截长补短模型综合应用（知识解读）-2023年中考数学重难点题型专项训练

专题10截长补短模型综合应用(知识解读)

【专茎饯明】

“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数

量关系，即若题目条件或结论中含有“a+b=c”的条件，需要添加辅助线时可

以考虑“截长补短”的方法。

【方注技巧】

常见类型及常规解题思路：

①a+b=c可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型②证明。

②a+b=kc可以将。±匕与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特

殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30。的直角三角形等。

截长法常规辅助线：

(1)过某一点作长边的垂线

(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相

等。

补短法常规辅助线：

(1)延长短边。

(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起

【裳刎才析】

【典例1】模型分析

当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、

角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明.

问题：

如图，在△ABC中，平分NBAC交2C于点且/B=2NC,求证：AB+BD^AC.

截长法：

在AC上截取连接。E,证明即可.

补短法：

延长AB至点F,使AF=AC,连接DF,证明BF=BD即可.

请结合右边的证明结论.求证：AB+BD=AC.

请结合右边的【模型分析】证明结论.

求证：AB+BD=AC.

【截长法】

【变式1】如图，△ABC为等边三角形，。为△ABC外一点，连接AQ,BD,CD,ZADB

=NA£)C=60°,求证：AD=BD+CD.

【变式2】如图，Rtz^ABC中，AC=BC,平分/54C交BC于点。，CEJ_A。交A。于

F点，交AB于点E.求证：AD=2DF+CE.

【变式3】如图，△ABC内接于。0,AC=BC,C。是。。的一条弦，且黄=而，过点A

作APLC。，分别交CD,O。于点E,P,连接BP,若CD=6,△A2P的周长为13,

求AE的长.

【变式4】如图，在△ABC中，AB=AC,在AB左侧作N2OC=N8AC=a,过点A作AE

于点E.

(1)当a=90°时,

①求证：AE=DE；

②若BD=&_AE=2,请求出△ABC的面积;

(2)当aW90°时，求证：BD+DE=EC.

【变式5】【问题背景】

如图①，在边长为1的正方形ABC。中，点E为射线BC上的一个动点(与点3,C不

重合)，连接AE,过点E作EFLAE,与正方形ABCD的外角ZDCG的平分线交于点F.李

老师指出，当点E为线段BC的中点时，AE=EF.

【初步探索】

(1)如图②，当点E在线段BC的延长线上时，其他条件不变，那么结论

是否仍然成立；

【问题解决】

(2)当点E在线段8C上时，设的面积为y,求y与x之间的函数关系

式；

【拓展延伸】

(3)如图③，将正方形ABC。放在平面直角坐标系xOy中，点。与点8重合，点C在

尤轴正半轴上，当点E运动到某一点时，点/恰好落在直线y=-2尤+3上，求此时点E

的坐标.

图③

【典例2】如图1,在Rt^ABC中，AB=BC,点。，E,F分别在AB,BC,AC边上，且

DE=EF,/DEF=/B,NA=45°.

(1)试猜想C尸与BE之间的数量关系，并证明；

(2)自主探究:如图2,若将已知条件中含45°的直角三角形换成含30°的直角三角形,

其余条件不变，试探究BE和CF的关系.

A

AK

图1

【变式1】如图，在△ABC中，ZABC=45°,AOLBC于点。，点厂是AC上一点，连接

BF交AD于点E,且DE=CD,连接。R若AF=4,DF=2,则8月的长为.

A

DC

【变式2】如图，四边形ABC。内接于O。，8C是。。的直径，连接AC,BD,若A8=AC,

请探究AD,BD,OC之间的数量关系.

A

【变式3】如图，在△ABC中，ZACB=120°,BC>AC,点£■在8C上，点。在上,

CE=CA,连接DE,ZACB+ZADE=180°,CH±AB,垂足为点H.求证：DE+AD=

2MCH.

A〜rr

E

【变式4】如图，在△ABC中，AB=AC,/BAC=90°,点。是平面内一点，且AO_LC。.点

。是BC的中点，连接。4,0D.

(1)如图①，若点。是8C下方一点，过点。作分别交AC,AD于点E,F.

①求证：ZOAF^ZOCD；

②若CD=1,DF=2,求8c的长;

(2)如图②，若点。是AC右侧一点，试判断A。，CD,。。之间的数量关系，并说明

图①

图②

【变式5】【问题探究】

如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,点。是平面内一点，连接A。，BD,CD,且/

CAB=ZCDB.

(1)如图①，当NC4B=60°时，试探究B。，CD,之间的数量关系;

(2)如图②，当/CAB=120。时，探究辿型是否为定值，并说明理由;

【问题解决】

(3)如图③，在四边形AOBC中，AB=AC,NC4B=NCDB=120°,若AD=2,BD

=3,求CD的长.

图③

【变式6】如图，在矩形ABC。中，点E为CD延长线上一点，连接AE,过

点C作CTLAE于点RCP交于点X,过点。作。NLAE于点N,连接。足

(1)在不添加辅助线的情况下，找出一个与△CDH相似的三角形，并证明；

(2)求证：FD=2DN；

(3)求证：CF=gAF+2FD.

专题10截长补短模型综合应用(知识解读)

【专茎饯明】

“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数

量关系，即若题目条件或结论中含有“a+b=c”的条件，需要添加辅助线时可

以考虑“截长补短”的方法。

【方注技巧】

常见类型及常规解题思路：

①a+b=c可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型②证明。

②a+b=kc可以将。±匕与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特

殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30。的直角三角形等。

截长法常规辅助线：

(1)过某一点作长边的垂线

(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相

等。

补短法常规辅助线：

(2)延长短边。

(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起

【裳刎才析】

【典例1】模型分析

当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、

角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明.

问题：

如图，在△ABC中，平分NBAC交2C于点且/B=2NC,求证：AB+BD^AC.

截长法：

在AC上截取连接。E,证明即可.

补短法：

延长AB至点F,使AF=AC,连接DF,证明BF=BD即可.

请结合右边的证明结论.求证：AB+BD=AC.

请结合右边的【模型分析】证明结论.

求证：AB+BD=AC.

【截长法】

【解答】证明：【截长法】

在AC上截取连接。E,

平分N2AC,

ZBAD=ZDAC,

在△AB。和△&££)中,

'AE=AB

<ZBAD=ZDAC-

AD=AD

^ABD^AAED(SAS),

:.NB=/AED,BD=DE,又N2=2NC,

ZAED=2ZC,

而/AED=NC+NEDC=2NC,

：.ZC^ZEDC,

:.DE=CE,

：.AB+BD=AE+CE=AC.

证明：【补短法】

延长AB到尸，使BP=8D,连接DR

•：BF=BD,

：.ZF=NBDF,

：.ZABC=ZF+ZBDF=2ZF,且NABC=2NC,

.".ZC=ZF,S.ZCAD=ZBAD,AD=AD,

：.AADF^AADC(AAS)

：.AC=AF,

：.AC^AF^AB+BF^AB+BD.

【变式1】如图，△ABC为等边三角形，。为△ABC外一点，连接A。，BD,CD,ZADB

=/A£)C=60°,求证：AD=BD+CD.

【解答】证明：在D4上截取。连接BE,如下图所示,

△ABO为等边三角形，

/.Z£BD=60°,BE=BD,

△ABC为等边三角形，

AZABC=60°,BA=BC,

：.ZEBD-ZEBC=ZABC-NEBC,

：.ZABE=ZCBD,

在△ABE和△C8O中，

'BE=BD

-ZABE=ZCBD-

AB=CB

.♦.△ABE/ACBD(SAS),

：.AE=CD,

：.AD^AE+ED=CD+BD.

【变式2】如图，Rt^ABC中，AC=BC,AO平分N8AC交8C于点。，CEJ_A。交AO于

F点、,交A3于点£求证：AD=2DF+CE.

【解答】证明：在Ab上截取/G=OR连接CG,贝1JDG=2DR

：.ZDCF+ZACF=90°,

又・・・b_LA。，

AZACF+ZCAF=90°,

：.ZDCF=ZCAFf

•「AD平分NCAE,

：.ZCAF=ZEAFf

■:DF=FG,CF±DGf

：.CD=CG,

:・/CDG=NCGD,

VZDGC=ZGAC+ZACG,ZADC=ZB+ZBAD,

：.ZB=ZACGf

XVAC=BC,

AAACG^ACBE(ASA),

：.AG=CE9

：.AD=AG+DG=CE+2DF.

【变式3】如图，△ABC内接于O。，AC^BC,CD是O。的一条弦，且黄=俞，过点A

作APJ_C。，分别交C。，。。于点E,P,连接3P,若8=6,△43尸的周长为13,

求AE的长.

【解答】解：在AE上截取A尸=BP,连接CF,PC,

'：AC^BC,ZCAF^ZCBP,

:.ACAF当ACBP,

CF=CP,

'：CD±PA,

:.EF=PE,

：.AE=AF+FE=PB+PE,

'：AC=BC,

；•AC=BC，

VBC=BD)

AAB=CD-

：.AB=CD=6,

「△ABP的周长是13,

：.AP+PB=1,

\'AE=PE+PB,

：.2AE=AP+PB,

【变式4】如图，在△ABC中，AB=AC,在AB左侧作N2Z)C=N8AC=a,过点A作AE

于点E.

(1)当a=90°时,

①求证：AE=DE；

②若BD=MAE=2,请求出△ABC的面积;

(2)当aW90°时，求证：BD+DE=EC.

【解答】（1）①证明：过点2作BfUAE,交AE的延长线于点R

A

'：AE.LCD,

：.ZDEF=90°,

又；NBDE=90°,

四边形2£)所为矩形，

:.DE=BF,

VZ/?AC=90°,

：.ZBAF+ZEAC=9Q°,

又；/胡。+/4。£=90°,

ZBAF=ZACE,

又曲=90°,AB=AC,

：.AABF^ACAE(A4S),

:.BF=AE,

：.DE=AE-,

②解：：四边形3DEF为矩形，BD=®AE=2,

：.BD=EF=2,DE=BF=AE=E

：.AF=AE+EF=42+2,

.\BA2=BF2+AF2=(&)2+(V2+2)2=8+4&,

2

.\SAABC=1AB=1X(8+W2)=4+2V2^

(2)证明：过点A作AF±BD,交BD的延长线于F,连接AD,设CD与AB交于点O,

"：NBDC=ABAC,NBOD=ZAOC,

：.ZACO=ZDOB,

即/ABF=ZACE,

XVZAEC=ZAFB=90°,AC=AB,

:.△ACEWAABF(AAS),

：.AE=AF,BF=CE,

y.'：AD=AD,

：.RtAADE^RtAADF(HL),

:.DE=DF,

：.CE=BF=BD+DF=BD+DE.

【变式5】【问题背景】

如图①，在边长为1的正方形A8C£＞中，点£为射线8c上的一个动点(与点8,C不

重合)，连接AE,过点E作EFLAE,与正方形ABCD的外角ZDCG的平分线交于点F.李

老师指出，当点E为线段BC的中点时，AE=EF.

【初步探索】

(1)如图②，当点E在线段BC的延长线上时，其他条件不变，那么结论

是否仍然成立；

【问题解决】

(2)当点E在线段BC上时，设产的面积为y,求y与x之间的函数关系

式；

【拓展延伸】

(3)如图③，将正方形ABC。放在平面直角坐标系xOy中，点。与点8重合，点C在

尤轴正半轴上，当点E运动到某一点时，点尸恰好落在直线y=-2x+3上，求此时点E

的坐标.

图①

图③

【解答】解：【问题背景】

图1

四边形ABCD是正方形,

：.AB=BC,ZABC=90°=ABCD,

尸平分/OCG,

：.ZDCF=45°,

AZECF=135°,

是BC的中点,

:.BH=BE=AH=CE,

：.ZBHE=ZBEH=45°,

；・NAHE=NECF=135°,

VAEXEF,

/.ZAEB+ZFEC=90°,

VZAEB+ZBAE=90°,

：.ZFEC=ZBAEf

：.AAHE^AECF(ASA),

：.AE=EF；

【初步探索】

(1)仍然成立，理由如下：

如图2,在A4的延长线上取一点M使AN=CE,连接NE

图2

'：AB=BC,AN=CE,

；.BN=BE,

：.ZN=ZFCE=45°,

・・•四边形A3CO是正方形，

：.AD//BE,

：.ZDAE=ZBEA,

ZNAE=ZCEF9

在△ANE和方中，

<ZN=ZFCE

<AN=CE，

ZNAE=ZCEF

:.LANE学/\ECF(ASA)，

：.AE=EF；

【问题解决】

(2)如图3,在区4上截取连接”E,

同理得：AAHE咨LECF,

图3

.".y=S^AHE--l-AH*BE--kr(1-x)=--Ij?+Ax(OWxWl)；

2222

【拓展延伸】

(3)如图4,在BA上截取88=BE,连接HE,过点/作FM_Lx轴于Af,

.".BE=a=BH,

：.HE=y[2a,

由(1)可得△AHE2ECF,

:.CF=HE=®a,

平分NDCM,

：.ZDCF=ZFCM=45°,

\"FM.LCM,

：.ZCFM=ZFCM=45°,

：.CM=FM=a,

.\BM=l+a,

••点F(l+〃，a)f

:点尸恰好落在直线y=-2x+3上,

/•ct=-2(1+〃)+3,

•k1

3

:.点E(A,0).

3

【典例2】如图1,在Rt^ABC中，AB=BC,点、D,E,尸分别在AB,BC,AC边上，且

DE=EF,NDEF=NB,ZA=45°.

（1）试猜想CF与BE之间的数量关系，并证明；

（2）自主探究:如图2,若将已知条件中含45°的直角三角形换成含30°的直角三角形,

其余条件不变，试探究BE和CF的关系.

【解答】解：（1）b与BE之间的数量关系为：CF=42BE.理由:

过点厂作切于点如图,

•—BC中，AB=BC,/A=45°,

AZC=45°,ZB=90°.

ZDEF=ZB,

：.ZDEF^90°,

；.NDEB+/FEH=90°.

VZBDE+ZDEB=90°,

ZBDE=ZFEH.

在△8£>E和△HEP中，

，ZBDE=ZHEF

<ZB=ZFHE=90°-

DE=EF

A/\BDE^/\HEF(A4S),

：.BE=FH.

"：FH.LBC,ZC=45°,

△尸HC为等腰直角三角形，

：.FC=42FH,

:*FC=®BE；

(2)CP与BE之间的数量关系为：CF=2LH.BE.理由:

3

过点尸作尸于点”，如图，

A

：RtA48C中，NA=30°,

AZC=60°,ZB=90°.

'：ZDEF=ZB,

：.ZDEF=90°,

:./DEB+/FEH=9Q°.

VZBDE+ZDEB=90°,

ZBDE=ZFEH.

在△8DE和△"£1/中，

fZBDE=ZHEF

，ZB=ZFHE=90°，

DE=EF

A(A4S),

：.BE=FH.

"JFHLBC,ZC=60°,

sin60°=-5H,

FC

:.FC=N^FH,

3

:.FC=2MBE.

3

【变式1】如图，在△ABC中，ZABC=45°,A。_L8c于点。，点F是AC上一点，连接

BF交AD于点、E,且DE=CD,连接。尸，若A尸=4,DF=2,则8尸的长为.

A

【解答】解：如图，在8尸上截取凡连接4/7,

：.AD=BD,ZADB=ZADC=90°,

在△8OE和△ADC中，

，BD=AD

<ZBDE=ZADC=90°>

DE=DC

：./\BDE^/\ADC(SAS),

：.ZEBD=ZCAD,

'：ZBED=ZAEF,

ZAFE=ZBDE=90°,

ZAHF=ZHAF^45°,

：.AH=yf2AF,

：.ZBAH=ZDAF,ZAHB=135°,

ZAEF=ABED,/AFE=NBDE=9Q°,

：.AAFE^ABDE,

•AE=BE

"FEDE，

,/ZAEB=ZFED,

：./\AEB^/\FED,

：.ZEAB=ZEFD=45°,

:./AFD=NAFH+/EFD=90°+45°=135°,

二NAHB=ZAFD,

：.XAHBsXAFD,

.•・哒=妲=&,

DFAF

:.BH=®DF,

：.BF=BH+HF^yf2DF+AF=2近+4.

故答案为：2如+4.

【变式2】如图，四边形ABCZ）内接于O。，BC是。。的直径，连接AC,BD,若A8=AC,

请探究AD,BD,0c之间的数量关系.

【解答】解：作交3。于E,

,:BC是直径，

AZBAC=90°,

VZBAE+ZEAC=ZDAC+ZEAC=9Q°,

：.ZBAE=ZCAD,

VZABD^ZACD,AB^AC,

.'.△ABE经/\ACD(SAS),

：.BE=CD,

,/AA£D是等腰直角三角形，

:.DE=®AD,

,:BD=DE+BE,

：.BD=\[2AD+CD.

【变式3】如图，在△ABC中，ZACB=120°,BC>AC,点E在8C上，点。在AB上,

CE=CA,连接DE,ZACB+ZAZ)E=180°,CH1.AB,垂足为点H.求证：DE+AD=

243CH.

AH

D

【解答】证明：如图，作/PCZ)=NAC8,交BA延长线于尸,

ZFCA+ZACD=ZACD+ZDCB,

：.NFCA=/DCB,

VZACB=120°,ZACB+ZADE=180°,

AZEDB=120°,ZEDA=6Q°,

VZE4C=120°+ZB,ZCED=12Q°+ZB,

：.NFAC=NCED,

在和△E£>C中，

,ZFAC=ZCED

<AC=CE，

ZFCA=ZDCE

AAFC^AEDC(ASA),

：.AF=DE,FC=CD,

:CHUD,

：.FH=HD,ZFCH=ZHCD=60°,

：.DH=y/3CH,

•/AD+DE=AD+AF=FD=2DH=273CH,

:.AD+DE=2如CH.

【变式4】如图，在△ABC中，AB=AC,NA4c=90°,点。是平面内一点，且AOLCZX点

。是BC的中点，连接。4,0D.

(1)如图①，若点。是8C下方一点，过点。作0E，。。分别交AC,于点E,F.

①求证：ZOAF=ZOCD；

②若CD=1,DF=2,求BC的长；

(2)如图②，若点。是AC右侧一点，试判断AD,CD,之间的数量关系，并说明

理由.

图②

【解答】(1)①证明：・・・A8=AC,。为3c的中点,

：.OA=OB=OC,OALOC,

丁OELOD,

：.ZAOC=ZEOD=90°,

・•・ZAOF=/COD,

VZAOM=ZMDC=90°,ZAMO=ZCMD,

：.ZOAM=NMCD,

：./\OAF^/\OCD(ASA),

：.ZOAF=ZOCD；

②解：VAOAF^AOCD,

：.AF=CD=\,

•・•£＞尸=2,

・•・AD=AF+DF=1+2=3,

'：AD±DCf

AZADC=90°,

.*.AC=^AD24CD2=^32+12=7IO,

9

\AC=ABf

：.BC=42AC=y/2XVI^=2遥；

(2)解：AD+CD=4^OD.

理由：过点。作OE，。。，交ZM的延长线于点E,

图②

'：ZDOE=ZAOC=9Q°,

ZAOE=ZCOD,

VZODC+Z+ODA=90°,ZODA+ZOEA=90°,

：.ZODC=ZOEA,

又：OA=OC,

.,.△OCD^AOAE(AAS),

:.CD=AE,OD=OE,

:*DE=&OD,

：.AD+AE=AD+CD=y/2OD.

【变式5】【问题探究】

如图，ZXABC是等腰三角形，A8=AC,点。是平面内一点，连接A。，BD,CD,且/

CAB=ZCDB.

ci)如图①，当/C4B=60°时，试探究3DCD,A。之间的数量关系；

(2)如图②，当/CA8=120。时，探究处&是否为定值，并说明理由；

AD

【问题解决】

(3)如图③，在四边形AOBC中，AB=AC,ZCAB=ZCDB=nO°,若AD=2,BD

=3,求CD的长.

图③

【解答】解：(1)BD,CD,A£)之间的数量关系为：BD=CD+AD,理由如下：

在上取一点E,使BE=CD,连接AE,设AC交2。于"，如图①所示：

NCAB=NCDB,ZAHB=ZCHD,

：.ZABE=ZACD,

在△ABE和△AC。中，

rAB=AC

-ZABE=ZACD-

BE=CD

/.AABE^AAO)(SAS),

：.AD=AE,ZDAC=ZEAB,

：.ZDAC+ZCAE=ZEAB+ZCAE^ZCAB^60°,

...△AOE是等边三角形，

：.DE=AD,

：.BD=BE+DE=CD+AD；

(2)BD-CD是定值,理由如下：

AD

在8。上取一点E,使BE=CD,连接AE,设AC交于X,过点A作A尸工8。于R

如图②所示：

■:NCAB=NCDB,ZAHB=ZCHD,

：.ZABE=ZACD,

在△ABE和△ACQ中，

rAB=AC

<ZABE=ZACD>

BE=CD

AAABE^AACD(SAS),

：.AD=AE,ZDAC=ZEAB,

：.ZDAC+ZCAE=ZEAB+ZCAE=ZCAB=120°,

J.ZADE^ZAED^l.(180°-