中考数学专项复习：有理数的乘法与除法

有理数的乘法与除法

知识点一、有理数乘法法则

1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

2.0与任何数相乘都得0；

3.任何数与1相乘都等于它本身，任何数与一1相乘都等于它的相反数；

4.拓展：

(1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负

因数的个数有偶数个时，积为正；

(2)几个数相乘，如果有一个因数为0,那么积就等于0.反之，如果积为0,那么至少有一个因数

为0.

(3)一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再

计算，方便约分.

例：计算(-3)x|x(-1.)X(-0.25)

【解答】晨9

591

【解析】^=-3x-x-xz

9

8

知识点二、有理数的乘法运算律

1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即aXb=6Xa；

2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即

(aX6)Xc—aX(bXc)；

3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.即

aX(b+c)=aXb+aXc.

例：简便计算修--v+上)X(-36)

4io)

【解答】5

【解析】原式=AX(-36)+J?)x(-36)+寺X(-36)

y\4/io

=-20+27-2

=5

知识点三、倒数

1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.

PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0,不可能等于1，所以0没有倒数.

2.求一个数的倒数的方法：

(1)一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数；

(2)求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置；

(3)求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置；

(4)求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数.

3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.

例：写出下列各数的倒数

3

(1)5；(2)-1；(3)14；(4)0.3

【解答】见解析

【解析】(1)5的倒数是1；

5

(2)-1的倒数是一1；

(3)：3的倒数是4,；

(4)0.3的倒数是亏.

O

知识点四、有理数除法法则

1.除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；

2.两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除;

3.0除以任何一个不为0的数都等于0,0不能作为除数，无意义.

4.一个非零的数除以它的本身等于1.

两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方

法相同.

例:计算(-49)4-1+由+(-3)

【解答】-3

【解析】原式=(-49)Xx|x

=-（49x|x|x|）

=-3

知识点五、有理数乘除混合运算

1.有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的；

2.要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然

后按照有理数乘法运算法则进行计算.

144

例：计算一10万不■义不小(-2)

243

【解答】"IF

81Q4

【解析】原式=-3义3乂不X

o4o

81941

=~8~X4X3-X2

243

IF

巩固练习

一.选择题

1.1-||的倒数是（）

2233

A.-B.--C.-D.--

3322

【分析】根据绝对值，倒数的定义进行计算即可.

【解答】解：|—||二|,

・dx?=1,

32

的倒数是|,

故选：C.

【点评】本题考查绝对值，倒数，理解绝对值、倒数的定义是正确计算的前提.

2.下列说法中，正确的是（）

A.2与-2互为倒数B.2与，互为相反数

C.0的相反数是0D.2的绝对值是-2

【分析】根据倒数的定义判断A选项；根据相反数的定义判断B选项；根据。的相反数是0判断C选项;

根据正数的绝对值等于它本身判断D选项.

【解答】解：A选项，2与-2互为相反数，故该选项不符合题意；

B选项，2与，互为倒数，故该选项不符合题意；

C选项，0的相反数是0,故该选项符合题意；

D选项，2的绝对值是2,故该选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了倒数，相反数，绝对值，掌握乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互

为相反数是解题的关键.

3.计算（-6）X（-1）的结果是（）

A.-3B.3C.-12D.12

【分析】根据有理数的乘法法则计算即可.

【解答】解：原式=+（6X：）

=3.

故选：B.

【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与0

相乘都得0是解题的关键.

4.若。为正数，6为负数，贝I()

A.q+b>0B.6z+Z?<0C.。6>0D.ab<0

【分析】根据有理数的乘法法则判断C,D选项；根据有理数的加法法则判断A,B选项.

【解答】解：为正数，b为负数,

ab<0,故C选项不符合题意，D选项符合题意；

的符号无法判断，取决于绝对值较大的数的符号，故A,B选项不符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相

乘是解题的关键.

5.下列结论正确的是()

A.互为相反数的两个数的商为-1

B.在数轴上与表示数4的点相距3个单位长度的点对应的数是7或1

C.当|x|=-x,则x<0

D.带有负号的数一定是负数

【分析】根据相反数判断A选项；根据绝对值判断B选项；根据0的绝对值是0判断C选项；根据特殊值

判断D选项.

【解答】解：A选项，0的相反数是0,0+0没有意义，故该选项不符合题意；

B选项，在数轴上与表示数4的点相距3个单位长度的点对应的数是7或1,故该选项符合题意；

C选项，当|x|=-x,则xWO,故该选项不符合题意；

D选项，-(-2)=2,故该选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了数轴，绝对值，相反数，有理数的除法，正数和负数，掌握在数轴上与表示数4的点

的右侧3个单位长度的点对应的数是7,左侧3个单位长度的点对应的数是1是解题的关键.

6.在下列说法：①如果。>6,则有㈤>|6|；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一

定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若机+"=0,则小、"互为相反数.其中

正确的个数有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】根据绝对值、有理数的乘法、相反数解决此题.

【解答】解：①如果如1>-2,|1|=1,|-2|=2,但那么㈤>历|不一定成立，故

①不正确.

②若干个不为0的有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数，故②不正确.

③根据绝对值的定义，当。已0,贝U|a|=a,即0或正数的绝对值等于本身，故③不正确.

④根据等式的性质，机+”=0,则〃?=-〃，那么m与"互为相反数，故④正确.

综上：正确的有④，共1个.

故选：D.

【点评】本题主要考查绝对值、有理数的乘法、相反数，熟练掌握绝对值、有理数的乘法、相反数是解决

本题的关键.

7.有理数a,6在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①a<O<b；②]。|<仿];③ab>0；®b-a>a+b-,

⑤|a-6|+a=6.其中正确的个数是()

~ao~b*

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】先由数轴得。<0<6,且㈤>|引，再逐个序号判断即可.

【解答】解：由数轴可得：a<O<b,且㈤>5|

①由a<O<b,正确；

②由可知㈤〈㈤不正确；

③由a,b异号,可知abVO,不正确；

@b-a>0,b+a<0,

'.b-a>b+a,故④正确；

@|a-b\+a=b-a+a=b,故⑤正确；

综上，有②④⑤正确.

故选：B.

【点评】本题考查了借助数轴进行的有理数的相关运算，明确相关运算法则并数形结合，是解题的关键.

8.我们把2・2+2记作2®,(-4)+(-4)记作(-4)②，那么计算9X(-3)④的结果为()

A.1B.3C.-D.-

39

【分析】根据新定义列出算式9X[(-3)+(-3)+(-3)+(-3)],再根据有理数的乘除运算法则

计算可得.

【解答】解：9X(-3)®=9X[(-3)+(-3)4-(-3)4-(-3)]

=9'工

9

=1,

故选：A.

【点评】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是理解并掌握新定义及有理数乘除运算法则.

二.填空题

9.有10个同学参加聚会，每个人送其他人一张名片，则共有90张名片被送出.

【分析】根据每人都送出9张名片进行计算即可.

【解答】解:由题意得（107）X10

=9X10

=90（张），

故答案为：90.

【点评】此题考查了运用有理数乘法解决实际问题的能力，关键是能准确理解问题中的数量关系并列式计

算.

10.若|加-1|+1〃+31=0,则一的相反数是-1,〃的倒数是_—二.

【分析】先根据非负数的性质列出方程求出加、〃的值，再根据相反数、倒数的定义解答即可.

【解答】解：由题意得，m-1=0,〃+3=0,

解得，m=l,n=-3,

则m的相反数是-1,”的倒数是-g.

故答案为：--g.

【点评】本题考查了非负数的性质.解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非

负数都为0.

11.两个不相等的有理数。，b,若。+6=0,则三的值是-1.

b

【分析】根据。+6=0,得至代入代数式求值即可得出答案.

【解答】解：：。+6=0,

••tz=-b,

•巴=心=一1

"bb

故答案为：-1.

【点评】本题考查了有理数的除法，根据。+6=0,得到。=-6是解题的关键.

12.-I：的绝对值是1二，相反数是1二，倒数是

22213

【分析】依据绝对值、相反数、倒数的定义解答即可.

【解答】解：

-弓的绝对值是耳；相反数是《，倒数是

故答案为：耳耳-1"

【点评】本题主要考查的是倒数、相反数、绝对值的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键.

13.计算：|-3|X(-|)=-2.

【分析】根据绝对值和有理数的乘法法则即可得出答案.

【解答】解:原式=3X(-1)

=-2,

故答案为：-2.

【点评】本题考查了绝对值和有理数的乘法法则，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘

是解题的关键.

14.若x=5,|引=3,且初<0,则代数式x-2y=11.

【分析】根据题目的已知条件求出。，b的值，然后代入代数式即可.

【解答】解：=3,

.'.y=±3,

'.'xy<0,

y异号，

-'■y=-3,

.'.x-2y=5-2X(-3)=5+6=11,

故答案为：11.

【点评】本题考查了有理数的乘法，绝对值，根据题目的已知条件求出。，6的值是解题的关键.

15.若两个数的积为-1,我们称它们互为负倒数，则0.125的负倒数是-8.

【分析】根据互为负倒数的定义可知，用-1+0.125即可得到0.125的负倒数.

【解答】解:0.125的负倒数为：-1+0.125=-8.

故答案为-8.

【点评】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键.

16.已知有理数°,6满足a+b>0,7a+26+1=-\b-a\,贝U⑵+计土)(a-b)的值为0.

【分析】根据a6W0,。+6>0,得到a,b异号或其中一个为0,另一个为正数，然后分四种情况分别讨论

即可得出答案.

【解答】解：：JWO,a+b>0,

•'-a,6异号或其中一个为0,另一个为正数，

若a>0,b<0,

a+b>0,

7。+26+1=5a+2a+26+l=5a+2(a+6)+l>0,

：-|6-a|W0,

这种情况不存在；

若a<Q,b>0,

贝!]b-a>0,

V7a+2i+l=-\b-a\,

；.7a+26+I=-(6-a),

.**6a+36+l=0,

1a+b+-=0,

3

.,.原式=0；

若a=0,b>0,

：7a+26+l=26+l>0,-\b-a\^-b<0,

这种情况不存在；

若a>0,b=0,

：7a+26+l=7a+l>0,-\b-a\=-a<0,

,这种情况不存在；

故答案为：0.

【点评】本题考查了绝对值，有理数的乘法，有理数的加减法，考查分类讨论的数学思想，掌握绝对值具

有非负性是解题的关键.

三.解答题

17.简便计算

(1)(-48)XO.125+48X=+(-48)x：

84

(2)(---+-)X(-36)

9418

【分析】(1)利用乘法的分配律先提取48,再进行计算即可得出答案；

(2)运用乘法分配律进行计算即可.

【解答】解:(1)(-48)X0.125+48X^4-(-48)X-

=48X+

888

=0;

(2)(---+4)X(-36)

9418

=-20+27-2

=5.

【点评】此题考查了有理数的乘法，用到的知识点是乘法的分配律，解题的关键是运用乘法分配律进行计

算.

18.求值题

已知|%|=2,1|=5,且9<0,求2x-3y的值.

【分析】利用绝对值的意义，有理数的乘法法则进行计算，即可得出结果.

【解答】解：,・・13=2,]|=5,

/.x=±2,y=±5,

:孙VO,

.*.x=2,y=-5或1=-2,y=5,

当x=2,y=-5时，

2x-3y=2X2-3X(-5)

=4+15

=19,

当x=-2,y=5时，

2x-3y=2X(-2)-3X5

=-4-15

=79,

综上所述，2x-3y的值为19或-19.

【点评】本题考查了有理数的乘法及绝对值，掌握绝对值的意义，有理数的乘法法则是解决问题的关键.

19.列式计算：

(1)已知3与一个数的差为-5,求这个数.

(2)一个数与g的积为-会求这个数.

【分析】(1)根据被减数、减数、差的关系列算式计算即可；

(2)根据一个因数=积+另一个因数列算式计算即可.

【解答】解：(1)根据题意得：3-(-5)=3+5=8；

(/C2、)--4-r-2=—4X3-=—2.

3332

【点评】本题主要考查的是有理数的乘法和减法，掌握法则是解题的关键.

20.若〃、b互为相反数，c、d互为倒数，冽的绝对值为2.

(1)直接写出q+b,cd,冽的值；

(2)求加+cd+批&的值.

m

【分析】(1)根据互为相反数的和为0,互为倒数的积为I,绝对值的意义，即可解答；

(2)分两种情况讨论，即可解答.

【解答】解:(1)6互为相反数，c、1互为倒数，刀的绝对值为2,

'.a+b=0,cd—1,m—+2.

(2)当加=2时，m+cc/+—=2+1+0=3；

m

当m=-2时，m+cd+巴也=-2+1+0=-1.

m

【点评】本题考查了倒数、相反数、绝对值，解决本题的关键是熟记倒数、相反数、绝对值的意义.

21.如图，数轴上点A,B,C,D表示的数分别为a,b,c,d,相邻两点间的

距离均为2个单位长度.

(1)若。与c互为相反数，求a+b+c+4的值；

(2)若这四个数中最小数与最大数的积等于7,求。的值.

ABCD

----------•---••—*-----►

abed

【分析】(1)根据。与c互为相反数，知道点B是原点，根据相邻两点间的距离均为2个单位长度得到a,

b,c,d的值，代入代数式求值即可；

(2)根据这四个数中最小数与最大数的积等于7,得到ad=7,从而。(a+6)=7,解一元二次方程即可得

出答案.

【解答】解：(1)与C互为相反数，

・・b=0,ci—~~2,c=2,d=4,

/.a+b+c+d=-2+0+2+4=4；

(2)•.•这四个数中最小数与最大数的积等于7,

••ad=7，

•\a(a+6)=7,

a2+6a-7=0,

・•・(a+7)(6Z-1)=0,

・・.a+7=0或。-1=0,

.\a=-7或1.

【点评】本题考查了数轴，相反数，根据这四个数中最小数与最大数的积等于7列出方程是解题的关键.

22.某班级共有学生36人，报名参加课外活动班，规定一人只能报一项.如果报名参加乒乓球课外活动班

的同学占全班人数的3报名参加羽毛球课外活动班的同学占全班人数的,,那么参加乒乓球课外活动班的同

学比参加羽毛球课外活动班的同学多几人？

【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果.

【解答】解：根据题意得：

12

36X--36X-

39

=12-8

=4(人)，

则参加乒乓球课外活动班的同学比参加羽毛球课外活动班的同学多4人.

【点评】此题考查了有理数的乘法，列出正确的算式是解本题的关键.

23.有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列各题：

(1)从中取出2张卡片，使卡片上的2个数乘积最大，则最大值是多少？

(2)从中取出2张卡片，使卡片上的2个数相除的商最小，则最小值是多少？

(3)从中取出2张卡片，使卡片上的2个数分别作为底数和指数，进行一次乘方运算，并且运算结果最大,

则最大值是多少？

【分析】(1)要使两数的乘积最大，两数必须是同号，然后进行计算；

(2)要使两数的商最小，两数必须是异号，然后进行计算；

(3)要使两数分别作为底数和指数，进行一次乘方运算，并且运算结果最大，那么指数必须是正数，然后

进行计算.

【解答】解：(1)(-3)X(-5)=15,

答：最大值是15；

(2)(-5)+3=-，

答：最小值是

(3)(-5)4=625,

答：最大值是625.

【点评】本题考查了有理数的乘法和有理数的除法，学生必须熟练掌握.

24.学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：49^x(-5),看谁算的又快又对.

小明的解法：原式=-1善x5=-(9=_249：；

小军的解法：原式=(49+1^)x(—5)=49x(-5)+|^-x(—5)=-249m.

(1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？

(2)小强认为还有更好的方法：把49||看作(50-2)，请把小强的解法写出来.

(3)请你用最合适的方法计算：吗x(-3).

【分析】(1)小军的方法计算简便；

(2)原式=(50-^)X(-5),再由乘法分配律进行运算即可；

(3)原式=(10-i)X(-3),再运算即可.

6

【解答】解：(1)小军的解法较好；

(2)49—x(-5)

25

=(50-—)X(-5)

25

=50X(-5)--x(-5)

25

-250+|

=-24彩

(3)(-3)

=(10-i)X(-3)

6

=10X(-3)--x(-3)

6

=-30+^

2

【点评】本题考查实数的运算，根据所给方法，灵活运用乘法分配律进行计算是解题的关键.

25.已知非零有理数a,b,c满足ab>0,bc>0.

(1)求衅+告+萼的值；

ab\ac\be

(2)若a+6+c<0,求回+白+回+等的值.

a\b\cabc

【分析】(1)根据仍>0,bc>0可得。>0,b>0,。>0或〃<0,b<0,。<0,所以〃c>0,化简即可；

(2)若q+6+cVO,则aVO,Z><0,c<0,abc<0,根据绝对值的性质化简即可.

【解答】解：(1)-：ab>Ofbc>0,

6>0,c>0或a<0,Z?<0,c<0,

ac>0,

...地+与+幽=艺+竺+如=]+l+l=3；

ab\ac\beabacbe

(2)Va+b+c<Of

.*.tz<0,b<0,eVO,abc<.0,

.•.回+2+里+出==+2+;+*=—1-1_1_1=_4.

a\b\cabca—bcabc

【点评】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法.能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母

的值是关键.

26.对于一个位数为偶数的多位数，如果在其中间位插入一位数左(0W左W9,且左为整数)就得到一个新

数，我们把这个新数称为原来的一个晋级数，如234711中间插入数字2可得它的一个晋级数2342711.请

阅读以上材料，解决下列问题：

(1)若一个数是1245的晋级数，且这个晋级数各数位上的数字之和能被5整除，则这个数可能是12345

或12845:

(2)若一个两位数的晋级数是这个两位数的9倍，请求出所有满足条件的晋级数.

【分析】(1)根据晋级数各个数字之和能被5整除，且0W上W9,左为整数，可以得到人的正整数值，进而

得出答案；

(2)设出两位数的十位数字。和个位数字6,根据这个两位数的晋级数是这个两位数的9倍，得出5a+5左

=46,再依据0<忘9,0W6W9,OOW9的整数，分别进行讨论解答即可.

【解答】解：(1)设1245的晋级数为12人45,由题意得，各位数字之和能被5整除，即12+上能被5整除，

又0WLW9,且人为整数，

因此k=3或左=8,

故答案为：12345或12845.

(2)设这个两位数的十位数字为0,个位数字为b,因此这个两位数为10a+6,它的晋级数为100a+10左+6,

由题意得：100。+10左+6=9(10a+b),

即：5a+5左=46,

又：0<aW9,0WbW9,0W反9

①左=0时，

5a=4b,

a、6为正整数，0<aW9,0W6W9,

：.a=4,6=5；这个两位数为45,它的晋级数为：405；

②左=1时，5a+5—4b,

a、6为正整数，0<aW9,0W6W9,

：.a=3,6=5；这个两位数为35,它的晋级数为：315；

③左=2时，5。+10=46,

a、6为正整数，0<aW9,0W6W9,

：.a=2,6=5；这个两位数为25,它的晋级数为：225；

④左=3时，5a+15=46,

a、b为正整数，0caW9,0W6W9,

：.a=l,6=5；这个两位数为15,它的晋级数为：135；

⑤左=4时，5a+20=46,

a、6为正整数，0<aW9,0W6W9,

**.a>6无解

⑥左=5、6、7、8、9时，均无解；

综上所述，所有满足条件的晋级数为：135,225,315,405.

答：所有满足条件的晋级数为：135,225,315,405.

【点评】考查有理数的除法，理解“晋级数”的意义和分类讨论解答是解决问题的关键.

27.小明对小丽说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加12,然后除以6,再减去你原来所想的那个数

与6的差的三分之一，我可以知道你计算的结果."请你根据小明的说法探索：

(1)如果小丽一开始想的那个数是-5,请列式并计算结果；

(2)如果小丽一开始想的那个数是2根-3",请列式并计算结果；

(3)根据(1)、(2),尝试写出一个结论.

【分析】(1)把-5乘2后加12,然后除以6,再减去-5与6的差的三分之一即可.

(2)把2m-3"乘2后加12,然后除以6,再减去25-3〃与6的差的三分之一即可.

(3)根据(1)、(2)的计算结果，写出一个结论即可.

【解答】解：(1)(-5X2+12)+