2025年高中数学公式及知识点速记之复数、立体几何、空间向量

高中数学公式及知识点速记(二)

七、复数

1、复数的有关概念

①复数的定义

形如a+bi(a,6£R)的数叫做复数，其中实部是召，虚部是女

②复数的分类

'实数(6三0),

复数z=a■/■加(a,bGR)<纯虚数(。三0,任0),

虚数(6日0)

.非纯虚数(3WO,6W0).

③复数相等、共轨复数

复数相等：■加=c~/~dioa=。且2?=d(a,b,c,dER)

共辗复数：a+bi与c+由共辆=a=c且b=—d(a,b,c,dER)

④复数的模

向量U?的模叫做复数z=aV■仪的模，记作|z|或BP|z|=\a+bi\=r=>Ja2+b2(r>0,a,bER)

2.复数的几何意义

-■—'对应

①复数z=a74)i'(复平面内的点Z(a,b)(a,bER).

——对应.

②复数z=aV■次(a,beR)------->平面向量OZ

3.复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设Zi=a+bbZ2=c+di(a,b,c,dCR),贝!J

①加法：Zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

②减法：Zi-z2=(a-/-bi)—(c+di)=(a—c)+(/?—d)i

③乘法：z1■z2=(a+bi)•(c+di)=ac-bd+(be+acT)i

④除法：皂=曰==3d*—(c+di^0)

22v7

z2c+di(c-y-di)(c-di)c+d

(2)复数加法的运算定律、结合律

zZzz

对任何Z1,Z2，Z36C,有Z1+Z2=Z2+Z1,(Z1+Z2)+3-1+(2+3)

八'立体几何

1、基本事实

文字语言图形语言符号语言

过不在一条直线上的三点,有且只有一个平/I/A,B,。三点不共线今有且只有一

基本事实1

面个平面a,使A£Q,BRa,C^a

如果一条直线上的两点在一个平面内,那么/9/(Ael,B6I

基本事实2<=2ua

这条直线在此平面内vAea,BEa

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么PRa,且尸£夕

它们有且只有二条过该点的公共直线>aC0=l,且PR/

基本事实3

推论1：一条直线和直线外一点确定一平面

推论2：两条平行线确定一个平面

推论3：两条相交线确定一个平面

///

基本事实4平行于同一直线的两条直线平行a//b,b//c^a//c

AH3"•

基本事实5<1)AB//A'B',AC//A'C

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那

(等角定0/CAB=ZC'A!B',

么这两个角相等或互补.<2>

理)或/CAB+^C'A'B'=180°

<»

2、空间中两直线的位置关系

（1）空间中两直线的位置关系

共面直线：相交、平行

异面直线：不同在任何一个平面内

（2）异面直线所成的角

定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点。作直线a7/a,6'〃6，把优与，所成的锐角（或

直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）

3、直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线

判定定理/_/1//a,aUa,ICa^l//a

与此平面平行（线线平行，线面平行）

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与/〃a,

性质定理

此平面的交线与该直线平行（线面平行台线线平行）aCB=b=l〃b

4、平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平a//p,b//p,aQb=P,

判定定理

行，则这两个平面平行（线面平行今面面平行）//aUa,bUa今a〃B

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那Ck//0,ocAy^cij£Cy=:b

性质定理Z7

么它们的交线平行^a//b

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任

定义a〃夕，aUa,0a〃B

意一条直线，平行于另外一个平面/7

5、直线与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

(a,bua,aC\b=0

一条直线与一个平面内的两条相交直线都1{=口1

判定定理

垂直，则该直线与此平面垂直(Ila,lib

□

b

性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行/ala,b1a=a//b

1

若一条直线和平面垂直，则该直线垂直平

定义I1a,auan/la

面内的任何一条直线

6、平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直

（2）平面与平面垂直的判定定理与性质定理：

文字语言图形语言符号语言

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个—/

判定定理1uB,11a=>a113

平面垂直

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线%a1S，IuB，

性质定理%/n口J_口

的直线与另一个平面垂直C0=a,I1a

7、证明线线平行的思路证明线线垂直的思路

（1）中位线定理（等分点定理）（1）勾股定理

（2）平行四边形定理（2）线面垂直的定义（线面垂直，线线垂直）

（3）线面平行的性质定理（线面平行，线线平行（3）三垂线定理（垂直投影等价于垂直斜线）

（4）面面平行的性质定理（面面平行，线线平行）（4）其他平面几何性质（菱形对角线、正△底高垂直……）

（5）a//b,6〃c=a〃c

（6）线面垂直的性质定理（ala,61a=>a〃b）

（7）其他平面几何性质（同位角、内错角相等……）

8、证明线面平行的思路证明线面垂直的思路

（1）线面平行的判定定理（线线平行，线面平行）（1）线面垂直的判定定理（线线垂直，线面垂直）

（2）面面平行的定义（面面平行，线面平行）（2）面面垂直的性质定理（面面垂直，线面垂直）

（3）a//b,b//p,aB0a"B

9、证明面面平行的思路证明面面垂直的思路

(1)面面平行的判定定理（线面平行，面面平行）（1）面面垂直的判定定理（线面垂直，面面垂直）

(2)a〃a,a//p^a//p（2）面面垂直的定义（二面角为直二面角）

(3)ala,b1氏a〃b=a〃/?

10、

I//a,aC.a,Ata=Za//ft,b//p,aV\b=P,a

a

'a//aCa,bC.a^a//p

线线〃="==线面〃=="上面面〃

IIIa,lUp,

aCp=b=l〃b

aHMariy=«,pr\y=b

=〃〃b

lup

na邛

z_La

我我_L——我回_L——————————卸卸"L

a邛

IUB=/J_a

Ila,auanlia

ar\fl=a

12.柱、锥、台和球的恻囿队和体枳

几何体面积体积几何体面积体积

2

圆柱S侧=2兀5V=Sh=7irh直棱柱S侧=ChV=Sh

V=^Sh=^Tir2h=^Tir2y]P—r2S^\=\ch'V=gsh

圆锥S侧=Krl正棱锥

V=^(S±+Sr+y[sls^)h

S侧,

圆台正棱台Sw=1(C+C)h'V=|(S,_+Sy+\[s^)h

=兀（厂1+r2）/=%(疗+日+片厂2)0

4.

球S球面=4兀1?2v=W兀a

13.几何体的表面积

（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.

（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩芨、题娶、蜃如；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和

九、空间向量

1、向量的相关定理_

①空间中任意两个非零向量屈，阮，不一定共线，但一定共面

若阮丰0,存在实整士f吏通=4前二则通,而共线（共线向量定理）

若平面内存在点0使瓦？=4赤+日灰（4+〃=1,尢〃6R）,则A,B,C三点共线（三点共线定理）

②空里手任意三个非零向量荏，阮，丽，不二定共面

若近，而非零不共线，存在实数对久,y使荏=%前+丫而，则荏，品,而共面

（共面向量定理）（平面暨基圾理）

若空间内存在一点。使瓦？=%而+y反+z赤（x+y+z=1,九ae而，则4B,C,D四点共面

（四点共面定理）

2、平面、空间向量基本定理

①平面向量基本定理：若平面内存在两个非零不共线的向量百,瓦,

则平面内任意一个向量N都有N=xel+y电(x,yGR)

常用结论：在平行四边形ABCD中尼=存+而，若〃为BD的中点，则前=:屈+：而

②空间向量基本定理：若平面内存在三个非零不共面的向量瓦，石，石，"'

则平面内任意一个向量d都有江嗝/石+z西(x,乃2G而

常用结论：在平行六面体4BCD-4/1。也中宿=屈+而+丽*,若M为46的中点，

贝1|俞=加++

3、空间向量的运算律一

①加减法/+b=b+a,(a+6)+ca+(6+c)

②数乘运算=(A/z)a,(A+[i)a=Aa.+向,+b^)-Aa+Ab

③数量积港3=另,2,a-(h+c)=a-b+a.-c,(2a),fa=A1(a•fo)

4、五与石的数量积(或内积)港方=|团,间•cos(a,b)

5、平面向量的坐标运算

①设B=Qi，yi，Zi),b=(x2,y2,Z2),则2+3=(/+x2,y1+y2,z1+z2)

②设N=Cq,yi，Zi),b=(x2,y2,z2),则2-3=(久】-x2,y1-y2,z1-z2)

③设d=(阳y,z),A,ER,贝!M益=(A%,Ay,Az)

ZZ

④设\=(%2，丫2/2)，则日・)=Xi%2+%为+12

6、向量的模

①设d=(阳y,z),贝1J口|==Va,a=Jx2+y2+z2

|222

②设401，yi，Zi),3(久2，丫2,22),贝]|荏|=V(%2-^l)+(y2-yi)+Cz2-Zi)

7、两向量的夹角公式

设益=3，yi，Zi),b=(x,y,Z2),且B丰0,则cos(d,B>=a-b_

22向也|

x^+y^+z^

向量的平行与垂直

8、y]x2+y2+Z2-y/x22+y2+Z22

f一1112

设。=(久1，%/1),6=(%2，丫2/2)，且bw0

①五〃Bu>3=4五u>*2=u>包yi包.②a-Lb{awO)=〃・B=0=xrx2+yry2+z/=0

.=为1焉'=/=3，

z?—A.Z-1

9、投影向量

设。A=a,OB=b,而为与江同向的单位向量，

贝情在a方向上的投影数量(投影)为同•cosd)=萼

11同

贝喏在2方向上的投影向量两=\b\'cos(a,b)-打

贝口在2方向上的投影向量的模为|函>|=\b\'\cos(a,b)\

10、方向向量与法向量

①直线的方向向量：设4B是直线I上任意两点，则标为直线的方向向量

②平面的法向量：若向量元所在的直线与平面a垂直，则元为平面的法向量

③平面法向量的求法：设力、尻C是平面a上任意三点

第一步：设平面的法向量为元=O,y,z)

第二步：将4、B、C,记的坐标代入低‘亚=°,可得到两个与x,y,z有关的方程组；

第三步：令居y,z中的其中一个量为1,代入方程组计算出另外两个量，从而得到法向量

(注意，平面的法向量有很多个，我们只要能算出其中一个就行)

④直线的向暨示式(直线的参数方程)：设48为直线1上的定点，P为直线，上的动点，

则Q=%屈为直线/的向量表示式(直线I的参数方程)

若给出定点401，yltzj,B(x2,y2,z2)>设动点P(x,y,z)

x—=A(X2—xj

贝—yi=My2—yJ，(即可用一个字母4表示出点P的坐标)，消去久得.Ax】y』z-zi(直线1的方

=

、Z—Z1=Z(z2-Z1)X2-X1=y2-yiZ2-Z1

程)

⑤平面的向量表示式（平面的方程）：设4为平面a上的定点，P为平面a上的动点，元为平面a的法向量，

则万•五=0为平面a的向量表示式（平面a的方程）

若给出定点4