河北省唐山市2022届高三年级下册第一次模拟考试数学试题

河北省唐山市2022届高三下学期第一次模拟考试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.复数z在复平面内对应的点为(-1,2),则*=()

Z

A.l+2iB.-l-2iC.l-2iD.2+i

2.已知集合人={%,2一5无一6<0},5={%[-4<%<4卜则ACJB=()

A.1x|-2vxv3}B.1x|-3<x<2}

C.1x|-1<xv4}D.{X[T<%<1}

3.圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为()

A.1：1B.1：2C.2：1D.2:3

4.已知角。的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A(-1,3)在角。的终边上,

则sin2。=()

33「33

A.—B.-C.------D.—

105105

5.已知向量£=(2,1),\b\=y/10,\a-b\=5,则之与B的夹角为()

A.45°B.60°C.120°D.135°

r2y2

6.已知厂为双曲线C:与=1(。〉0]〉0)的右焦点，A为双曲线C上一点，直线

a一手

AFlxtt，与双曲线C的一条渐近线交于8,^\AB\^\AF\,则C的离心率e=()

w2^3c好

D.2

153-2

7.已知函数/(x^V+a^+x+b的图象关于点(1,0)对称，贝!］匕=()

A.-3B.-lC.lD.3

8.在正方体ABC。-中，M为棱8片的中点，平面4。河将该正方体分成两部分,

其体积分别为匕，匕，(匕<%)，则匕=()

171

B.-C.—D.-

3172

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.有一组目不相等的数组成的样本数据X］,%.x9,其平均数为a(a力Xj,z=1,2,

9),若插入一个数a,得到一组新的数据，则(

A.两组样本数据的平均数相同B.两组样本数据的中位数相同

C.两组样本数据的方差相同D.两组样本数据的极差相同

10.设函数/(x)=2sin3x—：,则()

A"(x)在—斌TTTT上单调递增

B./(%)在［0,2兀］内有6个极值点

JT

C.f(x)的图象关于直线％=-A对称

JT

D.将y=2sin3］的图象向右平移一个单位,可得y=/(X)的图象

4

11.已知直线/:%=。+4与抛物线C:/=4x交于两点，。为坐标

原点，直线04,08的斜率分别记为匕，k2,则()

A.为定值B.匕•42为定值

C.%+y2为定值D.K+自+/为定值

12.已知a>l,X］,无2，%为函数/(X)=/一工2的零点，xr<x2<x3,下列结论中正确

的是()

A.石〉一1B.Xj+x2<0

(2\

C.若2々=为+%3，则巴=J5+1D.a的取值范围是l,e1

7

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

v24-1X<0

13.设函数/⑴='-'若〃Q）=0,贝必=________.

lgx,x>0.

14.记S”是公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项和，若q=乂，卬%=«5，则册=.

15.为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取左,eN*）包食品,

并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从

正态分布N.d）.假设生产状态正常，记自表示每天抽取的/包食品中其质量在

（〃—3。,〃+3。）之外的包数，若J的数学期望E（J）>0.05,则k的最小值为.

附：若随机变量X服从正态分布N（〃,cr2）,则P（〃—3b<X<〃+3b）a0.9973.

16.己知A（—2,0）,3（2,0）,是圆C:（x—iy+y2=3上的动点，当|PA|.|P5|

最大时，/=；|K4|+|P@的最大值为.（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知数列｛4｝的各项均不为零，S“为其前〃项和，且可。用=25“-1.

（1）证明：a,,*2—an=2；

⑵若q=-1,数列也｝为等比数列，4=q,d=%.求数列｛%2｝的前2022项和0团

18.（12分）

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知NS4C=60°,a=2月.

(1)若C=45°,求b；

(2)若。为BC的中点，且AD=百，求△ABC的面积.

19.(12分)

甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制.

根据以往数据，在决胜局(在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三

局比赛)中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6,乙

队获胜的概率为0.4.

(1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了4局比赛，求随机变量4的分布列，并

指出进行几局比赛的可能性最大；

(2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？

20.（12分）

如图，直三棱柱ABC—A51cl中，AC=BC=CCi=2,。为的中点，E为棱A4上

一点，AD.LDQ.

(1)求证：8。1,平面44。；

(2)若二面角A-OE-C的大小为30°,求直线CE与平面CDE所成角的正弦值.

21.(12分)

e"i

已知函数/(%)=——.

x+1

(1)讨论了(X)的单调性;

(2)证明：/(%)>.

22.（12分）

22

，禺心率为一.

2

(2)如图，椭圆C的左、右顶点为A，4,不与坐标轴垂直且不过原点的直线/与C交

于M,N两点(异于A，4),点“关于原点。的对称点为点P,直线4尸与直线4N交

于点。，直线。。与直线/交于点R.证明：点R在定直线上.

参考答案

一、选择题:

1-5：BCADD6-8：BCC

二、选择题：

9.AD10.BC11.ABD12.ACD

三、填空题：

13.114.3-〃15.19

16.1,4&（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：（若有?他解港，.请年即维分）

17.解:⑴因为a"。,*]=2S"一1①

所以4+。+2=25,用-1②

②-①得《+1（4+2一%）=2%+1，

因为。用#0,所以4+2—4=2

（2）由〃]二一1得。3=1，于是62=。3=1，

由伉=一1得｛么｝的公比q=—l.

所以a=（一1）"，a也=（-1）5

由q%=2〃i-1得〃2=3

由〃〃+2_=2得〃2022_々2021=〃202。-%019=…=4一"1

因此7^Q22=_"1+%—〃3+〃4-----〃2021+〃2022

=（%—4）+（。4—6）+—+（々2022—々202］）

二1011x（%一%）

=1011x4

=4044

18.解：（1）因为。=45°,所以sin5=sin（NE4C+C）=sin（60°+45°）=，^32

ab

在3c中，由正弦定理得

sinABACsinB

上博”■

(2)在ZVIBC中，由余弦定理得廿+02—历=12.①

因为。为的中点，所以

R力2,A力2_ATilo_2

在AABD中，由余弦定理得cosZADB=--------------=——=.

2xBDxAD2.715

CD-+AD--AC28-b2

在38中，由余弦定理得cos/4DC=

2xCDxAD2岳'

由cosNADB+cos/ADC=0得尸+。2=16.②

联立(1)(2)可得Z?c=4,即％月.

19.解：(1)因为是五局三胜制，所以自的可能取值为3,4,5.

「4=3)=0.63+0.43=0.28；

P您=4)=C；x0.4x0.63+C；x0,6x0.43=0.3744；

=5)=Gx0.42x0.62=0.3456；

则J的分布列为

345

P0.280.37440.3456

由上述可知，进行四局比赛的可能性最大.

(2)作为领队希望己方获胜，故需比较两种赛制下甲队获胜概率的大小.

若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为

B=0.63+C；x0.4x0.63+C；x0.42x0.62x0.5=0.648；

若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为

2

p2=0.6+C,x0.4x0.6x0.5=0.6；

因为月＞。2,所以作为甲队领队，希望采用五局三胜制.

20.(1)证明：在直三棱柱ABC—A31cl中，eq，底面ABC,ADu底面ABC,

则eg±AD；

又ADJ_DC；,CqcDC[—C],CC]u平面BCC}B},DC〔u平面BCC}B},

于是AD,平面BCC4,又BCu平面5CCI81,故ADLBC.

由直三棱柱知A&，底面ABC,BCu底面ABC,则

又因为ADcAA=A,ADu平面AAD,A^u平面AA。，

故BC,平面AAD.

(2)解：由(1)知AD_L6C,又。为BC中点，故AB=AC.

以。为坐标原点，成的方向为x轴正方向，次的方向为y轴正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系。-工yz.

则。(0,0,0),C(l,0,0),3(—1,0,0),A(0,0,0),“1,0,2).

设AE=/(()</<2),则E(0,6J).

由(1)知平面4。石的法向量可取就=(2,0,0).

设平面GDE的法向量3=(%y,z),

因为配1=(1,0,2),DE=(0,A0)

x+2z=0,

所以《取3=(2后,_百).

y/3y+tz=0.

由题设得|cos〈沅,3〉|=且，即=昱，解得”1.

2而+152

此时，n=(2.y/3,1,.

设CE与平面GDE所成角为。,

因为四=(—1,6,1),

21.解：(1)/(x)的定义域为(-oo,T)u(T,+co),f'(x)=----7-

(1+x)

当x<—1时，/'(x)<0，/(x)单调递减；

当—l<x<0时，/(%)<0,7(X)单调递减；

当x>0时，/(%)>0,/(X)单调递增.

故/(%)在(-00,-1)和(-1,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增.

(2)令g(x)=(x+iyei",x>Q,则g'(x)=9*(I-/),

所以0«x<l时,g'(x)>0,g(x)单调递增；

x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

所以g(力的最大值为g⑴=4,即(x+l)2e「'<4,

,,ke”、x+i匚匚…4、x+1

从而---->-----,所以/(x)»----.

x+144

▽x+]yfx__(>/x-I)2

乂—之U,

424

所以正，等号当且仅当工=1时成立

42

故外力¥.

[L2=1

a24〃'

22.W：（1）由题意知，1,

i_£=l

【a24,