22直线与圆的位置关系（重点）

2.2直线与圆的位置关系（重点）一、单选题1．直线与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定【答案】A【解析】【分析】求得圆心到直线的距离和半径之间的关系，进行判断即可.圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离．故选：A2．若直线与圆相切，则的值是（

）．A．或12 B．2或 C．或 D．2或12【答案】D【解析】【分析】由于直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，从而可求出的值∵圆的标准方程为，∴圆心坐标为，半径为1，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于圆的半径，即，解得或．故选：D3．已知圆与直线切于点，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程．圆可化为，所以点与圆心连线所在直线的斜率为，则所求直线的斜率为，由点斜式方程，可得，整理得.故选：A.4．已知直线被圆所截得的弦长为4，则k为（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【解析】【分析】利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k.设圆心到直线的距离为d，则由点到直线的距离公式得，由题意得：，解得．故选：A5．过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】当圆心与的连线垂直于时，被圆截得的线段长最短，从而可求直线的方程.圆的圆心坐标为，当时，l被圆截得的线段最短，，∴，故所求直线l的方程为，即.故选：A.6．直线与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定【答案】B【解析】【分析】根据圆心到直线距离与圆半径之间的关系进行判定.因为，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.故选：B.7．若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求出直线与曲线相切时实数的值，再结合图象，即可得到答案；曲线为半圆，即，当直线与半圆相切时，，当直线过点时，，实数的取值范围为，故选：A8．已知直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再根据点到直线的距离公式得到不等式，解得即可；解：圆，即，圆心，半径长为1．∵直线与圆有公共，∴，∴．故选：C9．已知直线与圆相交于A，B两点，P为圆C上的动点，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据圆的弦长公式，结合点到直线距离公式、圆的几何性质进行求解即可.由可知：圆心，半径为，圆心C到直线距离，∴，∴.故选：C10．直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用圆的弦长、半径、弦心距的关系结合已知求出弦心距的范围，再借助点到直线的距离公式计算作答.令圆的圆心到直线l的距离为d，而圆半径为，弦AB长满足，则有，又，于是得，解得，所以实数m的取值范围为.故选：B11．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线切点分别是和，下列说法正确的为（

）A．圆上恰有一个点到直线的距离为B．切线长的最小值为C．四边形面积的最小值为2D．直线恒过定点【答案】D【解析】【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质得切线长利用点到直线的距离判断B，由题意四边形ACBP面积为判断C，由题知A，B在以为直径的圆上，利用两圆方程得直线AB的方程判断D.由圆C：，则圆心，半径，∴圆心到直线l：的距离为，而，故A错误；由圆的性质，切线长，∴当最小时，有最小值，又，则，故B错误；∵四边形AMBP面积为，∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误；设，由题知A，B在以为直径的圆上，又，∴，即，又圆C：，即，∴直线AB的方程为：，即，由，得，即直线AB恒过定点，故D正确.故选：D.12．若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是(

)．A． B．C．或 D．【答案】D【解析】【分析】将转化为点到直线的距离，数形结合，可求出的取值范围.依题意表示到两条平行直线和的距离之和的5倍．因为这个距离之和与x，y无关，故两条平行直线和在圆的两侧，画出图像如图所示，故圆心到直线的距离，解得或（舍去）.故选：D．二、多选题13．已知直线：与圆：，则（

）A．直线与圆相离 B．直线与圆相交C．圆上到直线的距离为1的点共有2个 D．圆上到直线的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】【分析】计算圆心到直线的距离即可判断直线与圆的位置关系.由圆，可知其圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，即，所以直线与圆相交，故A错误，B正确，所以圆上到直线的距离为1的点共有3个，故C错误，D正确，故选：BD14．关于直线与圆，下列说法正确的是（

）A．若直线l与圆C相切，则为定值 B．若，则直线l被圆C截得的弦长为定值C．若，则直线l与圆C相离 D．是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件【答案】ABD【解析】【分析】利用圆心到直线的距离，判断A；利用弦长公式，判断B；直线方程与圆的方程联立，利用判断C；利用直线与轴的交点，判断D.A.若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离，整理为，即，故A正确；B.弦长，当时，，故B正确；C.联立方程，，得，，当时，整理为恒成立，所以直线与圆相交，故C错误；D.直线与轴的交点是，当时，在圆内，过圆内的点的直线一定与圆有交点，但反过来，直线与轴的交点在圆上的直线也与圆有交点，或直线与轴的交点在圆外，也有直线与圆相交，所以是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件，故D正确.故选：ABD15．已知直线与圆，则下列说法中正确的是（

）A．直线与圆一定相交 B．当时，直线与圆的相交弦最长C．若直线与圆相切，则 D．圆心到直线的距离的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】由圆的方程可得圆心的坐标及半径，因为直线过的原点，原点在圆外，可得A不正确；时可得直线过圆心，所以B正确；直线的斜率存在时，直线与圆相切时可得，所以C正确，当过圆心的直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，且为，判断D正确．解：圆，即，所以圆心坐标为，半径为，圆与，轴相切，不过原点，而直线过原点，当时，直线与圆不相交，所以A不正确；对于B，当时，直线的方程为，而圆心在直线上，即直线为直径所在的直线，所以弦长最大为直径，所以B正确；对于C，直线与圆相切时显然，所以C正确；对于D，圆心到直线的距离，当时，当时，当且仅当，即时取等号，当时直线与圆相交则；所以D正确．故选：BCD．16．已知直线与圆，则（

）A．直线与圆C相离B．直线与圆C相交C．圆C上到直线的距离为1的点共有2个D．圆C上到直线的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系可判断.由圆，可知其圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.故选：BD17．如图所示，M，N是圆O：上的两个动点，线段MO的延长线与直线l：交于点P，若，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为B．的最大值为C．D．的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】点O到直线l上的点的距离即为的最小值，过点P作圆O的切线为切点，则有，可判断出选项AB的正误；假设，可推出，不符题意，故选项C正确；取，此时，可得到，故选项D错误．如图所示，过点P作圆O的切线为切点，则有，所以，则，又因为P为直线l：上的动点，所以点O到直线l上的点的距离的最小值为，故A，B正确；若，则与，不合题意，故，故C正确；当时，，，，故D错误．故选：ABC．18．已知圆上两点A、B满足，点满足，则不正确的是（

）A．当时，B．当时，过M点的圆C的最短弦长是C．线段AB的中点纵坐标最小值是D．过M点作圆C的切线且切线为A，B，则的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】根据给定条件可得点M在线段AB的垂直平分线上，再逐一分析各个选项即可判断作答圆的圆心，半径，令圆心C到直线AB距离为，对于A，令直线AB：，即，显然有，线段AB的垂直平分线平行于x轴，此时点M不存在，即不存在，A不正确；对于B，当时，点在圆C内，而圆C的直径长为2，则过M点的圆C的最短弦长小于2，而，B不正确；对于C，令线段AB的中点，则，则，即，解得，当且仅当时取等号，所以，C不正确；对于D，依题意及切线长定理得：，，，解得，即，解得或，所以的取值范围是，D正确.故选：ABC【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法：(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.三、填空题19．若直线与圆的一个交点在x轴上，则l被C截得的弦长为______．【答案】##【解析】【分析】先求出直线l与轴的交点，代入圆中求得，再由圆的弦长公式求解即可.由题意得，直线与轴的交点为，则点在圆上，即，解得，则，圆心到的距离为，则l被C截得的弦长为.故答案为：.20．已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】令，由题可得，即得.令，则，代入，可得，∴，解得，即的取值范围为.故答案为；.21．已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则__________．【答案】或【解析】【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再根据二次函数的性质求出半径的最小值，即可求出，即可得圆的方程，再根据圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得参数的值；解：圆，即，圆心为，半径，当且仅当时半径取得最小值，此时圆的面积最小，此时圆的方程为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得或；故答案为：或；22．在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点，若对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，则直线的方程为___________.【答案】【解析】【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，可得直线与圆心所在的直线平行，即可求得结果将圆，化为标准方程为，则圆心，半径，令，消去，得，所以圆心在直线上，因为直线经过点，对任意的实数，直线被圆截得的弦长都是定值，所以直线与圆心所在的直线平行，所以设直线为，将代入，得，得，所以直线的方程为故答案为：23．已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为______【答案】【解析】【分析】依题意可得，由点到直线的距离公式结合勾股定理求出的最小值，即可求得四边形的面积的最小值；解：由圆，得到圆心，半径由题意可得：，，，，在中，由勾股定理可得：，当最小时，最小，此时所求的面积也最小，点是直线上的动点，当时，有最小值，此时，所求四边形的面积的最小值为；故答案为：24．已知实数，，，满足：，，，则的最大值为___________.【答案】35【解析】【分析】设，.先判断出AB两点在圆上且.设点A到直线的距离，点B到直线的距离，所以.利用几何法判断出当点A，B在第三象限，且直线AB与直线平行时最大，进而求出最大值.设，.则，.因为实数，，，满足：，，，所以AB两点在圆上，且.又，所以，所以，所以为等边三角形，.点A到直线的距离，点B到直线的距离，所以.要使最大，只需点A，B在第三象限，设直线为直线l，过A作AD⊥l于D,过B作BE⊥l于E,取AB中点F，过F作FG⊥l于G.由梯形的中位线性质可知：,即.只需F到直线l距离最大，所以直线AB与直线平行.此时，设，由圆心到直线AB的距离为，可得：，即，解得：.所以两平行线间的距离为，所以，所以.故答案为：35.【点睛】解析几何中最值的计算方法有两类：（1）几何法：利用几何图形求最值；（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.四、解答题25．已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上(1)求圆C的方程；(2)已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为；(2)由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：．26．已知圆，直线．(1)证明：直线l与圆C恒有两个交点．(2)若直线与圆的两个交点为，且，求m的值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）化简直线，得到直线恒过点，结合点与圆的位置关系，即可求解；（2）根据题意，利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，列出方程，即可求解.(1)证明：圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为2，由于直线，即，令，解得，，所以恒过点，所以，则点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点．(2)解：由圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为，因为直线与圆的两个交点为，且，可得，解得，又由圆心到直线的距离，可得，所以.27．已知圆的圆心为，它过点，且与直线相切．(1)求圆的标准方程;(2)若过点且斜率为的直线交圆于，两点，若弦的长为，求直线的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先设出圆M的标准方程，再根据过点及圆M与直线相切建立方程组求解即可；（2）由点到直线的距离公式及垂径定理可求解.(1)设圆M的标准方程为：则圆心M到直线的距离为由题意得，解得或舍去.所以，所以圆M的方程为．(2)设直线l的方程为则圆心M到直线l的距离为，因为，解得，则直线的方程为．28．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①过（－1，2）；②与直线平行；③与直线垂直．问题：已知直线过点M（3，5），且______．(1)求的方程；(2)若与圆相交于点A、B，求弦AB的长．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)可依次根据直线方程的点斜式、“两直线平行，斜率相等”、“两直线垂直，斜率相乘为－1”求直线l的方程；(2)利用垂径定理即可求圆的弦长.(1)选条件①：∵直线过点(3，5)及(－1，2)，∴直线的斜率为，依题意，直线的方程为，即；选条件②：∵直线的斜率为，直线与直线平行，∴直线的斜率为，依题意，直线的方程为；即；选条件③：∵直线的斜率为，直线与直线垂直，∴直线的斜率为，依题意，直线的方程为，即；(2)圆心为(2，3)，半径为2，圆心到直线的距离为∴．29．已知直线与直线，.(1)若，求a的值；(2)判断直线与圆的位置关系；(3)若直线与圆心为D的圆相交于A，B两点，且为直角三角形，求a的值.【答案】(1)(2)直线与圆C相切或相交(3)【解析】【分析】（1）根据两直线互相垂直的充要条件即可求解；（2）求出直线恒过的定点，再判断定点与圆的位置关系即可求解；（3）由题意，圆心D到直线的距离是，利用点到直线的距离公式即可求解.(1)解：由题意，直线，直线，，因为，所以，解得；(2)解：由题意，直线过定点，因为，所以点在圆上，所以直线与圆C有一个或两个公共点，所以直线与圆C相切或相交；(3)解：由题意，圆的圆心为，半径为，因为为直角三角形，所以圆心D到直线的距离是，即，解得，所以a的值为.30．已知圆M的方程为．(1)求过点与圆M相切的直线l的方程；(2)过点作两条相异直线分别与圆M相交于A，B两点，若直线的斜率分别为，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由．【答案】(1)或(2)定值为，理由见解析.【解析】【分析】（1）设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得答案；（2）由题可设，与圆的方程联立，可得点A坐标，同理可得点B坐标，将两点坐标代入斜率公式可得答案.(1)显然当l的斜率不存在时，不符合题意；设，直线与圆相切，由圆心到直线l距离，解得或．当时，直线l的方程为，当时，直线l的方程为，所以直线l的方程为或．(2)由题意可设由可得，设，则，所以，，同理，因为，所以，所以为定值．31．如图，在平面直角