人教B版高中数学必修第一册第三章函数3.1.2.第2课时函数的平均变化率课件

第2课时函数的平均变化率【课程标准】理解函数的平均变化率与函数单调性的关系；了解直线斜率的概念；会用函数的平均变化率证明函数的增减性．教

材

要

点知识点一直线的斜率一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称________为直线AB的斜率；当________时，称直线AB的斜率不存在．

x1＝x2

＞

＜平均变化率2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性为：(1)当a＞0时，f(x)在____________上单调递减，在______________上单调递增，函数没有最大值，但有最小值________________；(2)当a＜0时，f(x)在_____________上单调递增，在____________上单调递减，函数没有最小值，但有最大值___________________.

答案：D2．斜率为2的直线过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＋b＝(

)A．4B．－7

C．1D．－1

答案：C3．函数f(x)＝x2－3x－4在区间[0，2]上的最小值点为________，最大值为________.

－44．如图是函数y＝f(x)的图象．(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．

题型1三点共线问题例1.已知平面上三点A，B，C，其中A(2，1)，B(3，2)，C(x，4)，则直线AB的斜率为_____，若A，B，C三点共线，则x＝_____．

15

跟踪训练1

(1)已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为(

)A．3

B．－2

C．2D．不存在

答案：B

(2)求证：A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)三点共线．

跟踪训练2

为响应国家节能减排号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量W与时间t的关系图如图所示(t0为月末时间)．则该月内：①甲厂污水排放量逐渐减少；②乙厂的污水排放量比甲厂减少得更多；③乙厂总比甲厂的污水排放量减少得更快．其中正确说法的序号是(

)A．①②B．①③C．②③D．①②③答案：A解析：由题意可知两个函数都是减函数，所以①甲厂污水排放量逐渐减少，正确；②乙厂的污水排放量比甲厂减少得更多，正确；③乙厂总比甲厂的污水排放量减少得更快，不正确，因为后期甲厂污水排放量变化率大于乙厂的污水排放量的变化率，所以不正确．故选A.

题型4一元二次函数的最值例4.(1)函数f(x)＝－2x2＋x＋1在区间[－1，1]上最小值点为________，最大值为________；

－1

(2)f(x)＝x2－2ax＋1，试求函数在区间[0，2]上的最值．

方法归纳一元二次函数的最值(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值．(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x＝m，区间[a，b]为例，①最小值：

②最大值：

当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系．

解析：f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．(2)设h(x)＝min{f(x)，g(x)}，x∈R，写出函数h(x)的解析式，并求出h(x)的最大值．

答案：D

2．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是(

)答案：D解析：假设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周．刚开始x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量Δx，弦AB与弧AB所围成的弓形面积的变化量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y＝f(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓．故选D.

答案：C2．(5分)如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝(

)A．－3B．2

C．3D．－2

答案：C

答案：A解析：①当x1>x2时，x1－x2>0，则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．②当x1<x2时，x1－x2<0，则f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．综上可知f(x)在区间I上是增函数，故选A.

答案：CD

二、填空题(每小题5分，共15分)5．(5分)函数y＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率为________．

答案：3－Δx

27．(5分)函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．

6x0＋3Δx12.38．(10分)已知函数f(x)＝4x2－mx＋1在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，求f(x)在[1，2]上的值域．

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．解析：在区间[1，＋∞)上f(x)>0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞)．10．(17分)已知二次函数y＝f(x)，f(0)＝f(8)＝0，f(x)的最大值为16.(1)求函数y＝f(x)的解析式；解析：由已知函数y＝f(x)是二次函数，且f(0)＝f(8)＝0，∴函数f(x)图象的