2025年中考数学复习之三角形

2025年中考数学复习新题速递之三角形

选择题（共10小题）

1.（2024•青秀区校级开学）以下各组数据为边长，能构成直角三角形的是（）

A.12,15,20B.1,V3,4C.5,8,10D.3,4,5

2.（2024春•来宾期中）某校在消防主题公园周边修了3条小路，如图，小路8C,AC恰好互相垂直，小

路AB的中点M刚好在湖与小路的相交处.若测得8C的长为1200相，AC的长为900根，则CM的长为

（）

A.750mB.800mC.900mD.1000m

3.（2024•海淀区校级开学）如图，△ABC中，AE是中线，A。是角平分线，AF是高，ZBAD=50°,则

A.BE=CE

B.ZC+ZCAF=90°

C.SAAEC=S/^ABE

D.当/C=NBA。时，ZADF=10°

4.（2024•淮阴区校级模拟）如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，贝U/ABC

5.（2023秋•德庆县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉

亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）

A.△ABC的三条中线的交点

B./XABC三条角平分线的交点

C.△ABC三条高所在直线的交点

D.△ABC三边的中垂线的交点

6.（2024春•来宾期中）如图，某校综合实践小组为测量校内人工湖的宽度A3,在岸边选一点C,并分别

找到AC和BC的中点。，E,测得。E=16米，则人工湖的宽度48为（）

7.（2023秋•南阳期末）如图，BD与CE交于O,AE=AD,添加一个条件，仍不能使△ABOgAACE的

是（）

A.BE=DCB.CE=BDC.Z1=Z2D.ZABC=ZACB

8.（2024春•来宾期中）在△ABC中，ZA,ZB,/C所对的边分别是a,b,c,且/A：ZB：ZC=1：

2：3,则下列等式正确的是（）

A.b2=cr+c2B.2a2=c2C.2b2=c2D.2a=c

9.（2023秋•攀枝花期末）如图，在△ABC中，AB=AC=V2,/8AC=90°.点。、E都在边上，Z

DAE=45°.若BD=2CE,则。E的长是（）

B

D.3-V5

10.（2024春•福田区校级期中）等腰三角形的一边长为3%另一边长为7cm,则它的周长为（）

A.13cmB.17cm

C.22cmD.13c〃z或17cMi

二.填空题（共5小题）

11.（2024春•南岗区校级期中）在RtAABC中，ZC=90°,斜边AB=U,若AC=5,贝！JBC

12.（2024春•武侯区校级期中）如图，在RtA4BC中，ZABC=90°,BD是高,E是△ABC外一点，BE

=BA,NE=NC,若。E=5,AD=12,BD>DE,则△BOE的面积为.

BC

13.（2024•海淀区校级开学）如图，AB^AC,点。，E分别在A2与AC上，CD与BE相交于点?只填

一个条件使得添加的条件是：.

14.（2024春•滦南县校级期末）如图，D、E分别是△ABC边A2、BC上的点，AD=2BD,BE=CE,连

接AE、CD交于点F,连接若△2。尸的面积为4,则阴影部分的面积=

A

15.（2024春•衡南县校级期中）如图，已知/B=20°,ZC=25°,若PM和QN分别垂直平分A8和

AC,则NB4Q=0.

三.解答题（共5小题）

16.（2024•汕头一模）如图，△A8C和△£＞（五都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,

DC=EC,连接A。，BE.

（1）求证：AACD沿ABCE；

（2）直接写出A。和BE的位置关系.

17.（2024春•衡南县校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,CD平分/ACB,交45于点

D,求证：△AC。是等腰三角形.

18.（2024春•秦都区校级月考）如图，在△ABC中，AC=8,点。，E分别在8C,AC上，尸是3。的中

点，连接AD和ER若EF=EC,求所的长.

19.（2024•西安校级一模）如图，点8、E、F、。在同一直线上，BE=DF,AB//CD,AB=CD.求证:

AF//CE.

B

20.（2024春•西安校级期中）如图，在RtzXABC中，/ABC=90°,点D在BC的延长线上，且8DAB.过

点B作BELAC,与BD的垂线DE交于点E.

(1)求证：AABC咨4BDE

(2)若AB=12,DE=5,求C£>的长.

A

2025年中考数学复习新题速递之三角形（2024年9月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2024•青秀区校级开学）以下各组数据为边长，能构成直角三角形的是（）

A.12,15,20B.1,V3,4C.5,8,10D.3,4,5

【考点】勾股定理的逆定理.

【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【答案】D

【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系分别对各个选项进行判断即可.

【解答］解：V122+152^202,

，三边长为12,15,20的三角形不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；

B、Vl+V3<4,

以1,V3,4为边长不能构成三角形，故此选项不符合题意；

C、V52+8M102,

...三边长为5,8,10的三角形不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；

。、：32+42=52,

，三边长为3,4,5的三角形能组成直角三角形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形的三边关系等知识，如果三角形的三边长a,b,c

满足/+廿=°2,那么这个三角形就是直角三角形.熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

2.（2024春•来宾期中）某校在消防主题公园周边修了3条小路，如图，小路3C,AC恰好互相垂直，小

路AB的中点〃刚好在湖与小路的相交处.若测得8C的长为1200相，AC的长为900根，则CM的长为

（）

A.750mB.800mC.900mD.1000m

【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【答案】A

【分析】先根据勾股定理求出1500加，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论.

【解答】解：小路BC,AC恰好互相垂直，

AZACB=90°,

：.AB=yjAC2+BC2=V9002+12002=1500（m）,

:点M是小路48的中点，

1

：.CM=AB=750m,

故选：A.

【点评】本题考查的勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理以及直角三

角形斜边上的中线性质是解题的关键.

3.（2024•海淀区校级开学）如图，△ABC中，AE是中线，是角平分线，AF是高，ZBAD=50°,则

下列说法错误的是（）

A.BE=CE

B.ZC+ZCAF=90°

C.SAAEC~S^ABE

D.当时，NA。尸=70°

【考点】角平分线的性质；三角形的面积.

【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】由中线的性质可得BE=CE,S^AEC=SMBE,由AF是△ABC的高，可得NC+/CAF=90°,

由角平分线的定义可得当时，根据NR4D=50°可计算出尸的度数,

再计算出/ADF的度数即可.

【解答】解：•••AE是中线，

'.BE=CE,S^AEC=S^ABE,

故A、C说法正确；

：A尸是△ABC的高,

AZAFC=90°,

：.ZC+ZCAF=90°,

故2说法正确；

：是角平分线，

：.ZBAD=ZCAD,

.•.当/C=N8AO=50°时，ZCAF=40°,

：.ZFAD=ZDAC-ZFAC=50°-40°=10°,

AZADF=90°-Z£）AF=90°-10°=80°,

故。说法错误；

故选：D.

【点评】本题考查了三角形面积、角平分线等知识，熟记三角形面积公式、角平分线定义是解题的关键.

4.（2024•淮阴区校级模拟）如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则NABC

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义.

【答案】C

【分析】连接AC,根据勾股定理求出AC、BC、AB的长，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三

角形，根据正切的定义计算即可.

【解答】解：连接AC,

由网格特点和勾股定理可知，

AC=Vl2+I2=V2,AB=2戊,BC=V32+l2=V10,

AC2+AB2=\0,BC2=10,

:.AC2+AB2=BC2,

:.AABC是直角三角形，

：.tanZABC^^4=

AB2V2

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理及其逆定理的应用，熟记锐角三角函数的定义、

掌握如果三角形的三边长。，b,C满足/+廿=02,那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键.

5.（2023秋•德庆县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉

亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）

A.△ABC的三条中线的交点

B.△ABC三条角平分线的交点

C./XABC三条高所在直线的交点

D.△ABC三边的中垂线的交点

【考点】角平分线的性质.

【专题】应用题.

【答案】B

【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是AABC

三条角平分线的交点.由此即可确定凉亭位置.

【解答】解：.••凉亭到草坪三条边的距离相等，

/.凉亭选择△ABC三条角平分线的交点.

故选：B.

【点评】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用.主要利用了利用了角平分线上的点到

角两边的距离相等.

6.（2024春•来宾期中）如图，某校综合实践小组为测量校内人工湖的宽度AB,在岸边选一点C,并分别

找到AC和BC的中点Z）,E,测得。E=16米，则人工湖的宽度为（

A.30米B.32米C.36米D.48米

【考点】三角形中位线定理.

【专题】三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】直接利用三角形的中位线定理，进行求解即可.

【解答】解：：。，E分别是AC和8C的中点，

DE是△ABC的中位线，

.•.A8=2OE=32米；

故选：B.

【点评】本题考查三角形的中位线定理的应用，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键.

7.（2023秋•南阳期末）如图，BD与CE交于O,AE^AD,添加一个条件，仍不能使△A8Z屋AlCE的

是（）

A.BE=DCB.CE=BDC.Z1=Z2D.ZABC=ZACB

【考点】全等三角形的判定.

【专题】图形的全等；推理能力.

【答案】B

【分析】要使△ABE四△AC。，已知具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边

或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可.

【解答】解：AE^AD,

：.当BE=CD时，则AB=AC,依据SAS即可得到

当CE=BD时，则和△ACE全等条件是SSA,不能判定△ABO0AlCE；

当/1=/2时，由于NEO8=/QOC,则/ABO=/ACE,依据ASA即可得到△ABE丝△AC。；

当NABC=NACB时，贝!IA3=AC,依据SAS即可得到△ABE0ZkACZ）；

故选：B.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS,SAS,ASA,AAS,

HL.添加时注意：A4A,SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择

条件是正确解答本题的关键.

8.（2024春•来宾期中）在△ABC中，ZA,/B,/C所对的边分别是a,b,c,且/A：ZB：ZC=1：

2：3,则下列等式正确的是（）

A.tr-cr+c1B.2a1—c2C.2b1—c1D.2a—c

【考点】勾股定理；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】设/A=x,ZB=2x,/C=3x,根据三角形内角和定理可得△4BC是直角三角形，且c是斜

边,从而得到/+庐=02,c=2a,即可求解.

【解答】解：设ZB—lx,NC=3x,

x+2x+3x=180°,

解得：％=30°,

ZA=30°,ZB=60°,ZC=90°,

•••△ABC是直角三角形，且。是斜边，

.,.a2+b2=c2,c=2a,

故选项A,B,C错误，选项D正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查了含30°直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，掌握直角三角形

的性质是关键.

9.（2023秋•攀枝花期末）如图，在△ABC中，AB=AC=夜，NBAC=90°.点。、E都在边BC上，Z

DAE=45°.若BD=2CE,则。E的长是（)

B

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】C

【分析】由等腰直角三角形性质和勾股定理求出NABC=NC=45°,BC=2,根据旋转的性质得出AF

=AE,ZFBA=ZC=45°,ZBAF=ZCAE,求出/胡。=/ZME=45°,证△物△EAD,由全等

三角形的性质可得。尸=。£,设EC=x,则8F=x,BD=2x,DF=DE=V5x,根据8c=2,列方程，

求出无即可.

【解答】解：:△ABC中，AB=AC=®ZBAC=90°,

：.ZABC=ZC=45°,

：.BC=7AB2+ac2=VT+2=2,

把△AEC绕A点旋转到△人■?,使45和AC重合，连接。足

贝i」AP=AE,ZFBA=ZC=45°,ZBAF=ZCAE,

VZDAE=45°,

AZFAD=ZFAB+ZBAD=ZCAE+ZBAD=ABAC-ZDAE^90°-45°=45°,

：.ZFAD^ZDAE=45°,

在△物。和△EA。中，

AD=AD

Z-FAD=Z.EAD，

AF=AE

：./\FAD^/\EAD(SAS),

:・DF=DE,BF=EC,

设EC=x,贝!！BF=x,BD=2x,

：.DF=\BF2+BD2=V5,

,:BC=2,

2X+V5X+X=2,

：.DE=V5x=3*-5,

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰直角三角形的应用，添加恰当辅助线

构造全等三角形是本题的关键.

10.（2024春•福田区校级期中）等腰三角形的一边长为3c"2,另一边长为7cm,则它的周长为（）

A.13cmB.17cm

C.22cmD.13c根或17cm

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】B

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3c机和7cm,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨

论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解答】解：分两种情况：

当腰为3c加时，3+3=6<7,所以不能构成三角形；

当腰为7cm时,3+7>7,所以能构成三角形，周长是：3+7+7=17（cm）.

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟知以上知识是解题的关键.

填空题（共5小题）

11.（2024春•南岗区校级期中）在RtZVIBC中，NC=90°,斜边AB=12,若AC=5,贝!I

【考点】勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【答案】V119.

【分析】由勾股定理计算即可得出答案.

【解答】解：由勾股定理得：BC=7AB2—AC?=V122-52=V119,

故答案为：V119.

【点评】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题.

12.（2024春•武侯区校级期中）如图，在RtA4BC中，90°,BD是高,E是△ABC外一点，BE

=BA,NE=NC,若。E=5,AD=12,BD>DE,则△BDE的面积为30.

BC

【考点】三角形的面积；垂线段最短.

【答案】30.

1

【分析】根据SAS证明△ABE与ABED全等，BF=DE=5,然后利用5"加=S^ABF=jBF-4D代数

求解即可.

【解答】解：；3。是高，

AZADB=ZBDC=90Q,

VZABD+ZBAD=ZBAD+ZC=90°,

NABD=NC=/E,

在2。上截取2尸=OE,如图所示：

BC

在AABF与ABED中

AB=BE

4ABD=乙E,

.BF=DE

.'.△ABF冬ABED(SAS),

:.BF=DE=5,

11

；.SABDE=S^ABF=?BF•AD=x5x12=30.

故答案为：30.

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，作出辅助线，根据SAS证明全等

是解题的关键.

13.（2024•海淀区校级开学）如图，AB^AC,点、D,E分别在AB与AC上，C。与8E相交于点?只填

一个条件使得添加的条件是：NB=/C（答案不唯一）.

【考点】全等三角形的判定.

【专题】图形的全等；推理能力.

【答案】/B=NC（答案不唯一）.

【分析】根据题意，已经有一组边相等，一个公共角，结合图形，根据两个三角形全等的判定定理，添

加一组角相等，构成ASA,即可得到两个三角形全等.根据其他的判定定理，也可添加其他的条件.

【解答】解：•；NB=NC,AB=AC,ZA^ZA,

：.AABE^^ACD（ASA）,

故答案为：ZB=ZC（答案不唯一）.

【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理添加条件即可.

14.（2024春•滦南县校级期末）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD,BE=CE,连

接AE、CD交于点F,连接8尸，若△8AF的面积为4,则阴影部分的面积=3.

【考点】三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高.

【答案】3.

【分析】根据AO=28。得到5△4。尸=2必如尸=8,SAADC=2SABDC,再由三角形中线平分三角形面积得

至!JS阴影=SABEF,SAABE—S^ACE,S阴影=S^BEF=X,则SABDC=2X+4,根据三角形面积之间的关系推出S

△ACE=5尤，则5x=x+8+4,解方程即可得到答案.

【解答】解：

••S/\ADF=2sABDF=8，SAADC=2s△BOC，

■:BE=CE,

・・S阴影S/\ABE=S/\ACEJ

设S阴影=SABM=X,贝！JS/\BDC=2x+4f

.'.5AACD=4X+8,

.*.SAACF=4X,

••S/^ACE=5XJ

:.5x=x+8+4,

解得x=3,

故答案为：3.

【点评】本题主要考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，掌握等底同高的三角形面积相

等是解题的关键.

15.（2024春•衡南县校级期中）如图，己知/B=20°,NC=25°,若PM和0N分别垂直平分A8和

AC,则/B40=90°.

【考点】线段垂直平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力.

【答案】90.

【分析】先由PM和QN分别垂直平分和AC,得出/2=/B,Z1=ZC,根据三角形内角和性质

列式作答即可.

【解答】解：如图：

,/PM和QN分别垂直平分AB和AC,

：.AP=PB,AQ=QC,

：.42=4B,N1=NC,

VZB=20°,ZC=25°,

.,.Z3=180°-2(ZB+ZC)=90°,

故答案为：90.

【点评】=本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

三.解答题(共5小题)

16.(2024•汕头一模)如图，△ABC和△Z5CE都是等腰直角三角形，ZACB^ZDCE^90°,AC^BC,

DC=EC,连接ADBE.

(1)求证：△AC。乌△BCE；

(2)直接写出AO和BE的位置关系.

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.

【专题】图形的全等；推理能力.

【答案】(1)见解析；

(2)AD±BE.

【分析】(1)先证明NAC£)=NBCE,然后根据SAS即可证明△AC。丝△BCE；

(2)延长AD交BE于点R交BC于点N,由全等三角形的性质得NC4£>=NCBE,由NC4O+/ANC

=90°可证/CBE+N〃VF=90°,进而可证结论成立.

【解答】(1)证明：,：ZACB=ZDCE=90°,

：.ZACB-/BCD=ZDCE-ZBCD,

：.ZACD^ZBCE,

:AC=BC,DC=EC,

：.AACD^ABCE(SAS)；

(2)解：延长AO交BE于点F,交BC于点、N,

'：△AC。空ABCE,

:.NCAD=NCBE

VZACB=90°,

：.ZCAD+ZANC^90°,

•.*/ANC=ZBNF,

/CBE+/BNF=9T,

：.ZBFN=90°,

：.AD±BE.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，证明

BCE是解答本题的关键.

17.（2024春•衡南县校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,CD平分/ACB,交48于点

D,求证：AACr）是等腰三角形.

【考点】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】证明见解析.

【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出/ACD度数，即可得到继而得

证.

【解答】证明：NA=36°,

1

ZACB=/B”（180°-Z4）=72°.

平分NAC8,

ZACD=/DCB=^/.ACB=36°.

又：/A=36°,

ZA^ZACD,

：.CD=AD,即△ACZ）是等腰三角形.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形内角和，角平分线的定义，关键是根据等腰三角

形的性质及三角形内角和定理求出NAC。度数解答.

18.（2024春•秦都区校级月考）如图，在△4BC中，AC=8,点。，E分别在BC,AC上，F是8。的中

点，连接和EF,若4B=A。，EF=EC,求EE的长.

BFD

【考点】直角三角形的性质；余角和补角；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】4.

【分析】连接AR在△ABC中，由“等腰三角形三线合一”可得NAFC=90°,由“等边对等角”可

得/EFC=/C,由"等角的余角相等”可得由此可得E4=EF=EC=^AC,即可求

就出EF的长.

【解答】解：连接AR

"：AB=AD,厂是2。的中点，

：.AF±BD,

：.ZAFD=90°,

：.ZEAF+ZC^90°,NAFE+/EFC=90°,

；EF=EC,

：.ZEFC=ZC,

：./EAF=Z.AFE,

1

.'.EA=EF=EC==4.

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、余角和补角、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解

题的关键.

19.（2024•西安校级一模）如图，点8、E、F、。在同一直线上，BE=DF,AB//CD,AB=CD.求证:

AF//CE.

B

【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力.

【答案】见解析过程.

【分析】由“SAS”可证△A87名△CDE,可得NA尸B=NCM,可得结论.

【解答】证明：・・,3E=OF,

；・BE+EF=DF+EF,

；.BF=DE,

'：AB//CD,

；・/B=/D,

在AAB尸和△CDE中，

AB=CD

Z-B—Z-DJ

BF=DE

：.AABF^ACDE(SAS),

・•・/AFB=/CED,

J.AF//CE.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键.

20.(2024春•西安校级期中)如图，在Rt^ABC中，/A8C=90°,点。在8C的延长线上，且过

点8作BE±AC,与BD的垂线DE交于点E.

(1)求证：AABC咨4BDE

(2)若AB=12,DE=5,求CD的长.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；运算能力；推理能力.

【答案】(1)见解析；

(2)CZ)=7.

【分析】(1)根据等角的余角相等，证明再根据ASA即可证明△ABCg△BOE；

(2)根据全等三角形的性质即可得出42=。+。石，即可求解.

【解答】(1)证明：

?.ZA+ZABE=90°,

VZABC=90°,

：.ZDBE+ZABE^90°,

/A=/DBE,

在△ABC和△BOE中，

‘ZA=/DBE

-BD=AB，

^ABC=乙BDE=90°

:.△ABgABDE(ASA)；

(2)解：AB^DE+CD,

理由：由(1)证得，△ABC经△BOE,

：.AB=BD,BC=DE,

,;BD=CD+BC,

：.AB=CD+DE.

\'AB=12,DE=5,

：.CD^AB-DE=12-5=7.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

考点卡片

1.余角和补角

（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角.

（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角.即其中一个角是另一个角的补

角.

（3）性质：等角的补角相等.等角的余角相等.

（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联.

注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系.不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它

们就具备相应的关系.

2.垂线段最短

（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段.

（2）垂线段的性质：垂线段最短.

正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.它是相对于这点与直

线上其他各点的连线而言.

（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两

个中去选择.

3.三角形的角平分线、中线和高

（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.

（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做

三角形的角平分线.

（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.

（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.

（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另

一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，

三条高所在直线相交于三角形外一点.

4.三角形的面积

（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S4=筵x底义高.

（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

5.三角形三边关系

(1)三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.

(2)在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短

的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

(3)三角形的两边差小于第三边.

(4)在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，

容易忽略.

6.三角形内角和定理

(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大

于0°且小于180°.

(2)三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

(3)三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转化中借助平

行线.

(4)三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法

求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

7.全等三角形的判定

(1)判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.

(2)判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.

(3)判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.

(4)判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

(5)判定定理5：乩--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应

相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹

边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.

8.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，

关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形.

9.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有

时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，

在NAOB的平分线上，C£>_LOA,CE工OB：.CD=CE

10.线段垂直平分线的性质

(1)定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)

垂直平分线，简称“中垂线”.

(2)性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的

距离相等.—③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距

离相等.

11.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个

元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

12.等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.【简称：等角对等边】

说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法.

②等腰三角形的判定和性质互逆；

③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线;

④判定定理在同一个三角形中才能适用.

13.直角三角形的性质

(1)有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.

(2)直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一