人教版九年级数学下册同步讲义

第10课锐角三角函数

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课程标准

1.结合图形理解记忆锐角三角函数定义；

2.会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；

3.理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.

般‘知识精讲

知识点01锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt^ABC中，NC=90°,NA所对的边BC记为a,叫做NA的,也叫做NB

的,NB所对的边AC记为b,叫做NB的,也是NA的,直角C所对的边AB

记为c,叫做.

锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记作.

锐角A的邻边与斜边的比叫做/A的余弦，记作.,艮L.

锐角A的对边与邻边的比叫做NA的正切，记作.,即二

同理;;,

要点诠释:

(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段

的比值.角的度数确定时，其比值角的度数变化时，比值也随之.

(2)sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成他•/,COS・4,

tari•A,不能理解成sin与NA,cos与NA,tan与NA的乘积.书写时习惯上省略NA的角的记

号“N”，但对三个大写字母表示成的角(如NAEF),其正切应写成“tan/AEF”,不能写成

"tanAEF"；另外,(sin⑷?、(8必尸、:常写成/、C0S3J4'tan2A-

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在.

(4)由锐角三角函数的定义知：

当角度在0°<NA<90°间变化时，

知识点02特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30。、45。、60°角的各三角函数值，归纳如下:

锐角asinacosatana

30°___

45°___

60°___

要点诠释：

(1)通过该表可以方便地知道30。、45。、60。角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了

..近

511)&=-----

一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若2,则锐角.

⑵仔细研究表中数值的规律会发现：

更亡迫

sin30°、sm45\sm60•的值依次为2、2、2,而cos30°、cos45°、cos60°的值的顺

序正好相反，tan30°、tan45\tan60°的值依次增大，其变化规律可以总结为:

①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而；

②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而.

知识点02锐角三角函数之间的关系

如图所示，在Rt^ABC中，ZC=90°.AA

(1)互余关系：________,________；/

(2)平方关系：；/

(3)倒数关系：或tanH=」一；/---c

tan8

(4)商数关系：.

要点诠释：

锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时

巧用这些关系式可使运算简便.

I二能力拓展

考法01锐角三角函数值的求解策略

【典例1】如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则/ABC的正切值是（

C.逅D.1

52

【即学即练1】在RtAABC中，zC=90°,若a=3,b=4,则0=，

sinA=，cosA=,sinB=，8sB=

考法02特殊角的三角函数值的计算

【典例2］求下列各式的值：

(1)6tan230°-«sin60°-2sin45°；

(2)&sin60°-4cos230o+sin45°»tan60°；

(3)sin600+tan60°-________,______

COS260°2cos450+tan60°

【即学即练2】在RtMBC中，/C=90°,若NA=45°,则/B=,

sinA=，cosA=，sinB=，cosB=

BC

考法03锐角三角函数之间的关系

【典例3］已知AABC中的/A与/B满足(1-tanA)2+|sinB-立|=0

2

(1)试判断△ABC的形状.

(2)求(1+sinA)2-24cosB-(3+tanC)°的值.

考法04锐角三角函数的拓展探究与应用

【典例4】如图所示，AB是。。的直径，且AB=10,CD是。0的弦，AD与BC相交于点P,

若弦CD=6,试求cos/APC的值.

【典例5】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,

因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：

等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图1①，在4ABC中，AB=AC,顶角A的正对记作sadA,

这时sadA=3g=+.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的

腰AB

正对定义，解下列问题：

(1)sad60°=.

(2)对于0VAV180。，NA的正对值sadA的取值范围是.

3

(3)如图1②，已知sinA=1，其中NA为锐角，试求sadA的值.

AB.

B

①

图1

M分层提分

题组A基础过关练

1.如图，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AD_LBC于点D,则下列结论不正确的是()

D.sinB毛

C

，叫笔ACAU

2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则NABC的正切值是()

A.2B.2疾C.近D.1

552

3.已知锐角a满足sin25°=cosa,则a=()

A.25°B.55°C.65°D.75°

4.如图所示，直径为10的。A经过点C(0,5)和点0(0,0),B是y轴右侧。A优弧上一点，则N0BC的余

弦值为(

1

A.-

2

y.

5.如图，在△ABC中，ZA=120°，AB=4,AC=2,则sinB的值是（）

6.在Rt^ABC中，ZC=90°,若将各边长度都扩大为原来的2倍，则/A的正弦值（）

A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.不变

7.如图所示是教学用具直角三角板，边AC=30cm,NC=90°,tanZBAC=—,则边BC的长为（）

3

A.30^/3cmB.20^/3cmC.cmD.5^/3cm

8.如图所示，在Rt^ABC中，NACB=90°，CD±AB,垂足为D,若AC=JLBC=2,则sin/ACD的值为

)

2752

A.叵B.」一c此D.-

3323

题组B能力提升练

9.如图，点A(3,t)在第一象限，0A与x轴所夹的锐角为a,tana=W,则t的值是

10.用不等号连接下面的式子.

(1)cos50°cos20°(2)tanl8°tan21°

V2\2

11.在AABC中，若sinA一-cosB=0,/A、NB都是锐角，则/C的度数为

2

7

12.如图所示，AABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=

13.已知：正方形ABCD的边长为2,点P是直线CD上一点，若DP=1,则tan/BPC的值是.

第12题

14.如果方程炉―4x+3=0的两个根分别是RtZkABC的两条边，AABC的最小角为A,那么tanA的值为

15.如图所示，^ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2,0),点B的坐标是(0,2),直线AC的解析式为

y=-x-\,则tanA的值是.

2

16.若a为锐角，且cosCI=二铲，则m的取值范围是.

题组C培优拔尖练

17.如图所示，AABC中，D为AB的中点，DC±AC,且/BCD=30°,

求NCDA