专题1平面向量的运算（知识点串讲）-2020-2021学年高一数学下学期期末考点大串讲（新教材浙江）

20202021学年高一数学下学期期末考点大串讲（新教材·浙江）专题1平面向量的运算【知识网格】【知识讲练】知识点一平面向量的概念名称定义记法零向量长度为__0__的向量叫做零向量0单位向量长度等于__1__个单位的向量，叫做单位向量相等向量__长度__相等且方向相同的向量叫做相等向量__a＝b__说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条__有向线段__来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量平行向量方向__相同__或__相反__的非零向量叫做平行向量__a∥b__规定：零向量与任何向量都__平行__0∥a说明：任一组平行向量都可以平移到同一__直线__上，因此，平行向量也叫__有线__向量例1.（2021·全国高一课时练习）给出下列命题：①向量与是相等向量；②共线的单位向量是相等向量；③模为零的向量与任一向量共线；④两平行向量所在直线互相平行．其中不正确的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【解析】根据向量的概念和共线向量，逐个分析判断，即可得解.【详解】对于①，向量与是相反向量，不一定是相等向量，①错误；对于②，共线的单位向量不一定是相等向量，也可能是相反向量，②错误；对于③，模为零的向量是零向量，它与任一向量共线，③正确；对于④，两平行向量所在直线不一定互相平行，也可能重合，④错误；综上，其中不正确的是①②④．故选：C．【变式训练11】（2021·全国高一课时练习）下列命题正确的是（）A．与共线，与共线，则与也共线B．单位向量都相等C．向量与不共线，则与都是非零向量D．共线向量一定在同一直线上【答案】C【解析】根据向量的基本概念和共线向量的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于中，当时，与不一定共线，故错误；对于中，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故错误；对于中，由零向量与任意向量都共线，得到向量与不共线，则与都是非零向量，故正确；对于中，共线向量都平行于同一直线，不一定在同一直线上，故错误.故选：C.【变式训练12】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一月考）给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③若，则或；则所有正确命题的号是（）A．③ B．① C．①③ D．①②【答案】B【解析】根据向量的有关概念逐一判断即可.【详解】零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确单位向量是指长度为1的向量，两个单位向量不一定相等，故②错误两个向量长度相等，推不出这两个向量相等或者是相反向量，故③错误故选：B【方法技巧】对平行向量、相等向量概念的理解(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a，都有0∥a，这里注意概念中提到的“非零向量”．(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的．(3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量．例2知识点二平面向量的加法1．向量的加法(1)定义：求两个向量__和__的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个__向量__．(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a、b，在平面内任取一点，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做向量a与b的和，记作a＋b.这种求__向量和__的方法叫做向量加法的三角形法则．(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b(如图乙所示)，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则A、B、D三点不共线，以eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))为邻边作平行四边形ABCD，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．2．向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.3．向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)例2.（2021·全国高一课时练习）如图，已知点、、分别是三边、、的中点，求证：.【答案】证明见解析.【解析】根据向量加法的平行四边形法则证明即可.【详解】证明：连接、、，如图，、、分别是三边的中点，，，四边形为平行四边形，由向量加法的平行四边形法则，得①，同理在平行四边形中，②，在平行四边形在中，③，将①②③相加，得.【变式训练21】（2021·全国高一课时练习）__.【答案】【解析】根据向量加法法则求解．【详解】故答案为：【变式训练22】（2021·全国高一课时练习）作五边形，求作下列各题中的和向量：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量的加法法则求解即可；（2）利用平面向量的加法法则求解即可．【详解】（1）；（2）.【方法技巧】平面向量运算中化简的两种方法：(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．知识点三平面向量的减法1．相反向量定义如果两个向量长度__相等__，而方向__相反__那么称这两个向量是相反向量性质①对于相反向量有：a＋(－a)＝0②若a、b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0③零向量的相反向量仍是零向量2．向量的减法定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量__作法在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→)).如图所示几何意义如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的__终点__指向向量a的__终点__的向量例3.（2021·浙江高一期末）下列命题正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据向量加法、减法的几何意义即可判断出，都错误，正确，根据向量的数乘运算即可判断错误．【详解】解：，，．故选：．【变式训练31】（2021·江苏高一期中）化简（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用平面向量的加法和减法运算求解.【详解】，，，故选：B【变式训练32】（2021·全国高一课时练习）中，__.【答案】【解析】直接利用向量加法法则即可求出答案.【详解】故答案为：.【方法技巧】进行向量的加减运算时，常用的变形如下：(1)运用eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))化减为加；(2)运用eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0或eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))化繁为简；(3)运用eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))转化为共起点的两个向量的差。知识点四平面向量的数乘1．向量的数乘定义一般地，实数λ与向量a的积是一个__向量__，这种运算叫做向量的数乘，记作λa长度|λa|＝|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向__相同__λ＝0λa＝0λ<0λa的方向与a的方向__相反__2．数乘的几何意义λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．3．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ、μ为实数，则(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．5．向量的线性运算向量的__加__、__减__、__数乘__运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．例4．（2021·浙江高一期末）已知是不共线向量，且，，，则（）A．，，三点共线 B．，，三点共线C．，，三点共线 D．，，三点共线【答案】A【解析】根据向量共线以及向量有一个公共的端点，从而得出对应的点共线，由此对每一选项进行验证得出答案.【详解】选项A.由，即,所以，，三点共线，故选项A正确.选项B.由，，可得向量与不共线所以，，三点不共线，故选项B不正确.选项C.由，，可得向量与不共线所以，三点不共线，故选项C不正确.选项D.由，即又，显然可得向量与不共线所以，三点不共线，故选项D不正确.故选：A【变式训练41】（2021·浙江高一期末）如图所示，已知在中，O是重心，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】连接并延长交于点，则是的中点，，，进而用三角形法则可以求得.【详解】连接并延长交于点，因为是重心，则是的中点.，所以.故选：B.【变式训练42】（2021·全国高一课时练习）已知非零向量与共线，下列说法不正确的是（）A．或 B．与平行C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得【答案】A【解析】根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果．【详解】非零向量与共线，对于，，，故错误；对于，向量与共线，向量与平行，故正确；对于，向量与共线，与方向相同或相反，故正确；对于，与共线，存在实数，使得，故正确.故选：A.【方法技巧】用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λa(a、b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．知识点五平面向量的数量积1．两向量的夹角与垂直定义已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则__∠AOB__叫做向量a与b的夹角图示特殊情况θ＝0°a与b__同向__θ＝180°a与b__反向__θ＝90°a与b__垂直__，记作a⊥b2．平面向量的数量积的定义定义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角记法记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ规定零向量与任一向量的数量积为__0__投影|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3．两个向量数量积的性质设a、b都是非零向量，(1)a⊥b⇔a·b＝0．(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)．(3)|a·b|≤|a||b|．4．平面向量数量积的运算律已知向量a、b、c和实数λ．(1)交换律：a·b＝b·a．(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．例5.（2021·金昌市第一中学（理））若，，与的夹角是，则（）A．12 B． C．1 D．【答案】C【解析】根据向量的数量积的计算公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，向量，，与的夹角是，所以.故选：C.例6.（2021·浙江高一期末）已知为单位向量，且，则与的夹角为_________．【答案】【解析】设与的夹角为，由算出即可.【详解】设与的夹角为，则，所以因为，所以故答案为：例7.（2021·浙江高一期末）非零平面向量，满足，且，则的最小值为___________．【答案】【解析】根据已知条件先求解出的夹角，然后作出图示，利用图示分析的最小值.【详解】因为，，设的夹角为，所以，当时，成立，此时，当时，则，所以的夹角为，如下图，的终点在射线上，所以综上可知：，故答案为：.【变式训练51】（2021·浙江高一期末）已知正三角形的边长为2，设，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设为的中点，连接，利用向量的线性运算可判断A的正误，判断出的夹角后可判断BD的正误，利用数量积的运算律和定义可判断C的正误.【详解】设为的中点，连接，则，因为，故.因为，故A错误.的夹角即为与的夹角，而与的夹角为，故B错误.，故.，故D错误，故选：C.【变式训练52】（2021·浙江高一期末）已知两非零向量与的夹角为，且，则（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】根据平面向量数量积的运算律，借助于可构造方程求得结果.【详解】，整理可得：，解得：或（舍）.故选：C.【变式训练52】【多选题】（2021·浙江高一期末）已知是三个平面向量，则下列叙述错误的是（）A．若，则B．若，且，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【解析】根据向量共线的概念可判断A；利用向量数量积的运算律可判断B；根据与任意向量共线可判断C；将与平方可判断D.【详解】A，若，可取，，则，故A错误；B，若，且，当，时，则与不一定相等，故B错误；C，若，当时，与不一定平行，