湖北省新高考联考2024-2025学年高二年级上册10月联考数学试卷（含答案）

湖北省新高考联考2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知（l+i”=l+3i,则复数z的虚部为（）

A.1B.-1C.iD.2

2.一组数据23,11,14,31,16,17,19,27的上四分位数是（）

A.14B.15C.23D.25

3.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材

埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问

题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木

材，若锯口深CZ）=4-2a,锯道AB=40,则图中弧ACB与弦A3围成的弓形的面积

4.已知cos[+T=.*,贝1Jsin12"3=()

A4+3-^33+4-\/3f-,4-3A/3「3—4^/3

A.----Dr>.-----C.-----U.-------

10101010

5.平行六面体ABCD-A瓦GA的底面A3。是边长为2的正方形，且

N4AD=NAAB=60。，"=3,M为AG，的交点，则线段的长为（）

6.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体，

观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为。={123,4,5,6,7,8},记事件"得

到的点数为奇数”，记事件3="得到的点数不大于4”，记事件C="得到的点数为质

数”，则下列说法正确的是（）

A.事件3与C互斥B.P（AB）=j

8

C.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）D.A,3,C两两相互独立

7.若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所

成角的正弦值为,，则此圆台与其内切球的表面积之比为（）

A.-B.2C.—D.-

363

8.在△ABC中，BC=2,ZBAC=~,。是△ABC的外心，则04BC+34C4的最大值

为（）

R10

A.2B-T

C.—D.4

3

二、多项选择题

9.下列说法正确的是（）

A.“a=-1”是“直线/％_>+1=0与直x-分-2=0互相垂直”的充要条件

B.““=一2”是“直线ax+Zy+M=。与直线x+(a+l)y+l=0互相平行，，的充要条件

兀］「3兀)

C.直线xsin以+y+2=0的倾斜角，的取值范围是0,--,n\

D.若点A(l,0),3(0,2),直线/过点尸(2,1)且与线段A3相交，贝心的斜率左的取值范

围是-<1

10.已知函数/(x)=cosx,g(x)=|sinx|,下列说法正确的是()

A.函数根(同="耳超(%)在］,兀1上单调递减

B.函数Mx)="x).g(x)的最小正周期为2兀

C.函数"(x)=/(x)+g(x)的值域为

D.函数〃(x)=/(x)+g(x)的一条对称轴为x=：

11.在棱长为1的正方体ABCD-中，E、F、G、”分别为棱A。、AB.BC、

用G的中点，则下列结论正确的有()

A.三棱锥E-/G”的外接球的表面积为兀

B.过点E,F,H作正方体的截面，则截面面积为延

4

c.若P为线段用，上一动点(包括端点)，则直线尸4与平面A3。所成角的正弦值的

范围为q,f

D.若。为线段CD上一动点(包括端点)，过点A，G,。的平面分别交8瓦，。，于

M,N,则3M+DN的范围是1.1

三、填空题

12.己知4(2,1),网4,3)两点到直线％-分+1=0的距离相等，则。=

13.在空间直角坐标系中已知4(121),5(1,0,2),C(-1,1,4),CD为三角形ABC边A3

上的高，贝叫CD卜.

,a-b,a-b

14.对任意两个非零的平面向量。和b,定义:ab=—若平面

FH+i\br\w

向量a,b满足忖>W>。,且a㊉b和ab都在集合甘〃eZ,0<〃44]中，则°㊉b=,

cos(a,b)=

四、解答题

15.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知q=^sinC+cosC.

b3

⑴求角&

BA-BDBDBC

(2)若。是△ABC边AC上的一点，且满足网=pc]，9a+4c=25,求3。的最

大值.

16.已知△ABC的顶点边AC上的高所在直线的方程为x-y+8=0,边A3

上的中线C航所在直线的方程为5x-3y-10=0.

(1)求直线AC的方程；

(2)求△ABC的面积.

17.某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解

本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计.将成绩进行整理

后，分为五组(50<x<60,60Vx<70,70Vx<80,80Vx<90,90<x<100),其中第1组

的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如

⑴若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请

问晋级分数线划为多少合理？

(2)从样本数据在80Vx<90,90Vx<100两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取

6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率.

⑶某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：为9,当「，税，已知这10个分

数的平均数元=90,标准差S=5,若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的

平均数与方差.

18.在△ABC中，ZC=90SBC=3,AC=6,D,E分别是AC,A3上的点，满足

DE//BC,且DE经过△ABC的重心.将△ADE沿DE折起到的位置，使

AC±CD,存在动点〃使A"=24^(2>0)如图所示.

⑴求证：A"平面3CDE；

(2)当X=g时，求二面角C-MB-E的正弦值；

(3)设直线3M与平面ABE所成线面角为，，求sind的最大值.

a

19.对于一组向量4％,生，，n(”N*且心3),令邑=4+生+/+.+an,如果存

在4(me{l,2,3,，叫，使得k/邓"-aj,那么称品，是该向量组的阳向量”.

⑴设a“=(x+〃M(〃eN*),若%是向量组4，%，%的““向量”，求实数x的取值范

围；

⑵若a“JcosT，sinTj(〃eN)向量组％,出，生，，孙是否存在“H向量”？若存

在求出所有的“H向量”，若不存在说明理由；

(3)已知%,外,生均是向量组q，%，%的向量”，其中4=是，。，

求证：同'+同+,「可以写成一个关于e*的二次多项式与一个关于e-工的二次多项式的

乘积.

参考答案

1.答案：B

-l+3i(l+3i)(l-i)4+2i

解析：由题意可得:z=----=2+i,

1+i(l+i)(l)=丁

所以z=2-i的虚部为

故选：B

2.答案：D

解析：把数据按从小到大的顺序排列：11，I%16,17,19,23,27,31.

3

因为8x1=6,

二上四分位数是23学+427=25.

故选：D

3.答案：C

解析：由题意AO=8D=2&,0O=OC_Cr>=OA_4+2&,

在RtAAOD中，AD2+OD-=O^,

即8+(。4-4+20丫=。42,解得OA=4,

故0。=2加,易知4。3后，

因此S弓形=S扇形AOB-SAAOB=5X3x4-^x4-4兀-8.

故选：c

4.答案：A

（兀、，八兀，兀3兀、

解析：因为6口0,句，则6+^^丁丁>

且cos［呜1-噜,可得可呜卜「小+介噜,

则sin26=sin，,+_cos2,+：）=1—2cos2

cos26»=cos6>+=sin2,+：）=2sin（e+：）cos（6+：）

r-j-.U.（cc兀）1.cc6"4+3#>

以sin2,0—=—sin2,0----cos2,0=-------,

I3J2210

故选：A

5.答案：C

uuruuiriuuumuuurizuuumuumxuuuiuumiULU

解析：由题意可知:BM=BBi+aBQi=BB]+-^AlDl-AlBlj=AAl+-AD--AB,

uutr<umiiuuuium\2

则5M2=\A\+-AD--AB\

uuu?iuum,iuun2uuuuumuuuuumiuuuuum

=朋+-AD+~AB+AAlAD-AAlAD--ABAD

=9+l+l+3x2x--3x2x--0=ll,

22

uuir_

所以BM=vn.

故选：c

6.答案：C

解析：由题意得，事件A的样本点为{1,3,5,7},事件3的样本点为{123,4},事件C的

样本点为{2,3,5,7},

对于选项A：事件3与。共有样本点2,3,所以不互斥，故A错误；

对于选项B：A3事件样本点S“，所以尸（AB）=1=f,故B错误；

对于选项D：因为尸（A）=!=；,P（C）=；,

o2Z

且AC事件样本点{3,5,7},则尸（AC）=]

O

可得P（AC）HP（A）P（C）,所以事件A与C不相互独立，故D错误；

对于选项C：因为ABC事件样本点{3},可得尸（ABC）=：,

O

所以P（ABC）=P（A）P（3）尸（C）,故C正确.

故选：C

7.答案：C

解析：设上底面半径为八，下底面半径为

如图，取圆台的轴截面，作CMLAB,垂足为M,

设内切球。与梯形两腰分别切于点E,F,

可知3。=彳+弓，BM=r2-rx,

7T

由题意可知：母线与底面所成角为NB=3，

BMr,-r1

贝I有=="7一=5，可得4=3%

BC4+弓2

即3c=4小BM=2八,可得CM=JBC?-BM?=26rl,

可知内切球。的半径厂，

可得S圆台=兀42+9兀4？+兀（弓+3可）x44=26兀42，s球=4兀*（6彳）=12兀邛，

13

所以：IS~6

故选：C

8.答案：B

解析：设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

因为。是△ABC的外心，记3C中点为。，则有ODLBC,即。。.BC=O,

uirutinuiruir,uuiiuunuir、uunuiruir

可得。ABC+3ACA=OO+OB+BAIC+BACA

UUUIUUUULIUUUluuuu

=DB•BC+BA•BC+BA•CA

1.2-2o

=——BC+BA=-2+c2,

2

ca24

在△ABC中，由正弦定理可得：sinNBA。一国一瓦

~T

44TT

则"京sinCW国,当且仅当sinC=l,即C、时，等号成立，

1.2.2

所以。4.BC+BA.Q4的最大值为=-Q3C+BA=-2+c2.

故选：B

9.答案：BCD

解析：对于选项A：当。=—1时，直线1与直线x+y-2=0斜率分另U为1,-1,

斜率之积为一1,故两直线相互垂直，即充分性成立；

若“直线入7+1=0与直线*-3-2=0互相垂直”，

贝!J/+a=0,故a=。或。=-1,

所以得不到a=T,即必要性不成立，故A错误；

对于选项B：由直线平行得卜("?”2,解得。=一2,

WCI

所以-2”是“直线办+2＞后=0与直线x+(a+l)y+l=O互相平行”的充要条件，故B

正确；

对于选项C：直线的倾斜角为。，则上=tane=-sin(ze[-1,1],

因为0＜。＜兀，所以。』0,二]口「¥，兀],故C正确；

-----------L4jL4)

对于选项D：如图所示：

o\AX

可得如=-：，结合图象知

＜k＜l,故D正确;

故选：BCD

10.答案：BC

71时，g(x)=sinx,m(x)=sinxcosx=^sin2x,

解析：A选项，当2，Jt

此时2xe（兀,2兀）,而〉=sinx在（兀,2兀）上不单调，故A错误;

B选项,函数制X+2TC)=COS(x+27i)-|sin(x+27i)|=cosx|sinx|=m(x),

sinxcosx,2kn<x<2kn+兀

而加(%)=<

-sinxcosx,2kn+TI<X<2kn+2兀

；sin2x,2kji<x<2攵兀+兀，女£Z

一；sin2x,2kji+7i<x<2E+2兀4GZ

所以〃7（x）的最小正周期为2兀，故B正确;

7C_,7C1_,357兀t

C选项，当工£［2配2E:+兀］（左£2）时,x+—G2E+—,2kltH--(-左-eZ),

444

sinx+e立1

(S------，］

2

71

所以〃(力=cosx+sinx=V2sinXH----

4

左兀十个,兀+个）（左G）

当%£（2也+兀,2酎1+2兀）（左£2）时，X+-^G224Z,

COS尤+四£f鸟］

I4j

所以〃(x)=cos%-sinx=0cosx+—

I4

综上，函数"（%）="%）+8（%）的值域为［-1,0］,故C正确;

D选项，因为+=：］=cos［_（］+sin］—：］=0,

sin?=0,所以x=:不是“（x）的一条对称轴.

故选：BC

11.答案：BCD

解析：对于选项A：由题意可得：EF=FG=—,EG=GH=1,且G"_L平面A3CD,

2

•jr11

则EF?+e2=EG?,BPZEFG=-,可知三角形ERG外接圆的半径为厂=5或；=/,

所以三棱锥E-FGH的外接球的球心为E”的中点，

可得三棱锥E-FGH的外接球的半径为R=J+&]=#，

所以其表面积为4成2=2兀，故A错误；

对于选项B：取网,的中点分别为K,L,J,

可知过点E,F,H作正方体的截面为ERKHLJ,其截面正六边形，边长为日

所以其面积为S=6x1x在x立,故B正确；

2224

对于选项C：设点P到平面的距离为九

由正方体的性质可得：BDHB\D\,用A不在平面43。内，5Du平面A3。，

则与。]〃平面A3。，

当点P在线段耳2上运动时，则点P到平面43。的距离即为点，到平面A3。的距

离,

由Dy-\BD的体积可得J_xlxLlxl=L7xL&x0x且，解得相走，

323223

设直线尸4与平面A3。所成角，，则sine=」=点，

P\3pAi

若p为BQ的中点时，PA，,（尸4）.=LBR=显;

当点P为线段BQ的端点时，（出入政.；

即IwPAVl，所以sinJ=Me［半,乎］,故C正确；

2尸4133

对于选项D：设QGIA5=S,QGIAD=T,

可知平面4G。即为平面AST,则ASIBB^M^TIDR=N,

可得5G=CG=g3C=；,设CQ=4CQ=X,

1-2

当。<2<i时，由相似三角形知识可得：—j=T~79

12+11]।I71+A

2A—2

即,DN==

1+A1+2

2A—2

且当…或"时,也符合

1A—21

则3M+£)N=——+--=——

1+21+21+2

<0<2<l,可得BM+ZW=4e:」

i+7tZ

所以氏W+DN的取值范围是1,1,D正确.

故选：BCD

12.答案：1或2

解析：由题意可得：3aI即|3-。|=|5-34,

Jl+〃2，1+〃2

可得3—a=5—3a或々—3=5—3a,解得〃=1或。=2.

故答案为：1或2

13.答案：3

解析：AC=(-2-1,3),AB=（0-2,1）,则国卜疝\

所以|C£）|=^|AC|2-|AD|2=V14-5=3,

故答案为：3

14.答案：三晅或由

483

解析：设a与b的夹角为。，

因为。㊉b和a》都在集合《|心40＜』｝中，所以其取值可能为川,

因为同〉忖＞0,贝巾「+片〉2曲，

因为cos"l,即等弓，可得a㊉所以。㊉6=；；

又因为a㊉6〈警，即警>；,解得cosO>g,

因为W>W>o,

a，baAcos6acosSja

可得a^=-j—r=----3-----=-1-|—>cos61>-,即a6=彳或1,

AA\h\24

当a㊉6=］且a6=］时，即由2=］且而=Z，

a-b_4

可得〃.匕=第加郦,所以cos

ia"_1a-o

当。㊉b且ab=l时，即一|邛=7且而=1,

LLX-.।'A

.rrlipifi-iti

可得〃心二w，卜卜⑺忖

综上所述：cos（aS=3后或史~

/83

故答案：I迷或也.

483

15.答案：⑴8=三

⑵石

解析：（1）因为q=避^!1。+8$。，即。=Y^bsinC+Z7cosC,

b3

且sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC+cosBsinC=^-sinBsinC+sinBcosC，可得cosBsinC=^^sin3sinC，

且。£（0,兀），贝！JsinCwO,可得tan5=g,

又因为。＜5＜兀，所以5=

BABDBDBCBABD_BDBC

（2）因为|BA|一|BC|，即..-

可得cosZABD=cos/CBD,BPZABD^ZCBD,

jr

可知平分/ABC,则NA3D=C3O=—,

即-acx^-=—BDxax—+—BDxcx—,整理可得也^='+'

222BDac

又因为9a+4c=25,

1Jc14c9。

>——13+2.--------=1,

251\ac

当且仅当"=",即。=鼠c=]时取等号，

ac32

可得,所以3。的最大值为

16.答案：⑴x+y-2=0

（2）24

解析：（1）由于边AC上的高3”所在直线方程为x-y+8=0,

所以设直线AC的方程为x+y+c=0,

由于点4（1,1）在直线AC上，即l+l+c=0,解得c=-2,

所以直线AC的方程为x+y-2=0.

⑵由于点C既满足直线5x-3y-10=0的方程，又满足％+丁-2=。的方程,

5x-3y-10=0[x=2/、

所以cc，解得C，故C2,0,

x+y-2=0[y=0

所以AC=J（2-l）2+（0-l）2=V2,

设由于点3满足直线x-y+8=0,故a-Z?+8=0,

设AB的中点坐标为1一,一；满足5x—3y—1。=。,

a+1b+1

所以5x------3x-----10=0,整理得5a—3b—18=0,

22

ci—b+S—0a=21"।/\

所以5a-36-18=0,解得b=29,所以呐29),

48r-

则点5(21,29)到直线x+y-2=0的距离d=~^=24加,

故Sac=；x|AC|xd=gx0x240=24.

17.答案：（1）73分合理

（3）22.25

解析：⑴由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，0.162=0.8a,

解得a=0.032,

又(0.008+0.016+0.032+0.04+〃)x10=1,解得b=0.004,

所以a=0.032,Z?=0.004,

成绩落在［50,70)内的频率为：0.16+0.32=0.48,

落在［50,80)内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88,设第60百分位数为加，

则(机—70)0.04=0.6—0.48,解得m=73,所以晋级分数线划为73分合理；

(2)由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为a,b,c,d和

A,B,

则所有的抽样有：Q=(AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd),共15个

样本点，

"抽到的两位同学来自不同小组”，

则A={Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd］共8个样本点，

所以尸⑷哈.

(3)因为元=90,所以石+々++x10=10x90=900,

所以—=而(%；+无；++襦)-9。2=52,

所以=81250,

剔除其中的96和84两个分数,设剩余8个数为和%3••…/，

平均数与标准差分别为京％

n/Hi人cA八业乙人心FiJikLM+X)+%++4900—96—84

则剩余8个分数的平均数：/=―-------=---------=90,

OO

方差：S；=W(X；+X：+-+X：)-9()2

=1(81250-962-842)-902

=22.25

18.答案：(1)答案见解析

0、回

\^)-------------

20

⑶半

o

解析：(1)因为NC=90。，则AC_L3C,

旦DEHBC,可得ACLOE,

将△ADE沿DE折起到△ADE的位置，始终有DELAQ,DELCD,

因为A。CD=D,A。，CDu平面AC。，所以DE,平面4。。，

由ACu平面AC。，可得。ELAC,

且ACLCD,CDDE=D,CD,DEu平面BCDE,

所以AC,平面BCDE.

(2)由(1)可知，AC,CD,直两两垂直，翻折前，因为DE经过△ABC的重心，且

DE//BC,

2

所以AD=2CD,所以CD=2,AD=4,DE=-BC=2,翻折后4。=4,

由勾股定理得4。=小曾―。埋2=742-22=26，

以C为原点，直线CD,CB,C4分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

fE

则C(0,0,0),4(0，。，2⑹,0(2,0,0),M(1,0,73),5(0,3,0),E(2,2,0),

可得CM=(1,0,Q),MB=(-1,3,-^,BE=(2,-1,0),

mCM=2+=0

设平面3MC的法向量机=(%，M，zJ,贝|J11,

m-MB=_玉+3%—6z[=0

令4=1,贝!］七=一石,M=。，可得7"=卜々30,1),

〃•MB——%2+3y2——0

设平面的法向量〃=(%,%，Z2)，贝!<-

n-BE=2X2-y2=0

令％=1,则%=2/2=5，可得〃=11

m-n

可得COS机,〃=^

mC2A/10_2Vid_20，

2x

V3

且加,〃e[0,71],则sinm,n=Jl-cos?m,n

所以二面角CMB-E的正弦值为"当.

20

（3）由（2）可知/=（0,—3,2后），BE=（2,-1,0）,4°=（2,0,—2石）

p-54=-3%+2^Z3=0

设平面ABE的法向量