南京某中学2025届高三7月零模模拟考试数学试题（解析版）

期初模拟考试

一、选择题

L若集合"=2=目｝,1如=3/+1｝,则（）

A.[0,+oo)B.[0,1]

C.[4,+oo）D,[l,+oo）

【答案】D

【解析】

【分析】先求得集合M，N,再求其并集即可.

【详解】由x—420,得xW4,故〃=[4,”），

由y=3尤2+1,得yNl,故"=[1,4<0),

故MuN=[l,+oo).

故选：D.

2.已知复数z满足z(l—i)=|l+i/,则z=()

A1-iB.l+iC.-1-iD.-l+i

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的模及除法运算求解.

【详解】由Z（l—i）=|l+i/得

故选：B.

3.已知等比数列｛%｝的公比为＜7,若4+%=12,且弓,。2+6,生成等差数列，则4=（）

33

A.—B.----C.3D.—3

22

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得结果.

【详解】•••％,4+6,%成等差数列，二2（。2+6）=4+%,又4+4=12,

「.2(12—q+6)=q+%,整理可得：3。1+%=3囚+囚，=36,

a+%\+q121

x­=记=§，解得：q=。(舍)或4=3.

3〃i+tz3

故选：C.

31

4.已知cos(a-/?)二一不以光(a+/)=二，贝|sinasin/?=()

3223

A.--B.——C.—D.—

5555

【答案】B

【解析】

【分析】由已知利用两角和与差的余弦公式化简，再将两式相减可求得结果.

33

【详解】由cos(a-/?)二-1，得cosocosA+sinasin/u—y,

由cos(a+J3)=g,得cos。cos，—sinisin/?=[,

3142

所以2sinosin0----—=sinasinf3---,

故选：B

5.已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为9后，则圆锥的高为()

A.73B.273C.3&D.373

【答案】D

【解析】

【分析】设圆锥的底面圆半径为厂，用厂表示高的长，由圆锥体积求得广的值，继而得高.

^-x2r=yf3r

【详解】设圆锥的底面圆半径为「，因圆锥轴截面为正三角形，故圆锥的高即

2

于是有3兀/*也­=96兀，解得厂=3,故圆锥的高为3君.

故选：D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性可得函数为偶函数，可排除CD,然后根据xe（O,7i）时的函数值可排除B.

【详解】因为/（x）=1l,el、

sinx=sinx,定义域为R,

'e-x-P

又/(-x)=sin(-x)=-sin%=/(x),

所以/（%）是偶函数，图象关于y轴对称，故排除CD,

又当为«0,兀）时,三彳〉O,sinx〉O,f（x）＞0,故排除B.

故选：A.

7.某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球.记用="第一次摸球

时摸到红球"，5="第一次摸球时摸到绿球“，&="第二次摸球时摸到红球”，G2="第二次摸球时摸到

绿球"，"两次都摸到红球”，G="两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（）

A.P（H）=P（Hj.P（鸟）B.P（G）=P（G1）+P（G2）

c.（对凡）=；Gj）+P（5

PD.P（G1G2）=I

【答案】c

【解析】

【分析】根据题意，利用条件概率的计算公式，以及相互独立事件的概念和计算，逐项求解，即可求解.

Aj

【详解】由条件概率的公式，可得===g或尸（41«）="|=3,故C正确；

7

9

因为R=Kn与，4小2不相互独立，所以P（R）wP（K）P（尺2）或尸（夫）=尸（用鸟）=—，

P（^）=P（7?17?2）+P（G1^）=1,P（i?,）=1,所以P（R）W尸（RjP（6）,所以A错误；

33A21

因P（G1）=-,P（G2）=P（i?1G2）+P（G1G2）=-,P（G）=P（G1G2）=-f=-）

///

所以P（G）wP（Gj+P（G2）,故B错误；

11

由p⑸GJ=喘U=

yCrj_3k（5）_3

77

2

则P（G2[G1）+P（G1|G2）=J,所以D错误.

故选：c.

8.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它

使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发现

电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间/和放电电流/

之间关系的经验公式：C=I"其中；I为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不

变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h,则该蓄

电池的Peukert常数％约为（参考数据：lg2ao.301,lg3ao.477）（）

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得C=7.5"x60=25"x15,再结合对数式与指数式的互化及对数的运算性质即可求

解.

【详解】由题意知C=7.5"x60=25"x15，

所以（得]=3=4,两边取以10为底的对数，得Xlgg=21g2,

21g22x0.301

所以％=“15

l-lg31-0.477

故选：D.

二、多选题

9.若正数a,Z?满足a+/?=l,则（）

B.2a+2b>2yf2

A.log,a+log2b<-2

C.a+lnZ?<0D.a2+b2<—

2

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用基本（均值不等式）可判断ABD的真假；设函数/（x）=l—x+lnx（0<%<1）,分析其单

调性，可判断C的真假.

【详解】因为。>0,/?>0且=所以l=a+bN2\/^=>abw：（当且仅当a=Z?=g时取

所以log?a+log?b=log2（ab）<log2^-=-2,故A正确；

2a+2]N2J2ax2=2=2及'故B正确；

iA—x

设〃x）=l—x+lnx（0<x<l）,则/■©）=—1+—=—^>0在（0,1）上恒成立，所以函数在

XX

（0,1）上单调递增，所以/■（1）</■⑴=0,

所以a+lnZ?v0成立，故C正确；

^a+b=l=>[a+b）2=l=>a2+2ab+b2=l,又或+投22ab，所以2（/+廿）21,即

a2+b2>-,故D错误.

2

故选：ABC

10.已知函数〃x）=log3（尤2—2x）,则下列结论正确的是（）

A.函数/（%）的单调递增区间是[1,+8）B,函数/（%）的值域是R

C.函数“X）的图象关于x=l对称D.不等式的解集是（—1,3）

【答案】BC

【解析】

【分析】根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.

【详解】对A：令2%>0,解得％>2或x<0,故"力的定义域为/=（—8,0）D（2,+8）,

：y=log3〃在定义域内单调递增，〃=%2—2%在（。,0）上单调递减，在（2,+8）上单调递增，

故/（%）在（-8,0）上单调递减，在（2,+巧上单调递增，A错误;

对B：VX2-2X=(X-1)2-1>-1,即y=Y—2x的值域M=

•••（0,+8）£4,故函数/（尤）的值域是R,B正确；

22

对C：•.•/（2-x）=log3（2-x）-2（2-x）=log3（x-2x）=/（x）,即—,

故函数/（%）的图象关于x=l对称，c正确；

2

对D：/（x）=log3（x-2x）<1=log33,且y=log3X在定义域内单调递增，

可得。<%2一2%<3，解得2cx<3或-1<%<0，

故不等式/（%）<1的解集是（-1,0）U（2,3）,D错误.

故选：BC.

11.如图，棱长为2的正方体ABC。—46GA中，E为棱。2的中点，产为正方形GCDA内一个动点

（包括边界），且男尸//平面ABE,则下列说法正确的有（）

A.动点尸轨迹的长度为&

B.三棱锥用-'EE体积的最小值为:

C.耳尸与45不可能垂直

D.当三棱锥用-已。口的体积最大时，其外接球的表面积为三兀

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A由4尸//平面ABE,联想到存在一个过男尸的平面与平面ABE平行，利用正方体特征找

到平面〃平面A41E,进而得到产的轨迹为线段MN,对B,根据棱锥体积公式分析即可，对C举反

例即可；对D,利用勾股定理求出外接球半径即可.

【详解】对A,如图，令CC]中点为中点为N,连接肱V,

又正方体ABCD-A4G2中，E为棱。2的中点，可得B[MHA.E,MN//CD,UBA,,

：.B[MII平面BAE,MNII平面BQ,又BXM=M,

且B[M,MNu平面B[MN,平面B】MNII平面B^E,

又男尸//平面ABE,且与e平面目MN,5]Fu平面gMN,

又尸为正方形G。。内一个动点（包括边界），.・.尸€平面与MNn平面GCD2,而=平面

用MNn平面GCDQ，

：.F^MN,即产的轨迹为线段MN.

由棱长为2正方体得线段的长度为夜，故选项A正确；

12

对B,由正方体侧棱4G，底面，所以三棱锥用体积为v=§4G卬^=§5©^，

所以△。万万面积S-01f最小时，体积最小，如图，•.・产eMZV,易得产在N处时25注最小，

此时5皿比=!人0-2石=工，所以体积最小值->故选项B正确；

对C,当产为线段MN中点时，由可得用E，MN,又CG中点为M,CR中点为N,

.-.MN//D.C,而AB//，。，.^.JB/，A3,故选项C不正确；

对D,如图，当尸在M处时，三棱锥耳的体积最大时，

由己知得此时FD=FR=FBi=^，所以F在底面B}DDy的射影为底面外心，

DD[=2,BR=20,DB1=273,所以底面BXDDX为直角三角形，

所以产在底面的射影为4。中点，设为。「如图，设外接球半径为R，

由收=OO「+O[B；=OO；+3,R+OOi=FOi=g可得外接球半径R=平，

外接球的表面积为4万4=与无，故选项D正确.

2

故选：ABD.

三、填空题

1=（2,1）,若则

12.已知平面向量2=（—1,左），Q+石二

【答案】回

【解析】

【分析】先根据向量垂直得坐标公式求出％,再根据向量的模的坐标公式即可得解.

【详解】因为力工坂,

所以a,。=-2+左=0，解得k=2,

故°+石=（1,3）,

所以卜+q=.

故答案为：Vw.

13.在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到A,B,C三个项目的志愿者工

作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加C项目，那么不同的志

愿者分配方案共有种（用数字表示）.

【答案】12

【解析】

【分析】分类讨论，结合排列组合即可求解.

【详解】分两种情况：（1）只有甲参加C项目，则有C；A；=6种分配方案；

（2）甲与另外一人共同参与C项目，则有A；=6种分配方案.

综上：共有12种分配方案.

故答案为：12

14.某个体户计划同时销售A,B两种商品，当投资额为无（尤＞0）千元时，在销售42商品中所获收益分

别为〃龙)千元与g(x)千元，其中/(x)=2x,g(x)=41n(2x+l),如果该个体户准备共投入5千元

销售A,8两种商品，为使总收益最大，则8商品需投千元.

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

【分析】列出利润关于投资5商品x千元的函数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最大值及对应的

x的值.

【详解】设投入经销8商品x千元(OWxW5),则投入经销A商品的资金为(5—x)千元，所获得的收益

S(x)千元,

则S(x)=2(5-x)+41n(2x+l)=41n(2x+l)-2x+10(0<x<5),

96—4丫

可得S，(x)=4x---------2=--

''2x+l2x+l

a

当时，可得S'(x)>0,函数S(x)单调递增；

当,<x45时，可得S(x)<0,函数S(x)单调递减;

所以当x=|时，函数S(x)取得最大值，最大值为s1|].

3

故答案为：一

2

四、解答题

15.已知VABC的内角A,B,C所对边分别为b,c,且/?=2,a2=(c—1)2+3.

(1)求A;

(2)a—4sinAsinB,求cosC的值.

TT

【答案】(1)V

3

(2)瓜一6

4

【解析】

【分析】(1)直接用条件6=2将等式—1)2+3齐次化，再比较余弦定理即可得出结果；

(2)使用正弦定理得到sinB=变，再进一步确定3=乌，然后用余弦和公式即可.

24

【小问1详解】

由已知条件Z?=2和4=(c—1)2+3有"=(c-l)2+3=c2-2c+22=c2-Z?c+&2.

^22_

2b1+C1-c1+bc-b1

所以由余弦定理可得cosA=3^——-=因为Ae(O,7i),

2bc2bc2bc2''

从而A=工.

3

【小问2详解】

若a=4sinAsin5,则结合正弦定理得4sin5=------=-------=-------

sinAsinBsinB

所以sin23=L,从而sinB=Y2,这得到3=四或3=型.

2244

2兀jr

而5=兀一A—。＜兀一A=——,故3=—.

34

所以cosC=cos(兀一A-3)=-cos(A+3)

=sinAsinB—cosAcosB

.n.717171V3y/21V2V6-V2

sin—sin——cos—cos—

34342-2-2，24

16.在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。是边长为2的正方形，PC±PD,二面角A—CD—P为直二

面角.

(1)求证：PBLPD-,

(2)当PC=?。时，求直线PC与平面乃45所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵叵.

5

【解析】

【分析】(1)根据面面垂直的性质定理可得平面PCD,进而得出6CJ_?D.然后即可根据线面垂直

的判定定理得出平面PBC,然后即可得出PBLPD；

(2)取CO中点为。，连结尸。.取A3中点为E,连结0E.由已知可证平面ABC。，

OELCD.以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面A45的一个法向量

方=（0,1,2）,即可根据向量法求出答案.

【小问1详解】

由题意知平面PCD_L平面ABCD,

又平面PC。。平面ABCD=CD,BCLCD,BCu平面ABC。，

所以6CL平面PCD.

因为PDu平面尸CD,所以BdY）.

又因为PCLPD,BCcPC=C,PCu平面P6C,BCu平面P3C,

所以2D,平面P3C.

因为P5u平面P6C,所以

【小问2详解】

取C。中点为。，连结PO.取A3中点为E，连结OE.

因为PC=?。，点。是。中点，所以POLCD.

又因为平面PCD_L平面ABCD,平面PCD。平面A6CD=CD，POu平面PCD,

所以POJ_平面ABCD.

因为点。、E分别是C。、的中点，所以O石〃AD,则OELCD.

则OP」CD=1,OE=AD=2.

2

以点。为坐标原点，8,OE,OP所在直线分别为苍%z轴，如图建立空间直角坐标系。-取z,

则0（0,0,。），D（l,0,0）,C（-l,0,0）,5（—1,2,0）,P（0,0,l）,E（0,2,0）,A（l,2,0）,

AP=（-1,-2,1）,AB=（-2,0,0）,PC=（-1,O,-1）.

设n=（%,y,z）是平面A43的一个法向量，

ft•AP=—2y+z=0

则＜—.,取y=l,则z=2,

n-AB=-2x=0

所以3=（0,1,2）是平面PAB的一个法向量.

-2_M

设直线尸C与平面RW所成的角为。，则Sine=，os伍4）n-PC

RM75x72—5

所以直线PC与平面乃45所成的角的正弦值为®

5

17.无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.

（1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值

。=0.001的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关:

晴雨

天天

命中4530

不命

520

中

n(ad-bc)

附：Z27-------77-------w-------77------7其中n=a+b+c+d

a0.150.100.050.0100.001

Xa2.0722.7063.8416.63510.828

（2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标

4

起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为彳，每次投弹是否击中目标相互

独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为,，击中目标两次起火点被扑灭的概率为2,击中目标

23

三次起火点必定被扑灭.

（i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望;

（ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.

【答案】(1)答案见解析

(2)(i)分布列见解析，—(ii)

5125

【解析】

【分析】(1)根据已知数据得到列联表，求出力？，即可判断;

(2)(i)由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；(ii)根据互斥事件的概

率公式求解可得

【小问1详解】

零假设"。：消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关

合

晴天雨天

计

命中453075

不命中52025

合计5050100

因为黑虫产心…

根据小概率值a=0.001的独立性检验，零假设不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有

关.

【小问2详解】

(i)起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0,1,2,3

3

p(x=o)=&j(x=i)=c；g

5II125

P(X=2)&囚工喂,*x=3)=4j-

\JJJJI125

X的分布列如下：

X0123

1124864

P

125125125125

击中三次被火扑灭的概率为名=

63264102

二所求概率p=---1----1---

125125125125

18.已知函数/(x)=a(x-l)-lnx(aeR).

(1)求函数/(尤)的单调区间；

(2)若人力20恒成立,求实数。的取值集合.

【答案】(1)答案见解析

⑵{1}

【解析】

【分析】(1)先求函数的定义域，再求导，分类讨论aWO和a>0,即可求解函数的单调区间；

(2)结合(1)知，当aWO时，不合题意，则a>0,将〃上0恒成立等价于/(%)血/0，令

g(a)=l—a+lna,利用导数研究g(a)的单调性即最值，即可求解.

【小问1详解】

由题意得：/(力的定义域为(0,+。)，

八力=J=竺匚，

XX

当aWO时，/，(%)<0,则/(%)单调递减区间为(0,+“)，无单调递增区间，

当a>0时，令/'(£)=0,解得：x=j,

所以当时，/,(%)<0,

当xe(，,+oo］时，/(%)>0,

所以/(%)的单调递减区间为1o,单调递增区间为Q,+s］,

综上所述：aWO时，则/(力的单调递减区间为(0,+“)，无单调递增区间，

a>0时，/(%)的单调递减区间为〔0,：］,单调递增区间为+8.

【小问2详解】

当aWO时，/(2)=a-ln2<0,不合题意，

当a>0时，由(1)知/。*正=l—a+lna,

则1—a+lna20,

令g(Q)=l—a+ln〃，则/(〃)=，—1,

所以当ae(O,l)时，g'(a)>0,

当ae(l,+8)时，g'(a)<0,

所以g(a)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以g(叽ax=g(l)=。,

所以。=1,

实数。的取值集合为{1}.

221

19.已知椭圆C：=+与=1(。〉6〉0)的离心率为一，左、右焦点分别为片，歹2,上、下顶点分别为