整式的运算与因式分解（讲练）-2023年中考一轮复习

2023耳中考敏老总复习一裕耕依恻（）

第一单克极易式

考版02卷式的运算房出式名、解（钎秣）

厂一复习目标

热身练习

__________________________/--，---------------------

整式的运算与因式分解］I基础梳理

考点一整式及其加减运算

［考点二、鬲的运算

------------考点三、整式的乘除及化简求值

深度讲练考点四、乘法公式及应用

［考点五、因式分解

考点六、数字与图形的变化规律

0

1、能并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算.

2、掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；掌握同类项的有关应用.

3、掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简

及求值.

4、同底数幕的乘法运算性质的过程，感受早的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力.

5、了解整式乘法的有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算以及化简求值问题.

6、会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解.

7.会用提取公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）.

1.（2022•嘉兴）计算/.0=（）

A.aB.3aC.2a2D.a3

【分析】根据同底数幕相乘，底数不变，指数相加，即可解决问题.

【解答】解：原式=/2=/.

故选：D.

2.(2022•台州)下列运算正确的是()

A.a1-a3=a5B.(a2)3=a,C.(a2b)3-a2b3D.a6-i-a3=a2

【分析】根据同底数的幕的乘除，幕的乘方与积的乘方法则逐项判断.

【解答】解：a2-a3=a5,故/正确，符合题意；

(。2)3=/,故8错误，不符合题意；

(a26)3=a6b3,故C错误，不符合题意；

a6^a3=a3,故D错误，不符合题意；

故选：A.

3.(2022春•余杭区期中)已知9,=25〉=15,那么代数式(x-l)(y-l)+孙+3的值是()

A.4B.3C.2D.1

【分析】先关键已知条件得到x+y=2xy,在整体代入到整理后的代数式即可.

【解答】解：；9'=25y=15,

9xy=15v,25砂=153

.•.15X+〉=(9X25甲=(3x5)2力

:.x+y=2xy,

(x-l)(j-l)+xy+3

=xy-{x+y')+\+xy+3

=2xy-(x+y)+4

=4.

故选：A.

4.(2022•金华模拟)把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0,往上第

2个数字是6,第3个数字是21,…，则第10个数字是()

012345

A.378B.372C.482D.389

【分析】观察根据排列的规律得到第1个数字为0,第2个数字为0加6个数即为6,第3个数字为从6开

始加15个数得到21,第4个数字为从21开始加24个数即45,…，由此得到后面加的数比前一个加的数

多9,由止匕得至U第"个数字为0+6+(6+9xl)+(6+9x2)+(6+9x3)+(6+9x4)+..+[6+9x(〃-2)](〃>2),

然后得到结论.

【解答】解：••・第1个数字为0,

第2个数字为0+6=6,

第3个数字为0+6+15=21=0+6+(6+9x1)

第4个数字为0+6+15+24=45=0+6+(6+9*1)+(6+9*2),

第5个数字为0+6+15+24+33=78=0+6+(6+9xl)+(6+9x2)+(6+9x3),......,

第"个数字数字为0+6+(6+9x1)+(6+9x2)+(6+9x3)+(6+9x4)+..+[6+9x(〃_2)](〃>2),

.,.第10个数字数字为0+6+(6+9x1)+(6+9x2)+(6+9x3)+(6+9x4)+..+[6+9x(10-2)]=378,

故选：A.

5.(2021•勤州区模拟)如图，在矩形/BCD中，将两种直角边长分别为。和6(。>6)的等腰直角三角形按

设图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张等腰直角三角形纸片均有重叠部分)，矩形未被这两张等腰

直角三角形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1阴影部分的面积为图2中阴影部分的面积为邑.当

AD=S,NB=10时，百-邑的值为()

图1图2

A.a+b—9B.a+b—7C.a+b—6D.a+b—5

【分析】延长尸G交/。于点E,过G作GHLND于“，延长/K交CD于点N,过K作KCCD于Z,

先根据题意表示出M、GH、MN和KZ的长度，进而表示出岳和邑，再计算月-邑即可得出答案.

【解答】解：如图，延长PG交/D于点£,过G作GHLND于〃，延长瓜交CO于点N,过K作KZJ.CD

于£,

■■■ADQF=ZDFQ=ZAEP=NAPE=45°,

AGEb为等腰直角三角形，

•••GHLAD,

EH=HF=GH,

■：AD=8,AS=10,

:.EF=a+b-8,GH=^(a+b-8),

同理：MN=a+b-lO,KL=^(a+b-lQ),

,22

.•..S1=8xl0-1a-1z7+i-(a+/7-8)xi-(a+/)-8)

=80--a2--b2+-(a+b-^2,

224

22

S2=8x10-1a-1z>+1(t7+Z>-10)xl(a+Z)-10)

=80-：/一;/+；(a+6—10)2,

：.s{-s2

=80--a2--Z>2+-(a+/>-8)2-[80--a2--^2+H：a+Z7-10)2]

224224

=80一家-；62+3+6-8)2-80+好+32-卜+6-10)2

1,1,

=-(a+&-8)2--(a+Z7-10)2

44

=-[(a+/)-8)+(a+/>-10)][(a+Z)-8)-(a+/>-10)]

4

=；(2a+26-18)x2

=；x2(a+b-9)x2

=a+Z?—9，

故选：A.

6.(2022•富阳区二模)计算4q+2a-3a的结果等于_3Q_.

【分析】根据合并同类项的法则计算即可.合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数,

字母和字母的指数不变.

【解答】解：4a+2a-3a

=(4+2—3)。

=3a.

故答案为：3a.

7.(2022•椒江区二模)若/一2%—3=0,则3%2一6%-6=3.

【分析】根据题意得：/_2%=3,整体代入求值即可.

【解答】解：•・・——2x—3=0,

/.x2-2x=3,

原式=3C?_2x)_6

=3x3—6

=9-6

=3.

故答案为：3.

8.(2022•余杭区一模)已知(a+b)2=64,a1+Z>2=34,则仍的值为15

【分析】利用完全平方公式进行计算，即可得出答案.

【解答】解：（«+b）2=64,

/./+/+2ab=64,

•.•/+〃=34,

34+2ab=64，

ab=15，

故答案为：15.

9.（2022•镇海区校级模拟）对正整数"，记lx2x...x〃="！若M=l!x2!x...x6!,则M的正因数中

共有完全立方数为10个.

【分析】先把M分解成=212x35x52的形式，然后分别讨论2%35,52,含有的立方数约数，最后求解.

【解答］解：M=\!x2!x3!x4!x5!x6!=212x35x52,

•・•一个完全立方数〃（几属于M）应该具有的形式为〃=23*33丁53z（x,y,Z均为自然数），且3/12,3%5,

3z,,2，

故这样的〃有5x2x1=10个,

故答案为10.

10.（2022•丽水二模）如图1,将一个边长为10的正方形纸片剪去两个全等小长方形，得到图2,再将剪

下的两个小长方形拼成一个长方形（图3）,若图3的长方形周长为3。，则6的值为一《一

图3

【分析】根据图形给出的已知条件列出算式，进行整式加减即可得结论.

【解答】解：观察图形可得:

图3的长方形的周长30=2（10-6）+2（10-36），

解得6=2.

4

故答案为：

4

11.(2022•温州校级模拟)计算：(1)V9-(^+l)0+(1)-'-2cos60°；

化简：(2)(x-2)(x+2)+x(l-x).

【分析】(1)根据实数的混合运算法则，先计算算术平方根、零指数毫、负整数指数累、特殊角余弦值,

再计算加减.

(2)根据整式的混合运算法则，先计算乘法，再计算加法.

【解答】解：(1)V9-(^+l)°+(1)-1-2cos60°

=3-l+2-2x-

2

=3-l+2-l

=3.

(2)(x-2)(x+2)+x(l-x)

——4+x—%?

=x-4.

12.(2022•萧山区二模)化简：(x+2>-(x+l)(尤-1).

方方的解答如下：

(X+2)2-(X+1)(X-1)=X2+4-X2-1=3.

方方的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程.

【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答.

【解答】解：方方的解答不正确，

正确的解答过程如下：

(x+2)2—(x+1)(%—1)

=x2+4.v+4—(x2-1)

=x2+4%+4-x2+1

=4x+5.

13.(2022•永嘉县三模)(1)计算：V4+1-3|-(V5)°+(-2)x3.

(2)化简：(加一”)(2加+3〃)—工冽(2加+8〃).

【分析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；

(2)先利用多项式乘多项式、单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项.

【解答】解：(1)原式=2+3-1-6

=-2；

(2)MS,=2m2+3mn-2mn—3n2-m2—4mn

=m2-3mn-3n2.

14.(2021•余杭区模拟)给出三个多项式：①/+3M一262,②/一3a6,③仍+6/.请任请选择两个多

项式进行加法运算，并把结果分解因式.

【分析】任选两式利用整式的加减运算合并同类项，再利用公式法分解因式即可.

21222

【解答】解：①+②得：a+3ab-2b+b-3ab=a-b=(a+b\a-b).

①+③得：a2+3ab-2b2+ab+6b2=/+4ab+4b2=(a+2b)2.

②+③得：b~-hab+ab+6b2=1b1-lab=b(Jb-2a).

15.(2019•拱墅区校级模拟)已知a,6互为相反数，

(1)计算：a+b,a1-b2,a3+b3,a4-b4,......的值.

(2)用数学式子写出(1)中的规律，并证明.

【分析】(1)用平方差公式计算用降次的方法将/+/化为g+6)(/一必+/)的形式求

解；

(2)总结代数式的规律为a"+(-1)向6"=0,然后分〃为奇偶数讨论证明即可.

【解答】(1)-：a=-b,

:.a+b=0,

a2-b2=(a+b)(a-b)=0,

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=0,

a4-b4=(a2-b1)(a2+/)=(Q+b)(a-b)(a2+b2)=0

(2)通过上面的计算可得：陵+(-1)"b=0

证明：①当〃为奇数时，

a"+(-iy+'b"^an+b",

■：由杨辉三角知优+6"总可以表示为(a+6)乘以一个整式的积的形式,

a"+b"=0,

②当〃为偶数时，设〃=2加，7M为整数，

a"+㈠严，=a"_6”

=a2m-b2m

=(，')2-3m)2

=(am-bm)(am+bm)

而(a'"+，)也是最终总可以表示为(a+6)和一个整式的乘积,

:.^a=-b,a"+(T)”“=0成立.

1.整式的概念及整式的加减

(2)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,单独一个数或一个字母也叫单项

式.一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数,单项式中的数字因数叫做这个单项式

的系数.

(2)多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式,多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式

的次数,不含字母的项叫做常数项.

(3)整式：单项式和多项式统称为整式.

(4)同类项以及合并同类项法则：多项式中，所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类

项.合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.

2.整式的乘除

(1)幕的运算性质：

(1)同底数幕相乘：am•an=am+n(m,n都是整数，a#0).

(2)幕的乘方：〃都是整数，aWO).

(3)积的乘方：(")"=♦•b"(n是整数,a#0,6W0).

(4)同底数幕相除：d"+a"=a"「"(m,n都是整数，。/0).

(2)整式乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幕分别相乘，其余字母连同它的指数不变，

作为积的因式.

单项式乘多项式：m(a+6)=7力。+mb.

多项式乘多项式：(。+6)-+m=改+/+式+4.

(3)乘法公式：

①平方差公式：(a-\-b')(g—b}=a2—b2.②完全平方公式：(a+b')2=a2+2<7Z>+Z>2.

(4)整式除法：

单项式相除，把系数、同底数塞分别相除,作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指

数作为商的一个因式.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

3.因式分解

(1)因式分解的概念：

把，一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解.因式分解与整式的乘法是互逆变形.

(2)因式分解的基本方法：

①提取公因式法：ma-\-mb-\-mc=m(g-\-b-\-c).

②公式法：运用平方差公式：a2—b2=+.

运用完全平方公式：a2+2ab+b2—(a±b)2.

(3)因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式.

②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；如果项数较多，要分组分解.

③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式

需写成幕的形式.

④意题中因式分解要求的范围，如在有理数范围内分解因式，x4-9=(x2+3)(x2-3)；在实数范围内分解因

式，X，-9=(/+3)(x+3)(x—3)，题目不作说明的，一般是指在有理数范围内分解因式.

考点一卷W4共加满运算

例1.(2022秋•金东区期中)先化简，再求值.

(1)(3a2-7a)+2(a2-3a+2),其中。=1.

(2)3孙(3丹-2孙2)-4(xy2-x2y),其中x=-4,y=l.

【分析】(1)先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答；

(2)先去括号，再合并同类项，然后把x,y的值代入化简后的式子进行计算即可解答.

【解答】解：(1)(3a2-7a)+2(a2-3a+2)

=3a2-7a+2q2-6a+4

=5a2-13a+4,

当a=l时，原式=5X12-13X1+4

=5-13+4

=-4；

(2)3xy2+C3x2y-2xy2)-4(xy2-x2y)

=3xy2+3x2y-Ixy2-

=-3盯2+71,

当x=-4,y=l时，原式=-3X(-4)X12+7X(-4)2X1

=12X1+7X16X1

=12+112

=124.

【变式训练】

1.(2022秋•西湖区校级期中)下列说法正确的是()

A.q是代数式，1不是代数式

B.—生罂的系数—需，次数是4

C.孙的系数是0

D.。、6两数差的平方与°、6两数的积的4倍的和表示为(a-b)2+Aab

【分析】根据代数式、单项式、多项式的概念及单项式的次数、系数的定义解答.

【解答】解：/、。是代数式，1也是代数式，原说法错误，故此选项不符合题意；

B、单项式-出察的系数是-普，次数是3,原说法错误，故此选项不符合题意；

C、xy的系数是1,原说法错误，故此选项不符合题意；

D、a、b两数差的平方与a、6两数的积的4倍的和表示为(a-b)2+4ab,原说法正确，故此选项符合

题意.

故选：D.

2.(2022秋•拱墅区期中)代数式2(4b-1)去括号后得()

A.a-Sb-1B.a-8b+lC.a-Sb-2D.a-8/)+2

【分析】直接利用去括号法则化简判断得出答案.

［解答］解：a-2(4/j-1)=a-86+2,

故选：D.

3.(2022秋•金东区期中)已知-5%，3和9/y是同类项，则冽-〃的值是()

A.-1B.-5C.1D.5

【分析】根据同类项的定义，求出加、〃的值，再代入计算即可.

【解答】解：因为-57>3和9壮〃是同类项，

所以m=2,〃=3,

所以m-n=2-3=-1,

故选：A.

4.(2022秋•西湖区校级期中)化简：

(1)3加2-2H2+2(/-〃2)

(2)xy+2y2+(x2-3xy-2y2)-2(x2-xy)

【分析】(1)先去括号，再合并同类项即可；

(2)先去括号，再合并同类项即可.

【解答】解：(1)3加2-2层+2(加2-加2)

=3冽2-2n2+2m2-2n2

=5冽2-4〃2；

(2)xy+2y2+(x2-3孙-2y2)-2(x2-盯)

=xy+2y2+x2-3xy-2j2-2x2+2xy

=-x2.

5.(2022秋•拱墅区期中)求值：

(1)当。=-2时，求4/-3a-(2a^+a_1)+2(2-Q2-4Q)的值；

1Q111

(2)当|x-1|+S+2)2=0时，求一分3?2_豺+分3y2+甘砂73y-5+X3J的值.

【分析】(1)首先利用去括号法则去括号，注意括号前面是负号时，去掉括号和负号后，括号里的每一

项都要改变符号，再合并同类项，最后把。的值代入计算即可.

(2)根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后将代数式化简再代值计算.

【解答】解：(1)442-3a~(1a~+a-1)+2(2-a2-4a)

=4a2-3。-2a2-a+1+4-2a2-8a

-12〃+5,

将。=-2代入得：

原式=-12X（-2）+5=29；

（2）V|x-1|+。+2）2=0,

.*.%-1=0,尹2=0,

•»%=1,y~~2,

132913711Q3

-尹丁尹+尹丁+~4xy-x?-5+x?

1u

=-^xy-5,

当x=\,y=-2时，

原式=*X1X（-2）-5

=-1-5

=-6.

考点二、果的运算

例2.（2022秋•江北区校级期中）（1）若10A=3,10丫=2,求代数式用户制的值.

（2）已知:3加+2〃-6=0,求8那的值.

【分析】（1）直接利用同底数幕的乘法运算法则将原式变形求出答案；

（2）直接利用同底数嘉的乘法运算法则将原式变形求出答案.

【解答】解：⑴V10^=3,10y=2,

二代数式l（）3x+4v=（10、）3X（10v）4

=33X24

=432；

(2)•；3加+2〃-6=0,

3加+2〃=6,

.・.8加•4〃=23m•*n=23W+2W=26=64.

【变式训练】

1.（2022春•拱墅区期末）下列运算正确的是（）

A.a*a2=a2B.2a+3b=5ab

C.a6-a2=a4D.(-2a2)3=-8a6

【分析】利用合并同类项的法则，同底数幕的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可.

【解答】解：A.a-a2=a\故N不符合题意；

B、2a与"不属于同类项，不能合并，故8不符合题意；

。、法与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；

D、(-2a2)3=-8a6,故。符合题意；

故选：D.

2.(2022春•鹿城区校级期中)(—3)2。2小(—抒。22的值为()

1

A.1B.-1C.D.-3

【分析】利用积的乘方的法则进行求解即可.

【解答】解：(—3)2021X(-，。22

=(-3)2021X(-1)2021X(-1)

=[(-3)X(-1)]2021X(-1)

=仔021x(_1)

1

=1X(-R

1

=一子

故选：C.

3.(2022春•海曙区校级期中)已知1/=2,1(F=3,则lO2^》等于()

A.36B.72C.108D.24

【分析】利用同底数幕的乘法的法则及幕的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即

可.

【解答】解：当ICnZ,10丫=3时，

JQ2X+3J>

=IO2XXIO3^

=(11)2X(1。)3

=22X33

=4X27

=108.

故选：C.

4.(2022•金华校级开学)已知/”=4,人4"=36,则°”・必"的值为土芋.

【分析】根据积的乘方运算以及幕的乘方运算即可求出答案.

【解答】解：当。2"=4,卢=36时,

(an)2=4,(b2n)2=36,

an=+2,b2n=±6

：.anb2n=(±2)X(±6)=±12,

故答案为:±12.

11

5.(2022春•竦州市期末)已知10。=20,1006=50,则［a+2+.的值是2.

【分析】利用幕的乘方的法则对已知条件进行整理，再代入所求的式子进行运算即可.

【解答】解：：10"=20,10()6=50,

A10a=20,102*=50,

/.10°X1026=20X50,

10«+2*=103,

・・a+2b=3,

・,•原式=2(a+2b)2

_3,1

=2.

故答案为：2.

考点三、餐般的来除女也前忒值

例3.(2022春•江干区校级期中)(1)填空：

①/•丁+d*x—2。；

②(3x2y)24-(-9X4J)=-v.

(2)先化简，再求值：(2x+l)(x-2)-(x+1)(x-1),其中x=2.

【分析】(1)①先算同底数的幕相乘，再分别同类项;

②先算积的乘方和幕的乘方，再算单项式的除法；

(2)先展开，再分别同类项，化简后将x=2代入即可.

【解答】解：(1)①/・X3+X4・X=X5+X5=2X5；

22

②(3xy)4-(-9XR)=9%知2+(_先如)=-yf

故答案为：①2%5；(2)-y；

⑵原式=2/-4x+x-2-(x2-1)

=2/-4x+x-2-f+i

=x2-3x-1,

当x=2时,

原式=22-3X2-1

=4-6-1

=-3.

【变式训练】

1.(2022秋•西湖区校级期中)下列计算正确的是()

A.3tz2-a2=3B.(-3a+b)(3a+b)=9a2-b1

C.(a+l)(a-2)—a2+a—2D.(-2a2)3--Sa6

【分析】根据合并同类项法则、平方差公式、多项式乘多项式法则及积的乘方与幕的乘方逐一计算即可.

【解答】解：A.3a2-a2=2a2,此选项计算错误；

B.(~3a+b)(3a+b)=b2-9a2,此选项计算错误；

C.(a+l)(a-2)=a2-(Z-2,此选项计算错误；

D.(-2«2)3=-8a6,此选项计算正确；

故选：D.

2.(2022春•杭州期中)已知。=(-2)°,6=(-2尸,则a与b的大小关系为()

A.a>bB.a<bC.a=bD.a...b

【分析】直接利用零指数幕的性质、负整数指数幕的性质分别化简，进而得出答案.

【解答】解：・5=(-2)°=1,/7=(-2)-'=-1,

a>b.

故选：A.

二.填空题（共2小题）

3.（2022春•竦州市期中）已知2"=3,8=6,22A3匕的值为1$.

【分析】根据同底数幕的除法和嘉的乘方公式进行转化，再整体代入计算便可.

【解答】解：22a-3b=（2a）24-（23=32-86=9-6=1.5,

故答案为：1.5.

4.（2022•永康市模拟）现有/,B,C三种型号的纸片若干张，大小如图所示.从中取出一些纸片进行无

空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，3型纸片最多用了7张.

【分析】根据各种卡片的面积，张数与面积之间的关系列出方程，根据方程的正整数解得出答案.

【解答】解：设拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，需要/,B,。三种型号的纸片。张、6张、c张,

由题意得，

4。+66+9。=11x5，

又，：a、b、。为正整数，若使b最大，则。、。最小,

.,.当。=1,。=1时，6最大，b=7,拼图如图所不：

故答案为：7.

ABBB

BCBBB

三.解答题（共2小题）

5.（2022•鹿城区校级三模）（1）计算：|-21-百+2022°-2?；

（2）化简：（2。-1）2—4。（。一3）.

【分析】（1）利用绝对值的定义、零指数幕、算术平方根、乘方运算法则计算即可;

（2）利用完全平方公式，合并同类项，化简整理多项式.

【解答】解：（1）原式=2-3+1-4

=-4；

(2)原式=4/-4。+1-4。2+12。

=8(2+1.

6.(2022•义乌市模拟)化简并计算：(1-2x)2-(2x+1)(2尤-1)-(3+2x)(1-2尤)，其中x=g.

【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答.

【解答】解：(1-2尤了一(2x+1)(2尤一1)-(3+2x)(1-2x)

=1-4x+4x2-4x2+1-3+4x+4x2

=4X2-1,

当x=g时，原式=4x(g)2-i

=4x--l

4

=1-1

=0.

考点8、乘位公成用

例4.(2022春•兰溪市期中)已知：x+y=6,xy=3.求下列各式的值：

(1)x2+4xy+y2

(2)x4+/

【分析】(1)利用完全平方公式变形可得答案；

(2)首先求出，+产=30,再根据完全平方公式变形可得答案.

【解答】解：(1)9：x+y=6,初=3,

.*.x2+4A7-b72

=x2+2xy+y2+2xy

=(x+y)2+2xy

=36+6

=42；

(2)•69xy~~3,

.\x2+y2=(x+y)2-2盯=36-6=30,

.*.x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2

900-2X9

=900-18

=882.

【变式训练】

1.（2022•长兴县开学）已知：a+b=5,a-b=\,贝!J/-y=（）

A.5B.4C.3D.2

【分析】把所求式子变形为（a+b）（a-b）,再整体代入即可.

【解答】解：•・Z+b=5,a-b=\,

•'.a2-b2=（a+b）Qa-b）=5X1=5,

故选：A.

2.（2022春•南沼区期末）若多项式9/+冽x+1是完全平方式，则符合条件的所有冽的值为（）

A.±6B.-6C.6D.±18

【分析】根据完全平方公式的结构特征进行计算即可.

【解答】解：原式=（3x）2+mx+l2=（3x±l）2,

所以冽=2X3X1=6或冽=2X3X（-1）=-6,

因此m=±6,

故选：A.

3.（2022春•绍兴期末）如图，有甲、乙、丙三种纸片各若干张，其中甲、乙分别站边长为或b的正方形,

丙是长为从宽为〃的长方形.若同时用甲、乙、丙纸片分别为4张、9张、12张拼成正方形，则拼成

的正方形的边长为（）

a

A.a+2bB.a+3bC.2a+3bD.3a+2b

【分析】先求出拼成后的正方形的面积，然后根据正方形的面积即可求出正方形的边长.

【解答】解：由题意可知拼成的正方形面积为：4^+12仍+9后，

・••正方形的边长为：V4a2+12ab+9按=J（2a+3b）2=2a+3b,

故选：C.

4.（2022春•鹿城区校级期中）如果q-b=4,ab=\,贝I」（2o+2b+l）（2a+2b-l）=79

【分析】利用平方差公式计算（2。+26+1）（2。+26-1）=（2a+26）2-1=4（层+2仍+后）-1,由已知

得(a-6)2=16,再由ab=l得出"2+62=18,代入求值的代数式计算即可.

【解答】解：：a-b=4,

(a-b)2=16,

.".a2-2ab+b1=16,

"：ab=\,

a2+b2=16+2ab=18,

(2a+26+l)(2a+26-1)

=(2a+2Z))2-1

=4(。2+2仍+庐)-1

=4(18+2)-1

=79.

5.(2022•金华模拟)以下小明化简代数式(a+b)2-2Ca+b)(a-6)+(a-b)2的过程：

2

解：原式二次+庐_2(a-扭)+°2-庐①

=a2+b2-2a2-2b2+a2-b2(2)

=-2b2③

(1)解答过程中哪几步错误？原因是什么？

(2)写出正确解答过程.

【分析】(1)观察小明解答过程，找出出错的步骤即可；

(2)写出正确的解答过程即可.

【解答】解：(1)解答过程中第①步错，完全平方公式运用出错；第②步错，去括号出错；

(2)原式=。2+2。6+方2_2_抉)+。2_2ab+1)2

=a2+2ab+b2-2a2+2b2+a2-lab+b1

=4b2.

6.(2022春•上虞区期末)图1是一个长为2b,宽为2a的长方形，沿虚线平均分成四块，然后按图2拼成

一个正方形.解答下列问题.

(1)图2中阴影部分的面积可表示为(b-a)2；对于(b-a)2,(6+a)ab,这三者间的等量

关系为(b-a)2=(6+a)2-4ab.

(2)利用⑴中所得到的结论计算：若》+尸-3,9=-番则x-v=±4.

(3)观察图3,从图中你能得到怎样的一个代数恒等式？再根据你所得到的这个代数恒等式探究：若

771

冽2+4冽〃+3层=0(几W0),试求一的值.

n

【分析】(1)根据拼图以及各部分面积之间的关系可得答案；

(2)由(1)的关系式进行计算即可；

(3)由面积之间的关系可得(〃+3b)(a+b)=a1+^ab+3b1\由加2+4加扑+3/=。可得(加+几)(加+3〃)=

0,即用+几=0或加+3〃=0,进而求出答案.

【解答】解：(1)阴影部分是边长为人-4的正方形，因此面积为(6-〃)2,

根据拼图以及面积之间的关系可得，(6-a)2,(b+a)2,ab,这三者间的等量关系为(b-a)2="+〃)

2-4仍，

故答案为：Qb-a)2；(b-a)2=(b+a)2-4ab；

(2)由(1)可得，

(x-y)2=(x+y)2-4^7=9+7=16,

•»x~y~~±4,

故答案为：±4；

(3)整个长方形是长为a+36,宽为a+b,因此面积为(a+36)(〃+b),整个长方形的面积也可看作8个

部分的面积和，即。2+4。6+3层，

因此有(a+3b)(a+b)=a2Uab+3b2；

m2+4mn+3n2=0(加WO),BPQm+n)(加+3〃)=0,

m+n=0或m+3«=0,

mm

：.-=-l或一=-3.

nn

例5.(2022春•新昌县期末)将下列每个多项式与因式分解适用的方法连线:

多项式方法

J］甲：提取公因式用二)

(^>2+66+9^

~~2)0运用平方差公式］)

⑭4d_］2x+9二)___

堂用完

【分析】(1)原式提公因式可分解因式；

(2)原式利用完全平方公式分解即可；

(3)原式利用平方差公式分解即可；

(4)原式利用完全平方公式分解即可；

(5)原式提公因式可分解因式.

【解答】解：(l)2a2-2a=2a(a-1),提公因式法；

②庐+66+9=(6+3)2,运用完全平方公式；

③4-C2=(2+C)(2-C),运用平方差公式；

④4x2-⑵+9=(2x-3)2,运用完全平方公式；

⑤2(a-b~)2-a+b—(a-b){la-2b-1),提公因式法；

多项式方法

【变式训练】

1.(2022春•杭州期中)因式分解：/-9=(“+3)(。-3):a2b-6ab+9b=fe(g-3)2

【分析】根据因式分解的方法依次进行因式分解即可.

【解答】解：“2-9=(Q+3)(a-3)；

c^b-6ab+9b=b(层-6a+9)=b(q-3)2,

故答案为：(a+3)(a-3),b(a-3)2.

2.(2022春•柯桥区期末)计算：20232-2022?=4045.

【分析】根据平方差公式进行因式分解便可简便运算.

【解答】解：原式=(2023+2022)X(2023-2022)

=4045.

故答案为：4045.

3.(2022春•丽水期末)已知正数a,b,c,满足q-b=b-c=Lab+ac+bc=4.

(1)a-c=2；

(2)如图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为c,c+1,c+2,若这三张正方形纸片的面积之和为S,

【分析】(1)由等式a-b=b-c=l,得出a比b大1,b比。大1,由此得出。比。大2.

(2)根据a-6=6-c=l,得出a=c+2,b=c+\,将其代入仍+ac+bc=4得出3c?+6c-2=0,通过计算

3张正方形纸片的面积和S,化简后得出S=302+6C+5,用整体代入法把3—+6C=2代入得出S的值.

【解答】解：(1)a-b=b-c=\,

，b=c+l,

a-6=1,

•'•a~(c+1)=1

得出a-c=2.

故答案为：2.

(2)由(1)知，a=c+2,b=c+\,

把a=c+2,b=c+l代入ab+ac+bc=4得，

(c+2)(c+1)+(c+2)c+(c+1)。=4,

C2+2C+C+2+C2+2C+C2+C=4,

3C2+6C-2=0,

这三张正方形纸片的面积之和S=c2+(c+1)2+(c+2)2

=c2+(C2+2C+1)+(C2+4C+4)

=3C2+6C+5,

把3C2+6C—2代入，

S=2+5=7.

故答案为：7.

4.(2022•长兴县开学)分解因式：

(1)ab-26；

(2)(a-Z>)2-6(a-b)+9.

【分析】(1)运用提公因式法进行因式分解.

(2)逆用完全平方公式进行因式分解.

【解答】解：(1)ab-2b=b(a-2).

(2)(a-b)2-6(a-b)+9=(a-b-3)

5.(2022春•杭州期中)给出三个多项式：①次+3必-2庐，②庐-3",(3)ab+6b2.

(1)请任选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；

(2)当。=4,6=-7时，求第(1)问所得的代数式的值.

【分析】(1)选择①③，相加得那+4仍+4必然后运用公式法因式分解即可；

(2)将a=4,6=-7代入(1)计算即可.

【解答】解：(1)选择①③(答案不唯一)，

a2+3ab-2b2+ab+6b2.

=a2+4ab+4b2

—(a+2b)2；

(2)当a=4,b=-7,

原式=(4-14)2=100.

考点火、数生易画形的受化规律

例6.(2022秋•上城区校级期中)完成下列填空:

⑴已知。尸石另+*等。2=万另+»率03=荻餐+"=告……，依据上述规律，则。99

1199

=-----------+—=-----.

—99x100x10199——9800—

（2）有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排

在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形.如果所取的四边形与三角形纸片

数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是3〃+1；如果所取的四边形与三角形纸片数

的和是〃，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是

（3）下面是按一定规律排列的一列数:

第1个数：<71=-（1+

第2个数：02=，—（1+卅）（1+£孝）（1+1岂）；

第3个数：03=*—（1+卅）（1+±芋）（1+与支）（1+£裂）（1+与龙）；……

则第n个数为：—二—X1+W）（1+0鸟工1+^4^）……（1+.

【分析】（1）通过观察可得a”=二八+高=等彳，再运用此规律运算即可；

（2）通过观察发现平行四边形与三角形交替出现，则当〃是奇数时，组成图形的周长为3”+5,当“是

偶数时，组成图形的周长为3〃+4；

（3）通过观察得到一般规律即可.

【解答】解：⑴•••。尸石厦+巨宗。2=另五+卜御片荻%+*心……，

._______1______1_71

・・斯—n（n+l）（n+2）十n+1—n2-l9

._11_99_99

,*"99=99x100x101+99=992—1=9800>

1199

故答案为：99x100x109+颉9800；

（2）当所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，拼成一个平行四边形，

V四边形与三角形的边长都是2,

•••平行四边形的边长分别为8和2,

，组成的大平行四边形的周长是2X（8+2）=20,

当〃是奇数时，组成图形的周长为3"+5,

当〃是偶数时，组成图形的周长为3〃+4,

故答案为:20,3篦+5,3麓+4；

（3）:•第1个数：ai="I"—（1+-^）；

第2个数：。2=,—（1+-^）（1+（：））（1+（；））；

第3个数：°3=，-（1+3）（1+与上）（1+空）（1+空经）（1+”支）;

二第"个数：斯=急一（1+^）（1+^=1^）（1+^^）……（1+（-啜1）,

故答案为：二—（1+3）（1+/）（1+学）……

n+1/34zn

【变式训练】

1.（2022秋•上城区校级期中）观察下列等式：71=7,72=49,7』343,74=2401,75=16807,76=117649,

试利用上述规律判断算式7+72+73+74+…+72°2。结果的末位数字是（）

A.0B.1C.3D.7

【分析】观察所给等式发现规律末位数字为：7,9,3,1,7,9,3,每4个数一组循环，进而可得

算式7+72+73+74+-+72020结果的末位数字.

【解答】解：观察下列等式：

71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,…，

发现规律：

末位数字为：7,9,3,1,7,9,3,

每4个数一组循环，

所以2020+4=505,

而7+9+3+1=20,

20X505=10100,

所以算式7+72+73+74+…+72020结果的末位数字是