动点问题的函数图象之与特殊四边形相关模型-2024-2025年中考数学复习之函数模型

动点问题的函数图象之与特殊四边形相关模型

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模型示例:

如图1,点E在正方形ABC。的边BC上，且BE=；BC,点、P沿BD从点B运动到点

D,设2,P两点间的距离为x,PE+PC=y,图2是点尸运动时y随x变化的关系图象,

若图象的最低点M的纵坐标为而，则最高点N的纵坐标。的值为

第①步先确定图象中点M的纵坐标质是PE+PC的最小值，进而求出钻,A3等相关量:

连接”，：四边形ABCZ）是正方形，80是其对角线,

80所在直线是正方形的对称轴，点AC关于如对称,

PA=PC,

y=PE+PC=PE+AP,

连接AE交BD于点产，

:.PE+AP>AE.

当点P运动到P时，ynin=AE=^0.

:BE=-BC=-AB,

33

AE=^AB~+BE-=^AB2+(^AB)2=率AB=A/10.

解得AB=3,

.-.AD=AB=CD=BC=3,EC=BC-BE=-BC=2.

3

第②步确定当尸运动到。点时，对应图2中最高点N,进而求解:

连接DE，则r>E=JECJCD2=《展+乎=岳.

在图1中，当尸运动到。点时,对应图2中最高点N,此时y取最大值a,a=AD+DE=3+y/13.

适用范围：已知特殊四边形中相关点的运动图象，求四边形中的有关线段的长或面积等.

目！Ssf

由图象寻找特殊点，结合四边形求出有关量，数形结合是关键.

（jMadill”

如图1,矩形A2CD中，=点尸沿BC从点B运动到点C,设B,尸两点间的距

离为无，PA-PE=y,图2是点P运动时y随无变化的关系图象，则3c的长为（）

日日参考答案

3.

思路引导

由题意知，当x=。时,P、8重合，PA-PE=AB-BE=1,由B4—PEWAE,可知y的最

大值为AE=5,由勾股定理得（班+1）2+跖2=52,求出满足要求的3E,进而可求BC.

di详细解析

解：由题意知，当尤=0时，P、3重合，PA-PE=AB-BE=\,

'/PA-PE<AE,

试卷第2页，共6页

的最大值为AE=5,

由勾股定理得，AB2+BE2=AE2,BP（BE+1）2+BE2=52,

解得，BE=3或BE=-4（舍去），

BC=3BE=9,

故选：B.

变式题

1.如图1,在长方形ABC。中，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿

3C—CD-ZM运动至点A停止，设点P运动的时间为右，AAB尸的面积为y.如果y关于

x的变化情况如图2所示，则VABC的面积是（）

D.80

2.如图1,在平行四边形ABCL（中，AD^9cm,动点P从A点出发，以Icm/s的速度沿着

AfCfA的方向移动,直到点P到达点A后才停止.已知△PAD的面积y（单位：cn?）

则图2中6的值为（）

A.34B.35C.36D.37

3.如图1,矩形ABC。中，8。为其对角线，一动点尸从。出发，沿着Of3->C的路径

行进，过点尸作垂足为。.设点P的运动路程为无，PQ-DQ为y,y与尤的函

数图象如图2,则AD的长为（）

4.如图①，在正方形A3CD中，E为BC的中点，动点尸从点A出发沿A3方向匀速运动,

运动到点8停止，连接将以'绕点。逆时针旋转90。得到DG,连接歹G,FE和CG,

设点F的运动路程为x,AEEG的面积为y，y与x的函数图象如图②所示,则正方形A2CD的

边长为（）

C.5D.6

5.如图1,在矩形ABC。中，点尸从点A出发，匀速沿AB-B方向点。运动，连接OP,

设点P的运动距离为X,DP的长为y,y关于X的函数图象如图2所示，则当点尸为A8中

点时，DP的长为.

6.如图1,点尸从菱形ABCD的边AD上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿

直线运动到点C停止，设点P的运动路程为x,点P到AB的距离为m,到C。的距离为m,

VI

且y=—（当点P与点C重合时，y=。），点尸运动时y随x的变化关系如图2所示，则菱

m

形ABC。的面积为.

试卷第4页，共6页

D

AC

图1图2

7.正方形与等边按如图所示方式叠放，顶点C重合，点厂在边AD上，直线/

垂直CE,与直线AD和折线E-/-C分别交于N、M两点，/从点E出发，运动至点C停

止，设/移动的距离为无，S；=y，运动过程中y与X的函数如图所示，则AF的长为.

8.如图1,平行四边形ABCD中，ZD=150°,两动点M,N同时从点A出发，点M在

边48上以2cm/s的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A-O-C-3的路径匀速

运动，到达点8时停止运动.AAMN的面积S（cn?）与点N的运动时间f（s）的关系图象如图

2所示，已知AB=4cm.

（2）c处的数值等于

9.如图1,在长方形ABCD中，E为AB边上一点,其中8c=18cm,BE=8cm.动点尸从

8开始，以6cm/s的速度沿3fCfO路线运动，然后改变速度后再沿O-A路线运动,

到点A停止.图2是点尸出发f秒后，ABPE的面积S（cn?）随时间《s）变化的图象.根据图

中提供的信息回答下列问题:

(2)当动点尸沿Df4路线运动时，求此时点P的速度；

(3)点尸出发几秒时，ABPE的面积是长方形ABCZ)面积的;?

10.如图1,在长方形ABCD中，AB=6cm,£为48边中点.动点尸从点8开始，以3cm/s

的速度沿CfOfA路线运动，到点A停止.图2是点P出发t秒后，ABPE的面积S(cm?)

随时间f(s)变化的图象.根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)BC=cm；点A/表示的实际意义是；

(2)当点尸在ZM上运动时，求ABPE的面积为9cm2时，的值；

⑶如图3,当点P从点B出发时，动点Q同时以xcm/s的速度从C点出发，沿CD边运动,

当点尸运动到点C时，尸、。两点停止运动.当x为何值时，△P3E与△尸C。全等，请直

接写出尤的值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.c

【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据三角形面积计算公式可知当点P运动

到点C,。之间时，S^BP=^AB-BC,此时面积不变，结合函数图象可知，当x=4时，面

积开始不变，当x=9,面积继续变化，则AB=Cr>=10,0到4秒后点尸从点8运动到点C,

可得3c=2x4=8,再根据三角形面积计算公式求解即可.

【详解】解：动点尸从点B出发，沿BC—CD-DA运动至点A停止，当点尸运动到点C,

D之间时，S^BP=^AB-BC,此时面积不变，

由函数图象可知，当x=4时，面积开始不变，当x=9,面积继续变化，

AB=CD=2X（9-4）=10,0到4秒后点尸从点2运动到点C,

：.BC=2x4=8,

SZ.AAARoCr=-2ABBC=2-x8xl0=40,

故选：c.

2.C

【分析】首先由图②可得点P从点A运动到点8所用的时间为10s,再根据平行四边形的性

质得3C=AD=9cm,则点P从点8运动到点C所用的时间为9s,然后分别过点B,C作AO

的垂线于E,CF_LAD交AD的延长与尸，先求出BE=8cm,AE=6cm,然后证

△ABE1和△£>（才全等得GAEufyJGcm,据此可求出AC=17cm,于是可求出点尸从点C

运动到点A所用的时间为17s,进而可求解.

【详解】解：由图②可知点P从点A运动到点8所用的时间为10s,

:点P运动的速度为lcm/s,

AB=10xl=10（cm）,

:四边形ABC。为平行四边形，AD=9cm,

二BC=9cm,AB=CD=10cm,AB//CD,

•••点P从点8运动到点C所用的时间为：9+l=9（s）,

点尸从点A运动到点C所用的时间为：10+9=19（s）,

a=19；

分别过点8,C作AD的垂线于E,CFLAD交AD的延长线于R则

答案第1页，共9页

/BEA=NCFD=90°,如图:

由图②可知：=36,

A-AD-BE=36,

2

即：—x9xBE=36,

2

BE=8cm,

在Rt/VLBE中,AB=10cm,BE=8cm,

由勾股定理得：AE=VAB2-BE2=A/102-82=6(cm),

'：AB//CD,

：./BAE=/CDF,

在aABE■和△OCF中，

ZBAE=ZCDF

<ZBEA=ZCFD=90°,

AB=CD

：.小ABE均DCF(AAS),

AE=DF=6(cm),

在RtAAC/中，CF=BE=8cm,AF=AD+O尸=9+6=15(cm),

由勾股定理的：AC=y/CF2+AF2=7S2+152=17(cm),

・••点P从点C运动到点A所用的时间为：17-M=17(s),

・•・8=19+17=36,

故选：C.

【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性

质，勾股定理等，理解题意，读懂函数的图象，从函数图象中提取解决问题的信息，正确的

作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键.

答案第2页，共9页

3.B

【分析】根据图象的信息，得当P在BC上运动时，此时C与。重合，根据矩形的性质，得

y=PQ—DQ=BD+BC—x—DC,根据图象信息，得当x=4时，y=0即BD+BC—A—DC=0,

当x=3D+3C时，y^~2^BD+BC-BD-BC-DC=-2,

利用勾股定理，矩形的性质解答即可.

本题考查了矩形的性质，勾股定理，图象信息处理，熟练掌握定理和性质是解题的关键.

【详解】解：根据图象的信息，得当P在上运动时，此时C与。重合，

根据矩形的性质，^y^PQ-DQ=BD+BC-x-DC,

根据图象信息，得当x=4时，y=0即3r>+3C-4-OC=0,

当x=BD+3C时，BD+BC-BD-BC-DC=-2,

解得B£>+8c=6,Z)C=2,

故即+AD=6,OC=2

又BD?=AD?+DC?,

故(6—A£>y=Ar>2+22.

Q

解得=

故选B.

4.B

【分析】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，能从

图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键.

证明AADP丝ACDG(ASA),得出AF=CG,由图②得，当尤=1时，y=4.5,即当AF=1时，

S百c=4.5,根据三角形面积公式求出。即可求出边长.

【详解】解：••・四边形ABC。为正方形，

:.AD=CD,ZADC=90°,

■：AFCG=90°,

:.ZADF=NCDG,

ZDAF=ZDCG=90°,

:.△ADFWACDG(ASA),

:.AF=CG,

答案第3页，共9页

由图②得，当尤=1时，y=4.5,

即当点Ab=1时，S.c=4.5,

设正方形边长为2a,

/.BF=2a—1,

•.•E为中点，

/.CE=a9EG=a+l,

^GEBF=4.5,gp|(a+l)(2a-l)=4.5,

二.%=2,=——(舍去)，

;.AB=4.

故选：B.

5.V13

【分析】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关

键.通过观察图2可以得出AD=3,AB=a,BD=a+l,由勾股定理可以求出。的值，当P

为A3的中点时AP=』AB=2,由股定理求出DP长度.

2

【详解】解：因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象x=0时＞=3,则仞=3,

尸从A向B移动的过程中，DP是不断增加的，而尸从8向。移动的过程中，DP是不断减

少的，

因此转折点为B点，P运动到B点时，即x=a时，AB=a,此时y=a+l,

BPBD=a+\,AD=3,AB=a,

在RtA&LD中，由勾股定理得：AB2+AD1=BD1,

a2+32=(tz+l)\

解得＜7=4,

AB=4,

当尸为48的中点时AP=」AB=2,

2

DP=^AP2+AD2=722+32=V13,

故答案为：＞/13.

6.6A/7

答案第4页，共9页

【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，动点问题的函数图象，

解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质以及勾股定理.

连接AC,交于点0,连接。尸，由当04尤＜2时，y的值恒等于1,推出点尸的运动路径

是△ADC的中位线，则可得到CD=2x2=4,再由当x=5时，y=0,求出OC=3,由菱形

的性质求出AC,BD的长即可得到答案.

【详解】解：连接AC即交于点。，连接OP,如图，

由题意知，当。4x42时，V的值恒等于1,

m=n,

点尸的运动路径是几位）。的中位线，且CD=2x2=4.

\,当x=5时，y=°,

/.OC=3.

由菱形的性质可得AC=2OC,BD=2OD,ACLBD,

:.AC=2OC=6,

:.OD=7CD2-OC2=A/7，

BD=2OD=2近，

SWABCD=|BO-AC=1X277x6=6A/7,

故答案为：6A/7.

7.273-2##-2+273

【分析】根据函数图像可知，当/从点E出发，运动至点C时，V取得最大值，即x=4,根

据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得ARDF即可求解.

【详解】解:根据函数图像可知，当Z从点E出发，运动至点C时，＞取得最大值，即EC=x=4,

'.1等边△CEF

:.CF=CE=EF,ZECF=60°

•••ABCD是正方形，

ZBCD=90°,CD=AD,

答案第5页，共9页

:.ZFCD=30°,贝！JFD='C尸=2,

2

CD=y/3FD=2A/3.

AF=AD-FD=2y/3-2.

故答案为：26-2.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，正方形，等边三角形的性质，含30度角的直角

三角形的性质，勾股定理，从函数图像上获取信息是解题的关键.

8.110

【分析】本题主要考查动点问题的函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含30。直角三角

形的性质，由点M的速度和路程可知，/=2时，点M和点8重合，过点N作于点

E,求出AE的长，进而求出AN的长，得出N点的速度；由图2可得当f=3时，点N和点。

重合，进而可求出AD的长；即可求解.

【详解】解：：AB=4cm,点加的速度为2cm/s,

当点M从点A到点B,用时f=4+2=2（s）,

当f=2时，过点N作于点E,

2

NE=1,

在口ABC。中，Z£>=150°,

AB//CD,AB=CZ）=4（cm）,AD=BC,

=30。，

/.AN=2NE=2（cm）,

点的运动速度是2+2=lcm/s；

...点N从。到C,用时t=4+l=4s,由图2可知，点N从A到。用时3s,

AD=BC=3cm,

c=（3+4+3”l=10（s）,

答案第6页，共9页

故答案为：1；10.

9.(1)3,12,72

(2)4cm/s

949

⑶了秒或q-秒

【分析】本题考查了从函数图象获取信息，三角形的面积公式；

(1)先求出点。在上的运动时间，根据函数图象得出Q=3,进而根据三角形面积公式

求出"当3＜，＜5时，点尸在8上，得出C。；

(2)根据尸从。到A的运动时间为9.5-5=4.5,用路程除以时间，即可求解.

(3)先求出长方形面积，进而求出S,再分点尸在上运动和点尸在上运动两种情况

分别建立方程求解即可.

【详解】(1)解：依题意得，当点尸在3C上运动时，BP=6t,

'：BC=18

：.61=18,

解得：t=3；

根据图2可得，。=3,

1

=—xl8x8=72cm92

2

当3＜，＜5时，点尸在CD上，

・•・CD=6x(5-3)=12cm,

故答案为：3,12,72.

(2)解：・・・尸从。到A的运动时间为9.5-5=4.5s

.18//

..v=——=4cm/s；

4.5

(3)解：VBC=18cm,CD=12cm,

2

•*,S长方形ABCD=BC-CD=216cm,

1

S=216x-=54cm29；

4

当点尸在5C上运动时，BP=6t,

S=—x8x6z=54,

2

答案第7页，共9页

解得好小9

当点尸在AZ）上运动时，=18-4（/-5）=38-4/,

/.S=1x8x（38-4f）=54,

解得公？；

O

9491

综上所述，当点P出发J秒或:秒时，ABPE的面积是长方形池。面积的;.

484

10.⑴9；点尸运动5s到点。时，ABPE的面积为13.5cm?

⑵r=6

（3）尤=2或3

【分析】本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式.