt△ECO中，∠DOC=∠EOC，∠CDO=∠CEO=90°，CO=CO，所以Rt△DCO≌Rt△ECO(A.A.S.)，所以CD=CE.问题5：你能得到什么结论？答案：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.归纳总结：（1）角平分线性质定理中的“距离”是指点到直线的距离.是垂线段的长度，要与点到点的距离区别开；（2）角平分线的性质定理可用于说明两条线段相等.探究点二角平分线的性质定理的逆定理（重点）问题1：角平分线性质定理的逆命题是什么？答案：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.问题2：如图所示，CD⊥OA，CE⊥OB，且CD=CE，点C在∠AOB的平分线上吗？为什么？答案：在.在Rt△DCO和Rt△ECO中，CD=CE，CO=CO，所以Rt△DCO≌Rt△ECO（H.L.）,所以∠DOC=∠EOC.即点C在∠AOB的平分线上。问题3：你能得到什么结论？答案：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。归纳总结：角平分线的性质定理的逆定理的实质是由“线段相等”证明“角相等”。三、知识综合应用例1.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm思考1：使用角平分线的性质定理的条件是什么？思考2：BC与AC的位置关系是怎样的？思考3：CE与DE有什么关系？为什么？思考4：AE+DE=AE+EC=AC吗？例2.如图所示，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF与CE相交于点D，BD=CD.求证：点D在∠BAC的平分线上。思考1：利用角平分线的性质定理的逆定理，我们可以把“点D在∠BAC的平分线上”转化成什么结论？思考2：想要证明DE=DF，只需要证明哪两个三角形全等即可？四、课堂练习1.如图，在直线上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等。2.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上。五、课后作业1.∠AOB的平分线上有一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_______.2.如图所示，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_____.2题3题3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，已知BC=8cm，BD=5cm，则点D到AB的距离是______.4.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE=______cm.4题5题5.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是（）A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP6.如图所示，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE，CF交于点D，若AB=AC，求证：点D在∠BAC的平分线上。19.4.4主备人：王启彤教学目标1.掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，并能熟练地应用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行证明，提高逻辑推理能力。2.通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会数学的严密性；3.极度热情、自动自发、享受成功，提高数学应用意识。教学重点难点重点：掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。难点：理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的关系。教学方法教学过程一、预习案1.你如何理解线段垂直平分线的性质定理？2.你能通过逻辑推理的方法证明线段垂直平分线的性质定理吗？3.线段垂直平分线的性质定理的逆命题正确吗？4.你能通过逻辑推理的方法证明线段垂直平分线的性质定理的逆命题吗？5.如何判断一个点是否在线段的垂直平分线上？二、基础知识探究探究点一：线段垂直平分线的性质定理（重点）问题1：线段的垂直平分线是直线，还是线段？有几条？答案：直线；有1条。问题2：如图所示，直线MN是线段AB的垂直平分线，O为垂足，点P是直线MN上任意一点，连结PA，PB，则图中相等的线段有哪些？答案：线段OA与OB相等，线段PA与PB相等。问题3：你能逻辑推理的方法证明问题2中的结论PA=PB吗？答案：已知：如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB，P是MN上任意一点，求证：PA=PB.证明：因为MN⊥AB（已知），所以∠POA=∠POB（S.A.S），所以PA=PB（全等三角形的对应边相等）.问题4：通过问题3，你能得到什么结论？答案：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。归纳总结：（1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离都相等；（2）线段垂直平分线的的性质定理可以用来证明线段相等。探究点二：线段垂直平分线的性质定理的逆定理（重点）问题1：你能写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题吗？答案：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。问题2：这个逆命题是真命题还是假命题？若是真命题，能用逻辑推理的方法加以证明吗？图1图2答案：真命题；已知：如图1，AC=BC，求证：点C在线段AB的垂直平分线上，证明：如图2，作CD⊥AB交AB于点D，所以∠CDA=∠CDB=90°，在Rt△CDA和Rt△CDB中，AC=BC，CD=CD，所以Rt△CDA≌△Rt△CDB（H.L.），所以AD=BD。又因为∠CDA=∠CDB=90°，所以点C在线段AB的垂直平分线上。问题3：你能得到什么结论？答案：线段垂直平分线的性质定理的逆定理可以证明一个点在线段的垂直平分线上。三、知识综合应用例1.如图所示，在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线交AB于E，BE=7，则△BCE的周长为______.思考：由“边BC的垂直平分线交AB于点E”可以得到BE与CE有什么关系？拓展提升：如图所示，A、B、C三点表示三个居民区，为了方便居民就近购物，计划新建一个综合商场，要使商场到三个居民区的距离相等，请你在图中用尺规作图确定商场的位置。（不写作法，只保留作图痕迹）思考1