福建省漳州市龙海程溪中学2024届高三下第一次统练数学试题

福建省漳州市龙海程溪中学2024届高三下第一次统练数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知的值域为，当正数a，b满足时，则的最小值为（）A． B．5 C． D．92．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（）A． B． C． D．3．已知函数，且关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围（）．A． B． C． D．4．已知全集，集合，，则（）A． B． C． D．5．已知，则下列说法中正确的是（）A．是假命题 B．是真命题C．是真命题 D．是假命题6．在中，点为中点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（）A． B．2 C．3 D．7．已知函数的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．8．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元9．如图，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若直线与以为圆心，线段（为坐标原点）长为半径的圆交于，两点，则关于值的说法正确的是（）A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不确定10．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（）A． B． C． D．11．若集合，则（）A． B．C． D．12．复数的虚部是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知两圆相交于两点,，若两圆圆心都在直线上，则的值是________________.14．已知，椭圆的方程为，双曲线方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为________.15．已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为__________.16．安排名男生和名女生参与完成项工作，每人参与一项，每项工作至少由名男生和名女生完成，则不同的安排方式共有________种（用数字作答）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数没有零点，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）若，对，不等式恒成立，求的取值范围．19．（12分）已知的内角的对边分别为，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.20．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次，若掷得点数大于，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有个红球与个白球，抽奖者从箱中任意摸出个球，若个球均为红球，则获得一等奖，若个球为个红球和个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.若，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；若一等奖可获奖金元，二等奖可获奖金元，三等奖可获奖金元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为，若商场希望的数学期望不超过元，求的最小值.21．（12分）已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).（1）求椭圆的方程；（2）已知直线,为椭圆的右顶点.若直线交于点，直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.22．（10分）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，是棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

利用的值域为,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出的最小值.【详解】解：∵的值域为,∴,∴,∴,当且仅当时取等号,∴的最小值为.故选：A.【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.2、C【解析】

设，求，作为的函数，其最小值是6，利用导数知识求的最小值．【详解】设，则，记，，易知是增函数，且的值域是，∴的唯一解，且时，，时，，即，由题意，而，，∴，解得，．∴．故选：C．【点睛】本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对和的关系的处理是解题关键．3、B【解析】

根据条件可知方程有且只有一个实根等价于函数的图象与直线只有一个交点，作出图象，数形结合即可．【详解】解：因为条件等价于函数的图象与直线只有一个交点，作出图象如图，由图可知，，故选：B．【点睛】本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题．4、B【解析】

直接利用集合的基本运算求解即可．【详解】解：全集，集合，，则，故选：．【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题．5、D【解析】

举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】当时，故命题为假命题；记f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex，易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增，∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命题为真命题；∴是假命题故选D【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题．6、B【解析】

由，，三点共线，可得，转化，利用均值不等式，即得解.【详解】因为点为中点，所以，又因为，，所以．因为，，三点共线，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为1．故选：B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7、A【解析】

先利用最高点纵坐标求出A，再根据求出周期，再将代入求出φ的值.最后将代入解析式即可.【详解】由图象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），将代入得φ）＝1，∴φ，结合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.8、D【解析】

设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故选D．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．9、A【解析】

利用的坐标为，设直线的方程为，然后联立方程得，最后利用韦达定理求解即可【详解】据题意，得点的坐标为.设直线的方程为，点，的坐标分别为，.讨论：当时，；当时，据，得，所以，所以.【点睛】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题10、D【解析】

由试验结果知对0～1之间的均匀随机数，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．【详解】解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，对应区域为边长为的正方形，其面积为，若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，其面积；则有，解得故选：．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.11、A【解析】

先确定集合中的元素，然后由交集定义求解．【详解】，.故选：A．【点睛】本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．12、C【解析】因为，所以的虚部是，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得与直线垂直，且的中点在这条直线上，列出方程解得即可得到结论.【详解】由,，设的中点为，根据题意，可得,且，解得，,，故.故答案为：.【点睛】本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.14、【解析】

求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出关系，即可求解双曲线的渐近线方程.【详解】，椭圆的方程为，的离心率为：，双曲线方程为，的离心率：，与的离心率之积为，，，的渐近线方程为：，即.故答案为：【点睛】本题考查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题.15、【解析】

根据题意，利用余弦定理求得，再运用三角形的面积公式即可求得结果.【详解】解：由于，，，∵，∴，，由余弦定理得，解得，∴的面积.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力.16、1296【解析】

先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.【详解】由于每项工作至少由名男生和名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有种.故答案为：1296【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）【解析】

（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用导数得出的单调性以及极值，从而得出的图象，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，由图，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，∴切线斜率，又切点∴切线方程为，即.（2），记，令得；∴的情况如下表：2+0单调递增极大值单调递减当时，取极大值又时，；时，若没有零点，即的图像与直线无公共点，由图像知的取值范围是.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.18、（1）；（2）.【解析】

（1）分类讨论，，，即可得出结果；（2）先由题意，将问题转化为即可，再求出，的最小值，解不等式即可得出结果.【详解】（1）由得，若，则，显然不成立；若，则，，即；若，则，即，显然成立，综上所述，的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当时，，所以；因为，所以，解得，结合，所以的取值范围是．【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值为3.【解析】

（Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（Ⅱ）由正弦定理可得，则，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】（Ⅰ）由得再由正弦定理得因此，又因为，所以.（Ⅱ）当时，的周长有最大值，且最大值为3，理由如下：由正弦定理得，所以，所以.因为，所以，所以当即时，取到最大值2，所以的周长有最大值，最大值为3.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函数的性质的应用，属于中档题.20、；.【解析】

设顾客获得三等奖为事件，因为顾客掷得点数大于的概率为，顾客掷得点数小于，然后抽将得三等奖的概率为，求出；由题意可知，随机变量的可能取值为，，，相应求出概率，求出期望，化简得，由题意可知，，即，求出的最小值.【详解】设顾客获得三等奖为事件，因为顾客掷得点数大于的概率为，顾客掷得点数小于，然后抽将得三等奖的概率为，所以；由题意可知，随机变量的可能取值为，，，且，，，所以随机变量的数学期望，，化简得，由题意可知，，即，化简得，因为，解得，即的最小值为.【点睛】本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题.21、（1）（2）定值为0.【解析】

（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c，再根据离心率得，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果.【详解】（1）因为直线过椭圆的右焦点,所以，因为离心率为，所以，（2），设直线，则因此由得，所以，因此即【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.22、（1）详见解析；（2）.【解析】

（1）根据平面，四边形是矩形，由为中点，且，利用平面几何知识，可得，又平面，所以，根