福建省福州市精师高中联盟2024-2025学年高二上学期入学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州市精师优质高中联盟2024-2025学年高二上学期入学质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，且，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】依题意，，所以.故选：B.2.若点关于xOy的对称点为A，关于z轴的对称点为B，则A、B两点的对称是（）．A.关于xOz平面对称 B.关于x轴对称C.关于y轴对称 D.关于坐标原点对称【答案】D【解析】点关于xOy的对称点为A，则A坐标；点关于z轴的对称点为B，则B坐标；则根据坐标特点知道A、B两点关于原点对称.故选：D．3.若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（）A.，， B.，，C，， D.，，【答案】A【解析】构成空间的一组基底，则不共线，假设共面，则存在不全为零的实数，使，即，则，则，与不共线矛盾，故不共面；，故共面；，故共面；，故共面.故选：.4.如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】连接，因为在直三棱柱中，分别是棱的中点，故，即四边形为平行四边形，所以，则即为异面直线与所成角或其补角；直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为，连接，则平面，故平面平面，故，是棱的中点，故，则,而,又，故在中，,由于异面直线所成角的范围，故异面直线与所成角的余弦值是，故选：D.5.平行六面体中.则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，故，故.故选：A.6.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，，，，在上的投影向量可为,故选：A.7.如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】如图，延长交于点，连接交于，连接，则四边形所求截面．取的中点，连接.∵，∴是△APC的中位线，∴为的中点．又分别为的中点，∴，则，即，∴为上靠近的三等分点，故．故选：B.8.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，四边形是正方形，令正方形与正方形中心分别为，连接，因为正方形与正方形在同一平面内，且有相同中心，因此它们有相同的外接圆，从而十面体与长方体的外接球相同，球心O是线段的中点，如图，取中点M，连接，因为，则，显然，又平面，则平面，而平面，平面，即有，平面，则平面，平面与平面有公共点，显然平面与平面为同一平面，有，而，，在直角梯形中，过作于I，，球O的半径，过D作平面，以点D为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，则，，由已知得，即，，，则点到直线距离有：,球O被过直线的平面所截的截面圆最小时，球心O到平面的距离最大，即为点到直线的距离，截得的最小截面圆半径为，而，则，所以截得的截面圆面积的最小值是.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（）A.直线AB的一个方向向量为B.线段AB的长度为3C.平面α的法向量中D.向量与向量夹角的余弦值为【答案】ACD【解析】因为平面经过三点，，，则，则，故直线的一个方向向量为，故A正确；线段的长度为，故B错；又向量是平面的法向量，，则，解得，则，故C正确；又,1,，则向量与向量夹角的余弦值为，故D正确．故选：ACD．10.如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（）A.异面直线与所成角为B.平面C.三棱锥的体积不变D.直线与平面所成角正弦值的取值范围为【答案】BCD【解析】对于A，因为正方体中，故异面直线与夹角为，故A错误；对于B，由正方体的性质可知，，面，平面，又因为面，同理可得平面，又因为面，又因为面,平面，故B正确；对于C，因为面,面，所以面,所以为定值，故C正确；对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，，，，，，则，所以，由正方体的性质知：平面的法向量为，直线与平面所成角正弦值为，因为，，所以当时取得最大值，若时取得为，所以，故D正确.故选：BCD.11.在棱长为2的正方体中，为的中点，以为原点，OB，OD，OO1所在直线分别为轴、轴、轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点，满足，则（）A.点的轨迹长为 B.的最小值为C. D.三棱锥体积的最小值为【答案】BC【解析】对于A：由可知，点在以为球心，1为半径的球上，又由可知，点在平面上，所以点为球面与平面的交线，如图（2）所示，在矩形中，以为圆心，1为半径的半圆，所以点的轨迹长为，故A错误；对于B：由投影法可得，当点在上投影最小时，向量积最小，此时点位于半圆弧中点，投影长为，所以，故B正确；对于C：因为平面，平面，所以，故C正确；对于D：因为平面，所以点到平面平面的距离为，则，由图（2）可知当点位于半圆弧中点时，的面积最小为，所以，故D错误；故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则______．【答案】【解析】．13.如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为______．【答案】【解析】以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，由平面，设，所以，设，所以，即，解得，所以，则，设直线的夹角为，则，所以，所以点到直线的距离为.14.在侧棱长为的正三棱锥中，点为线段上一点，且，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为_____________．【答案】【解析】在正三棱锥中，由于正三棱锥的相对棱垂直，则，而，平面，于是平面，又平面，因此，有，记在底面内的投影为，，，则，由，得，所以的轨迹是以为圆心半径为的圆，取中点，连接，则经过点，建立如下图所示的空间直角坐标系，设，，而，则，设直线与直线的所成角为，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，.（1）以为基底表示；（2）若，且，，，求.解：（1）由图可得，;（2）由题意，，则，于是，由两边取平方，，故.16.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，．（1）证明：平面平面．（2）求二面角的余弦值．解：（1）因为底面是平行四边形，，所以，．又，，所以，，又，平面，所以平面．设，则，由，得，解得（负值已舍去），则，．因为，所以，故，因为，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）由（1）可知，，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，．设平面的法向量为，则，令，得．由图可知，是平面的一个法向量．设二面角的大小为，易知为锐角，则，所以二面角的余弦值为．17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上．（1）若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由；（2）求点到平面的距离；（3）若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）当为靠近点的四等分点时，四点共面，理由如下：因为，所以，所以∥，因为四边形是菱形，所以∥，所以∥，所以四点共面；（2）取中点，连接，．因为为等边三角形，，所以，，．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，∥，所以．因为，平面，平面，，所以平面，又平面，所以．所以，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，所以，解得；（3）由（2）知，，，两两垂直，所以以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．则，，A1,0,0，，所以，，．设，则，．得，则．又平面，则取平面的法向量．设与平面所成的角为，则，化简整理得，解得．则，．设平面的法向量，则,令，则取平面的法向量，又平面的法向量．故平面与平面夹角的余弦值为．18.如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，直线平面.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正切值等于，求P到平面的距离；（3）若平面与平面夹角的余弦值，求．解：（1）设平面交上底面于，在圆弧上，因为上下底面平行，故，又因为平面，平面，平面平面，所以，所以，由题意可知，又，平面，所以平面，所以平面，又平面，平面平面.（2）由（1）知平面，连接，所以是直线与平面所成角，所以由题意，又由题意，，所以，所以，即在圆弧的中点上，所以由知点P在圆弧中点上，故,所以，因为平面，所以点P到平面的距离即为F到平面的距离，又圆柱结构性质可知,平面，平面，所以平面，所以F到平面的距离即为C到平面的距离，设该距离为，因为，，又，所以，即点P到平面距离为.（3）过作垂直于底面，则由上知，所以可建立如图所示的分别以为x、y、z则，设，且，所以，设平面的法向量为m=x1,所以即，取可求得，设平面的法向量为n=x2,所以即，取可求得，设平面与平面的夹角为，则，且，整理得，所以即，即，所以，所以，所以.19.2024年8月7日，神舟十六号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑.我校小林同学既是航天迷，又热爱数学，于是他为正在参加新学期入学质量检测的你们编就了这道题目，如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆与圆柱底面相切于四点，且圆与与与与分别外切，线段为圆柱的母线.点为线段中点，点在线段上，且.已知圆柱，底面半径为.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得平面若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由；（3）求二面角的余弦值；解：（