函数的单调性、奇偶性、对称性的应用（4大压轴考法）原卷版-2024-2025学年人教版高一数学压轴题攻略

专题15函数的单调性、奇偶性、对称性的应用

目录

解题知识必备.......................................

压轴题型讲练........................................................2

题型一、函数的单调性.........................................................2

题型二、函数的奇偶性.........................................................3

题型三、函数的对称性.........................................................4

题型四、函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用..........................5

压轴能力测评(12题)...............................................6

X解题知识必备”

一、函数的单调性

(1)增函数：若对于定义域/内的某个区间。(。1/)上的任意两个自变量占、3，当占＜々时，都有

那么就说函数/(X)在区间。上是增函数；

(2)减函数：若对于定义域/内的某个区间。(。1/)上的任意两个自变量须、x2,当西＜々时，都有

/(%)＞/(9)，那么就说函数/(%)在区间。上是减函数.

二、函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(%)的定义域内任意一个X,都有/(-%)=/(X)，

偶函数关于y轴对称

那么函数/(X)就叫做偶函数

如果对于函数/(%)的定义域内任意一个X,都有/(-X)=-/(x),

奇函数关于原点对称

那么函数/(X)就叫做奇函数

三、函数的对称性

⑴若函数y=/(升。)为偶函数，则函数y=/(X)关于x=。对称.

⑵若函数y=/(叶a)为奇函数，则函数y=/(元)关于点(“，0)对称.

⑶若f(x)=f(2a-x),则函数/(x)关于x=a对称.

⑷若f(x)+f(2a-x)=2b,则函数/(x)关于点(a，b)对称.

【常用结论】

1.奇偶性技巧

（1）若奇函数y=/（x）在x=0处有意义，则有『（0）=0；

（2）对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇*（十）奇=偶；奇x（十）偶=奇；偶x（十）偶=偶.

2.对称性技巧

（1）若函数y=/（x）关于直线x=a对称，则/（a+x）=f（a-尤）.

（2）若函数了=/（尤）关于点（a,8）对称，贝！I/（a+x）+y（a-x）=2Z?.

（3）函数y=f（a+x）与y=f（a—x）关于y轴对称，函数y=f（a+x）与y=—/（a—x）关于原点对称.

”压轴题型讲练”

【题型一函数的单调性】

一、单选题

1.（23-24高一下•湖南•期中）定义在R上的函数”尤）满足对任意实数无,V都有/（x+y）=〃x）+/（y）-1,

若x＞0时，/（x）＞l,则〃x）（）

A.先单调通减后单调递增B.在R上单调递增

C.在R上单调通减D.单调性不确定

2.（23-24高一上•天津•期中）若函数〃x）是定义域为R,且对％,%wR,且％＜々，有/（占）_〃w）＜々—和

不等式x）+2x＞2的解集为（）

A.B.（0,+ao）C.（l,+oo）D.（2,+oo）

3.（23-24高一上•江苏常州•期中）已知函数”元）=1+—5—,若对于任意1＜为＜%＜2,都有

x-1+a

"占）一/（%）＜0,则a的取值范围是（）

玉一42

A.（-oo,-l]u[0,+co）B.[0,+co）

C.（-1,0）D.（-8,—1）

4.（23-24高一下•河北石家庄•开学考试）定义在（0,+句上的函数满足：对％e（0,+oo）,且工产々，

都有（尤「4）匡〃占）-为/仇）]＞。成立，且"4）=2,则不等式上的解集为（）

」x2

A.（4,-H»）B.（0,4）C.（0,2）D.（2,+刃）

5.（2024・陕西西安・模拟预测）已知函数〃无）的定义域为R,对任意实数x,y都有/（x+y）=/•（x）+/■（y）-l,

当x>0时，/(x)>l,且/(2)=5,则关于X的不等式/'(x)+/(4-3x)<6的解集为()

A.(l,+oo)B.(2,+oo)C.(-oo,l)D.(ro,2)

6.(23-24高一下.黑龙江大庆•开学考试)定义在(0,+s)上的函数y=/(x)满足：%,%e(0,+co),且

x尸9，*"")一(2)<0成立,且"4)=12,则不等式”x)>3尤的解集为()

玉—x2

A.(12,+a))B.(0,12)C.(0,4)D.(4,+8)

7.(23-24高一上•上海长宁・期末)已知函数y=/(x)的定义域为R.

q:y=/(x)是R上的严格增函数；

R：任意士,尤26R，都有〃%+%)=〃％)+〃%)，且当彳>0时,恒有〃x)>0;

P2：当/OQv/X%)时，都有不<尤2；

下列关于4的充分条件的判断中，正确的是()

A.月心都是B.P1是，不是

C.P］不是，％是D.Pi必都不是

8.(23-24高一下•上海•期中)已知二次函数"x)=a?-4ar+c,a>0,ceR,若《<2<何且下(苔)>/®),

则下列说法正确的是()

A.对任实数均有了

I1+A)I1+A)

B.对任意满足0<冈<1实数4,均有/芝华］

C.对任意满足囚>1的实数4,均有了(芸芸

D.存在实数4*-1,0,1,使得了［七华［华］

I1+4)I1+2)

【题型二函数的奇偶性】

一、单选题

1.(2024•山西一模)己知函数“X)是定义在但xwO｝上不恒为零的函数，若〃xy)="+4^,则()

A./⑴=1B./(-1)=1

C.”无)为偶函数D.f(x)为奇函数

2.(23-24高一下•内蒙古赤峰.期末)己知函数〃x)的定义域为R,且

2〃句/3=〃彳+4+〃彳-力〃1)=；.有下列四个结论：

①"0)=2

②为偶函数

③〃x)=/(x+6)

④“X)在区间［0,4］上单调递减

其中所有正确结论的序号为()

A.①③B.②③C.②④D.①④

二、多选题

3.(23-24高一上•湖北襄阳・期末)已知定义在D上的函数/'(X)满足“久一1)为奇函数且/(-2)=-1,以下

说法一定正确的是()

A./(x-l)=-/(-x-l)

B.Vx-leD,都有一x+leD,M/(x-l)=-/(-%+l)

C./(o)=-i

D./(0)=l

4.(23-24高一上.辽宁葫芦岛•期中)已知函数的定义域为R,〃孙)=y5〃x)+//•(,)则()

A.40)=0B./(-1)=-1

C./⑴为奇函数D.42)=6471-

三、填空题

5.(23-24高一上•湖北.期中)我们知道，函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是

函数y=/(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=/(x)的图象关于点尸(。⑼成中心对称图形的

充要条件是函数y=〃x+a)-。为奇函数.则求出函数〃x)=V+3x2的图象的对称中心为；类比上述

推广结论，写出“函数y=的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=为偶函数”的一个推

广结论是.

6.(23-24高一上•内蒙古赤峰•期末)已知定义在R上的函数〃尤)在(—,2］上单调递增，若函数“x+2)为

偶函数，且"3)=0,则不等式对'(力＞0的解集为—.

【题型三函数的对称性】

一、单选题

1.(23-24高一上.北京大兴.期中)定义在R上的函数在(为,2)上是增函数，且〃x+2)=〃2-x)对

任意xeR恒成立，则()

A./(-1)</(3)B./(-1)>/(3)

C.f(-l)=/(3)D.〃0)=〃3)

2.(23-24高二下.浙江丽水.期末)已知函数〃x)的定义域为R,的图象关于(1,0)中心对称，/(2x+2)

是偶函数，则()

A./(0)=0B.佃=。C./(2)=0D.八3)=0

3.(23-24高二下・黑龙江牡丹江・期末)设函数/(同=%3+以2+陵+2,且〃1+耳+〃1-尤)=2,则必=()

A.-1B.2C.-3D.4

4.(23-24高三下•安徽黄山•阶段练习)设函数/(无)的定义域为R,且/(x+2)为奇函数，〃2x+l)为偶函

数，贝I()

A./(-D=0B./(-1)=0C./(D=0D./(0)=0

二、填空题

5.(23-24高二下.山东青岛.期末)定义在R上的两个函数“X)和g(%),已知/(x)+g(l-尤)=3,

g(x)+3)=3.若y=g⑺图象关于点(1,0)对称，则/(0)=.

6.(24-25高一上•全国•课后作业)已知定义在R上的函数y=/(x)满足以下三个条件：

①对于任意的XGR,都有Ax+1)=-/(X)；

②函数>=/(尤)的图象关于直线X=1对称；

③对于任意的和％e[0,1],且"6/㈤>0.则/'(-I),/⑵的大小顺序是—.(用“<”连接)

%2一%)

【题型四函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用】

一、单选题

1.(24-25高三上•江苏扬州•开学考试)已知函数/(x)在[1,口)上单调递减且对任意尤eR满足

/(x)=/(2-x),则不等式f(2x-3)>f(x)的解集是()

A.B.百3)C.D.

2.(2024•陕西西安•三模)已知定义在R上的奇函数满足f(x)+f(2-x)=2,则

y(i)+/(2)+...+/(20)=()

A.0B.105C.210D.225

3.(24-25高三上•北京•开学考试)已知函数，(无)满足了(—2-x)=/(-2+x),对任意％2],且

X产马,都有"不)［"%)>0成立,且/⑼=0,则〃x)>0的解集是()

*^2

A.(―oo,—2)口(2,+8)B.(—2,2)

C.S，fU(O,y)D.(TO)

二、多选题

4.(22-23高二下・浙江温州•期末)已知连续函数〃x)满足：①则有〃x+y)=〃x)+〃y)-l,

②当x>0时，/(^)>1,③"1)=2,则以下说法中正确的是()

A.“X)的图象关于((H)对称

B.r(x)<o

C.〃尤)在13,3］上的最小值是一2

D.不等式/(2X2)_〃X)<〃2X)+1的解集为，一：<x<2,

5.(25-26高一上•全国・单元测试)对于定义在R上的函数〃x),若/(x+1)是奇函数，f(x+2)是偶函数,

且在［1,2］上单调递减，则()

A.〃3)=0B./(0)=/(4)

C.D.“X)在［3,4］上单调递减

三、填空题

6.(24-25高三上•福建龙岩•开学考试)已知函数〃x)=竺二处在其定义域内为偶函数，且/⑴=；,则

x+12

4七K全卜•,+/出+川)+"2)+-+〃2。24)=-------------•

♦♦压轴能力测评♦♦

一、单选题

1.(23-24高一上•安徽淮北•期中)已知函数/(x)=&+6是定义在3。+2］上的偶函数,又g(x)=/(x—2),

则g(-2),g(3),g(2)的大小关系为()

A.g(-2)>g⑶>g(2)B.8⑶冷⑵裂口)

C.8⑵裂口下8⑶D.8⑵川⑶川⑴)

2.(23-24高一下.云南普洱・期末)已知定义在R上的函数满足〃2r)m(x),且当今>占21时，恒

有〃f)<0,则不等式/(X—l)>/(2x+l)的解集为()

A.(—2,0)B.C.(-0°,-2)UD.(―co,—2)<J(0,-KO)

3.(23-24高一上.江苏南通•阶段练习)若定义在R上的奇函数/(x)在(0,+8)上单调递减，且/(-2)=0,

则满足对'(x-1)20的x的取值范围是()

A.[-1,1]U[3,^>)B.[-3,-l]U[0,l]

C.[-l,0]u[l,+w)D.[-l,0]U[l,3]

/\7xff(x\x>0

4.(24-25高三上•河北秦皇岛•开学考试)已知为R上的减函数，设函数]<0,则满足

不等式g(4-〃的机的取值范围是()

A.(1,+co)B.(2,+oo)C.(fRU。，­)D.(-co,2)U(2,-H»)

5.(24-25高三上•江苏南通・开学考试)函数"xhgV-V+flx,对任意和吃e[l,2],且占二%，都有

⑸>1,则。的范围是(

玉~X2

A.(l,+oo)B.[l,+oo)

C.(2,+oo)D.[2,+oo)

6.(24-25高三上•四川绵阳•阶段练习)已知定义在R上的函数〃X)满足/(%)+/(-力=尤2,V^,x2e[0,+oo)

均有f(%)-f(%)>三强(X尸马),则不等式〃尤)一〃17)>尤一:的解集为()

7.(23-24高一上.甘肃兰州.期末)设函数y=〃x+l)是定义在(y,0)U(0,a)上的偶函数，y=〃x)在区

间(-8,1)上是减函数，且图象过原点，则不等式(X-1)_/•(%)<0的解集为()

A.(-8,1)B.(r,l)U(l,2)C.(y,0)U(l,2)D.(0,2)

二、多选题

8.(23-24高一上•四川成都•阶段练习)设函数/(尤)满足：对任意实数x、y都有,/(尤+_y)=/(x)+/(y)-4

且当x>0时，〃x)>4.设g(x)=/(x)-4.则下列命题正确的是()

A./(-2023)+/(2023)=8B.函数有对称中心(0,4)

C.函数g(x)为奇函数D.函数g(x)为减函数

9.(23-24高一上.湖南郴州•期末)已知函数〃x)(xeR)满足当%>0时，/(%)>1,且对任意实数小々满

足“西+%)=/&)/(%),当尤1片龙2时，/&)*/(%),则下列说法正确的是()

A.函数f(x)在R上单调递增

B.〃0)=0或1

C.函数/'(X)为非奇非偶函数

D.对任意实数xt,x2满足![/(%)+/(9)]271百/)

10.(23-24高一上•河南开封•期中)已知/'(X)是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意都满足

f(xy)^xf(y)+)f(x),则下列说法正确的是()

A./(I)=0

B.“X)是奇函数

C.若"2)=2,贝k&]=：

D.若当x>l时，/(%)<0,则g(x)=£j在(0,+8)单调递减

三、填空题

11.(24-25高一上•上海•课后作业)已知y=/