北京中考数学复习训练：四边形 专项练习（含答案）

专题18四边形2023年中考数学一轮复习专题训练（北京专用）

一'单选题

1.（2021八上•丰台期末）下列图形中，内角和等于外角和的是（）

2.（2022八下•北京市期中）如图，RtAABC中，NABC=90。，点O是斜边AC的中

点，AC=10,贝|OB=（）

A.5B.6C.8D.10

3.（2021八上•燕山期末）若一个多边形的内角和为1080。，则这个多边形的边数为

（）

A.5B.6C.7D.8

4.（2022八下•房山期中）如图，矩形力BCD的对角线AC、BD相交于点。，A。=3,

乙4OB=60°,贝IJAD的长为（）

A.6B.3遮C.3V2D.3而

5.（2022八下•北京市期中）如图，回ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是

BC的中点，CD=8,则OE=（）

6.（2022八下•海淀期中）如图，CD是AABC的中线，E,F分别是AC,DC的中点,

EF=1,则BD的长为（)

A

D.4

7.（2021九上•石景山期末）如图，四边形ABCD内接于。。，若四边形ABCO是菱

形，贝吐。的度数为（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

8.（2022八下•北京市期中）有下列四个条件：①对角线互相平分的四边形；②对角线

互相垂直的四边形；③对角线相等的平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形，

其中能作为矩形的判定条件的是（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

9.（2021九上•朝阳期末）如图，四边形ABCD内接于O0,若“=130。，则ZBOD的

度数为（）

A.50°B.100°C.130°D.150°

10.（2022•通州模拟）如图，已知Nl+42+43=240。，那么N4的度数为（）

A.60°B.120°C.130°D.150°

二、填空题

11.（2022八下•海淀期中）两直角边分别为6和8的直角三角形，斜边上的中线的长

是.

12.（2022八下•大兴期中）如图，在团ABCD中，AD=10,AB=7,AE平分/BAD交

13.（2022八下•大兴期中）如图，点C为线段AB延长线上一点，正方形AEFG和正方

形BCDE的面积分别为8和4,贝UAEDF的面积为.

14.（2022八下•北京市期中）如图，点E在正方形ABCD中，aBEC是等边三角形,

则ZEAD=°,

15.（2022八下•房山期中）如图1,菱形纸片ABCD的面积为30cm2,对角线/C的长

为6cm,将这个菱形纸片沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个直角

三角形按图2所示的方法拼成正方形.则大正方形中空白小正方形的边长是

cm.

16.（2021九上冻城期末）斛是中国古代的一种量器.据《汉书.律历志》记载：“斛

底，方而圜（huan）其外，旁有虎（tiao）焉”.意思是说：“斛的底面为：正方形外接

一个圆，此圆外是一个同心圆如图所示，

问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“座旁”为两寸五分

（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为—

尺.

17.（2022八下•房山期中）在圈ABCD中，ZA：ZB=2：3,则NC的度数

为°.

18.（2022八下•房山期中）在平面直角坐标系中，忸ABCD的顶点4、B、。的坐标分别

是（0,0）,（5,0）,（2,3）,则顶点C的坐标是.

19.（2022八下•房山期中）在四边形中，对角线4C,8。交于点。.现存在以下四

个条件：①ABIICD；@AO=OC；③AB=AD；④AC平分4MB.从中选取三个

条件，可以判定四边形ABC。为菱形.则可以选择的条件序号是

（写出所有可能的情况）.

20.（2021九上冻城期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是边

DC,CB上的动点，且始终满足DE=CF,AE,DF交于点P,则NAPD的度数

为;连接CP,线段CP长的最小值为.

三'综合题

21.（2022八下•大兴期中）如图，在四边形ABCD中，AD=CD,BDLAC于点O,点

E是DB延长线上一点，OE=OD,BFLAE于点F.

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若AB平分NEAC,OB=3,BE=5,求EF和AD的长.

22.（2022八下•房山期中）如图1,在正方形ZBCD中，点E为4。边上一点，连接

BE.点M在CD边上运动.

图4

(1)当点M和点C重合时(如图2),过点C做BE的垂线，垂足为点P,交直线4B于

点N.请直接写出MN与BE的数量关系；

(2)当点M在CD边上运动时，过点M做BE的垂线，垂足为点P,交直线AB于点N

(如图3),(1)中的结论依旧成立吗？请证明；

(3)如图4,当点必在。0边上运动时，N为直线ZB上一点，若MN=BE,请问

是否始终能证明MN1BE?请你说明理由.

23.(2022八下海淀期中)如图，在平行四边形ABC。中，AC1AD,作NEC4=

^ACD,CE交AB于点O,交DA的延长线于点E,连接BE.

(1)求证：四边形ACBE是矩形；

(2)连接OD.若AB=4,^ACD=60°,求OD的长.

24.(2022八下•大兴期中)已知四边形ABCD是正方形，点E为射线AC上一动点

(点E不与A,C重合)，连接DE,过点E作EFLDE,交射线BC于点F,过点D,

F分别作DE,EF的垂线，两垂线交于点G,连接CG.

备用图

(1)如图，当点E在对角线AC上时，依题意补全图形，并证明：四边形DEFG

是正方形;

(2)在(1)的条件下，猜想：CE,CG和AC的数量关系，并加以证明；

(3)当点E在对角线AC的延长线上时，直接用等式表示CE,CG和AC的数量

关系.

25.(2022八下•大兴期中)对于平面直角坐标系xOy中的线段AB和图形M,给出如下

的定义：若图形M是以AB.为对角线的平行四边形，则称图形M是线段AB的“关联

平行四边形''.点A(8,a),点B(2,b),

9

8

7

6

5

4

3

2

-8-7-6-5-4-3-2-10.123456789101112

(1)当a=8,b=-2时，若四边形AOBC是线段AB的“关联平行四边形”，则点

C的坐标是；

(2)若四边形AOBC是线段AB的“关联平行四边形”，求对角线0C的最小值；

(3)若线段AB的“关联平行四边形"AOBC是正方形，直接写出点C的坐标.

26.(2022八下•北京市期中)如图，在平行四边形ABCD中，CELAD于点E,延长

DA至点F,使得EF=DA,连接BF,CF.

(1)求证：四边形BCEF是矩形;

(2)若AB=3,CF=4,DF=5,求EF的长.

27.(2022八下•北京市期中)我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四

边形.

(1)在以下四种四边形中,一定是完美四边形的是(请填序号);

图3

(2)如图1,菱形ABCD中,ZA=60°,E,F分别是AB,BC上的点，且AE=

BF,求证：四边形DEBF是完美四边形;

(3)完美四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD+ZBCD=180°,连接AC.

①如图2,求证：CA平分NDCB；

②如图3,当NBAD=90。时，直接用等式表示出线段AC,BC,CD之间的数量关

系.

28.(2022九下•北京市开学考)在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点(不包含端

点)，线段AP的垂直平分线与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N.

(1)过点B作BG||MN交DC于G,求证：ABGC丝AAPB；

(2)若AB=9,BP=3,求线段MN的长度；

(3)请你用等式表示线段ME,EF和FN的数量关系，并证明你的结论.

29.(2022八下•大兴期中)如图，菱形ABCD对角线AC,BD相交于点O,点E是

AD的中点，过点A作对角线AC的垂线，与OE的延长线交于点F,连接FD.

(1)求证：四边形AODF是矩形;

(2)若AD=10,ZABC=60°,求OF和0A的长.

30.(2021九上•昌平期末)如图，。。是AABC的外接圆，AB是。O的直径，AB±

CD于点E,P是AB延长线上一点，且NBCP=/BCD

(1)求证：CP是。O的切线；

(2)连接DO并延长，交AC于点F,交。。于点G,连接GC若。O的半径为

5,OE=3,求GC和OF的长

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：设n边形的内角和等于外角和

（n-2）xl80°=360°

解得：n=4

故答案为：B

【分析】设n边形的内角和等于外角和，根据题意列出方程（n-2）、180。=360。求解

即可。

2.【答案】A

【解析】【解答】解：RtAABC中，NABC=90。，点O是斜边AC的中点，AC=10,

则OB=|AC=5,

故答案为：A.

【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质可得OB=/AC=5。

3.【答案】D

【解析】【解答】设多边形边数有x条，由题意得：

180°（x-2）=1080°

解得：x=8

故答案为8

所以选D

【分析】先求出180。（x—2尸1080。,再求解即可。

4.【答案】B

【解析】【解答】解：•••四边形ABCD是矩形，

.•.BD=AC=2AO=6（矩形对角线相等），

，AO=OB=3（矩形对角线互相平分），

VZAOB=60°,

AAOB是等边三角形，

AB=OA=3,

在RtAABD中，

AD=yjBD2-AB2=V62-32=3后

故答案为：B.

【分析】根据矩形的性质可得A0=0B=3,从而求出AAOB是等边三角形，可得AB

=OA=3,根据勾股定理求出AD即可.

5.【答案】B

【解析】【解答】由题意可知：CD=AB=8,

•••0,E分别为4C,BC的中点，

1

0E=24B=4.

故答案为：B.

【分析】利用三角形中位线的性质可得0E=\AB=4o

6.【答案】B

【解析】【解答】解：•••点E、F分别是AC、DC的中点，

.-.EFMAACD的中位线，

：.AD=2EF=2,

VCD^AABC的中线，

/.BD=AD=2

故答案为：B.

【分析】根据中位线的性质可得AD=2EF=2,再利用中线的性质可得BD=AD=2o

7.【答案】B

【解析】【解答】解：设NADC=a,ZABC=p;

•.♦四边形ABCO是菱形，

二/ABC=NAOC=仅

ZADC=1p；

•••四边形4BCD为圆的内接四边形，

.•,a+p=180°,

(a+0=180°

1„，

a=2p

解得:p=120°,a=60°,贝U/ADC=60。，

故答案为：B.

【分析】根据菱形的性质可得NABC=NAOC=0,再利用圆周角的性质可得/

1（a+p=180°

ADC=lp,再根据圆内接四边形的性质可得1。，再求出0=120。，a=60°,即

z（a=

可得到答案。

8.【答案】B

【解析】【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本条件不合题意；

②对角线互相垂直的四边形不一定互相平分，不一定是平行四边形，故本条件不合题

思；

③对角线相等的平行四边形是矩形，故本条件符合题意；

④有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本条件符合题意；

故答案为：B.

【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可。

9.【答案】B

【解析】【解答】解：•••四边形ABCD内接于。O,

.\ZA+ZDCB=180°,

,/ZDCB=130°,

.*.ZA=50°,

由圆周角定理得，ZBO£）=2ZA=100°,

故答案为：B.

【分析】根据四边形的内角和可得NA+NDCB=18O。，从而求出NA=5O。，由圆周角定

理得ZBOD=2NA,据此即得结论.

10.【答案】B

【解析】【解答】解：..21+/2+43+44=360。，

zl+z2+Z3=240°

，Z4=120°

故答案为：B.

【分析】根据多边形的外角和可得N1+42+43+N4=360°,再结合41+42+

Z3=240。可得/4=120。。

11.【答案】5

【解析】【解答】解：•••直角三角形两条直角边分别是6、8,

.•.斜边长为,62+82=V36+64=V100=10，

.♦•斜边上的中线长为10=5.

故答案为：5.

【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答

案。

12.【答案】3

【解析】【解答】解：・・・AE平分NBAD交BC边于点E,

AZBAE=ZEAD,

四边形ABCD是平行四边形，

・・・AD〃BC,AD=BC=10,

・・・NDAE=NAEB,

AZBAE=ZAEB,

JAB=BE=7,

・・・EC=BC-BE=10-7=3,

故答案为：3.

【分析】由角平分线的定义可得NBAE=NEAD,由平行四边形的性质可得AD〃:BC,

AD=BC=10,利用平行线的性质可得NDAE=NAEB,从而得出NBAE=NAEB,利用

等角对等边可得AB=BE=7,根据EC=BC-BE即可求解.

13.【答案】2

【解析】【解答】解：如图所示，连接正方形BCDE的对角线CE,BD,且CE交BD

于点O,

AZBEC=45°,CE±BD,

•；正方形AEFG和正方形BCDE的面积分别为8和4,

/.正方形AEFG的边长为通=2vL正方形BCDE的边长为V5=2,

，EF=AE=2伍BE=CD=BC=2,

,/点C是线段AB延长线上一点，

二NABE=90°,

.*.AB=7xF2-BF2=2,

/.RtAABE是等腰直角三角形，

，/AEB=45°,

,/ZAEF+ZAEB+ZBEC=180°,

...点F、E、C在同一直线上，

VCE±BD,

：.OD=^BD=+CD2=1722+22=仿

[1

,"SREDF='EF,OD=2x2A/2^XA/2^—2,

故答案为：2.

【分析】连接正方形BCDE的对角线CE,BD,且CE交BD于点O,由正方形的性质

可得NBEC=45。，CE1BD,根据正方形的面积可求出EF=AE=2VI,BE=CD=BC=2,

在R3ABE中，利用勾股定理求出AB=2,即得RtAABE是等腰直角三角形，从而得

出点F、E、C在同一直线上，由正方形的性质及勾股定理可求出OD=±BD=V^,根据

三角形的面积公式即可求解.

14.【答案】15

【解析】【解答】解：:E为正方形ABCD内一点，且AEBC是等边三角形，

/.ZABC=ZBAD=90°,ZEBC=60°,BC=BE=AB,

，ZABE=ZABC-ZEBC=30°,

VBA=BE,

/.ZEAB=ZAEB=|x(180°-30°)=75°,

.•.ZEAD=90°-75o=15°,

故答案为：15.

【分析】先求出/ABE=30。，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出N

EAB=75°,再利用/£人口=90。-75。=15。计算即可。

15.【答案】2

【解析】【解答】解：如图，设AC与BD交于点0,

在菱形ABCD中，AC±BD,AO=OC,OB=OD,

,菱形纸片ABC。的面积为30cni2,对角线4c的长为6cm,

1

：^AC-BD=30,OA=3cm,

:・BD=10cm,

OB=5cm,

大正方形中空白小正方形的边长等于OB-OA=2cm.

故答案为：2

【分析】设AC与BD交于点O,由菱形的性质可得ACLBD,AO=OC,OB=OD,根

据菱形ABCD的面积=30,可求出BD,即得OB的长，由于大正方形中空

白小正方形的边长等于OB-OA,据此计算即可.

16.【答案】V2

【解析】【解答】解：如图，

•.•四边形CDEF为正方形，

：.ZD=90°,CD=DE,

；.CE是直径，ZECD=45°,

根据题意得：AB=2.5,CE=2.5-0.25X2=2,

：.CE2=CD2+DE2=2CD2，

/.CD=y[2,

即此斛底面的正方形的边长为鱼尺.

故答案为：V2

【分析】根据正方形性质确定三角形CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意

求出正方形外接圆的直径CE,求出CD,即可得解。

17.【答案】72

【解析】【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，

/.AD/7BC,ZA=ZC,

.\ZA+ZB=180°,

VZA：ZB=2：3,

/•ZA=2^x180°=72°,

.•.ZC=ZA=72°,

故答案为：72°.

【分析】由平行四边形的性质可得AD〃:BC,ZA=ZC,根据平行线的性质可得NA+

ZB=180°,由NA：ZB=2：3,可求出NADE度数，即得NC.

18.【答案】(7,3)

【解析】【解答】如图，•.FABCD的顶点A(0,0),B(5,0),D(2,3),

，AB=CD=5,C点纵坐标与D点纵坐标相同,

顶点C的坐标是;(7,3).

故答案为：(7,3).

【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD=5,AB〃CD,即得C点与D点纵坐标

相同，继而得解.

19.【答案】①②③，①②④，①③④，②③④

【解析】【解答】解：可以选择的条件序号有:

情况一：①②③，理由如下，

'：AB||CD,

：.AOAB=乙OCD,

XVOX=OC,AAOB=ACOD,

：.△AOBCOD(ASA)

：.AB=CD,

...四边形ABCD为平行四边形，

'：AB=AD,

...四边形ABCD为菱形；

情况二z①②④，理由如下，

'：AB||CD,

：.^OAB=乙OCD,

又：(M=OC,^AOB=^COD,

：.AAOBdCOD(ASA)

：.AB=CD,

...四边形ABCD为平行四边形，

：AC平分WAB,

/.Z-OAB=Z-OAD,

：.^OAD=乙OCD,

：.AD=CD,

・・・四边形ABCD为菱形；

情况三：①③④，理由如下，

\*AB||CD,

：.^OAB=乙OCD,

•NC平分NZMB,

/.Z.OAB=Z.OAD,

：./.OAD=AOCD,

：.AD=CD,

5L'：AB=AD,

：.AB=CD,

四边形ABCD为平行四边形，

\'AB=AD,

...四边形ABCD为菱形；

情况四：②③④，理由如下，

'：AC^^£.DAB,

Z.OAB=Z.OAD,

又・・・43=AD,0A=0A,

J.LAOB=^AOD(SAS)

：.0B=OD,

VOA=OC,

...四边形ABCD为平行四边形，

'：AB=AD,

四边形ABCD为菱形.

故答案为：①②③，①②④，①③④，②③④.

【分析】共有四种组合①②③，①②④，①③④，②③④.根据平行线的性

质、角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、菱形的判定分别证明即可.

20.【答案】90°；V5-1

【解析】【解答】解：・・•四边形ABCD是正方形，

・•.AD=CD,NADE=NBCD=90。，

AD=CD

在^ADE和ADCF中，\z_ADE=乙BCD=90°,

DE=CF

.'.△ADE^ADCF(SAS)

・・・NDAE=NCDF,

ZCDF+ZADF=ZADC=90°,

.•.ZADF+ZDAE=90°,

/.ZAPD=90°,

由于点P在运动中保持/APD=90。，

.••点P的路径是一段以AD为直径的弧，

取AD的中点Q,连接QC,此时CP的长度最小,

则DQ=1AD=|x2=l,

在RSCQD中，根据勾股定理得，CQ=JCD2+QD2=722+I2=V5,

所以，CP=CO-QP=V5-1.

故答案为：90°；V5-l.

【分析】根据边角边证明AADE/ADCF,根据全等三角形对应角相等求出NDAE=

ZCDF,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离

不变，再根据两点之间线段最短，取AD的中点Q,连接QC,此时CP的长度最小，

再根据勾股定理列式求出CQ,再求解即可。

21.【答案】(1)证明：•.•BD1AC,

：.^AOD=乙COD=90°,

在Rt△A。。和RtAC。。中，

(DA=DC

I。。=OD'

：.RtAAOD三Rt4COD(HL),

/.AO=CO,

又：OE=OD,

...四边形AECD为菱形.

(2)解：；AB平分NE4C,

/.BF=BO=3,

在山△BEP中，由勾股定理可得，

EF=VBF2-BF2=V52-32=4，

在RtAABF^Rt△ABO中，

(AB=AB

iBF=BO'

：.RtAABFRtAABO(HL),

；.AO=AF,

设AO=AF=x,AE=4+x,

在RtAAOE中，由勾股定理可得，

AE2=OE2+OA2,

得(％+4)2=82+x2,

解得％=6,

.•.AE=4+6=10,

即AD=10,

AEF和AD的长分别为4和10.

【解析】【分析】(1)根据HL证明RtAOAD也R3COD,可得AO=CO,结合

OE=OD,可证四边形AECD为平行四边形，由BD_LAC即证四边形AECD为菱形；

(2)由角平分线的性质可得BF=BO=3,由勾股定理求出EF=4,根据HL证明

RtAABF^RtAABO,可得AO=AF,设AO=AF=x,可得AE=4+x,在Rt^AOE中，由

勾股定理可建立关于x方程并解之即可.

22.【答案】(1)相等

(2)解：成立，证明如下：

如图，过点4作1BE于点G,

■:MN1BE,

：.AF||MN,

又,/四边形4BCD是正方形，

.'.AB//CD,

，四边形4FMN是平行四边形，

：.AF=MN,

•.•正方形ABC。，

：.AADF=/.BAE=90°,AD=BA,

：.Z.DAF+乙FAB=90°,乙FAB+^ABE=90°,

J.^DAF=乙ABE,

在△4DF与ABAE中,

Z-DAF=乙ABE

AD=BA,

./-ADF=乙BAE

△ADF=△BAE(ASA),

：.BE=AF,

：.BE=MN.

(3)不一定，理由如下：

如图，以点M为圆心，以线段BE的长为半径作弧，与直线交于点N及点N,

连接MN、MN',MN交BE于点、0,MN'交BE于点、G,过点4作AHIIMN交BE于点/,

：.MN=MN',

;MN=BE,

:.MN'=MN=BE,

•.•四边形ABC。是正方形，

：.AB//CD,AD=BA,^ADH=Z.BAE=90°,

二四边形AHMN是平行四边形，

：.AH=MN,

：.AH=BE,

在Rt△ADH与Rt△BAE中

(AH=BE

\AD=BA'

：.RtAADH=RtABAE(HL),

：.^DAH=Z.ABE,

•；4DAH+NHAB=90°,

J./-HABZ.ABE=90°,

，乙AJB=90°,

：.AH1BE,

：.MN1BE,

J.^GOM=90°,

：.^MGO<90°,

・・・MN，与BE不垂直，彳且MN'=MN=BE,

综上所述：若MN=BE,MN与BE不一定始终垂直.

【解析】【解答】(1)解：,・•四边形4BCD是正方形，

J.Z-BAE=乙CBN=90°,AB=BC,

：.^LABE+^CBP=90°,

VCN1BE,

:•乙BCN+乙CBP=90°,

C.^ABE=乙BCN,

在△■£1和△BCN中

^BAE=乙CBN

AB=BC

^ABE=乙BCN

：.AABE=J^BCN(ASA)

：.BE=CN,

・・,点M和点。重合，

：.BE=CN=MN.

故答案为：相等

【分析】(1)MN=BE.根据ASA证明△ABE^ZvBCN,可得BE=CN=MN；

(2)成立.理由：过点力作力F13E于点G,可证四边形4FMN是平行四边形，可得

AF=MN,

根据ASA证明AADF^4BAE,可得BE=AF,即得结论；

(3)不一定，理由：如图，以点M为圆心，以线段BE的长为半径作弧，与直线AB交

于点N及点N,，连接MN、MN',MN交BE于点。，MN咬BE于点G,过点2作||

MN交BE于点J,可得MN'=MN=BE,再证四边形AHMN是平行四边形，可得

AH=MN=BE,根据HL证明Rt△ADH三Rt△BAE,可得ND4H=乙ABE,从而求出

/.A]B=90°,即得AHLBE,由MNLBE,可得NGOM=90。，即得4MG。＜90。，继

而得出MN'与BE不垂直，但MN'=MN=BE,据此判断即可.

23.【答案】(1)证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

/.AD/7BC,AD=BC,

VAC±AD,

?.ZEAC=ZDAC=90°,

VZECA=ZACD,

ZAEC=ZADC,

ACE=CD,

；.AE=AD=BC,

VAE/7BC,

二四边形ACBE是平行四边形，

VZEAC=90°,

.♦・四边形ACBE为矩形；

(2)解：如图，过点。作OFLDE于F,

Ey--------f-------.......................-

由(1)可知，四边形ACBE为矩形,

二对角线AB与CE相等且互相平分，AO^AB=2,

，OA=OC,

,/NACD=NACO=60°,

AAAOC为等边三角形,

JZOAC=60°,

・・・NEAC=90。，

JZFAO=90°-60°=30°,

在RtAAFO中，

OF=;力。=1,AF=V3,

在RtAAEB中，BE=^AB=2，

AD=AE=742-22=2V3-

.,.DF=AF+AD=V3+2V3=3旧，

22

/.OD=7DF+OF=2V7-

【解析】【分析】(1)先证明四边形ACBE是平行四边形，再结合NEAC=90。可得四边

形ACBE为矩形；

(2)过点O作OFLDE于F,先求出NFAO=9(T-6(F=30。，再利用含30。角的直角三

角形的性质可得4F=百，BE=^AB=2,再利用线段的和差求出DF的长，最后利

用勾股定理求出OD的长即可。

24.【答案】(1)解：过点E作EMLBC,垂足为M,作ENLCD,垂足N,

•.,四边形ABCD为正方形，

AZBCD=90°,且NECN=45°

・・・NEMC=NENC=NBCD=90。，NE=NC,

J四边形EMCN是正方形，

.'EM=EN,

VEF±DE,DG±DE,FG±EF,

J四边形DEFG为矩形，

VZDEN+ZNEF=90°,ZMEF+ZNEF=90°,

JNDEN=NMEF,

又•:NDNE=NFME=90。，

在ADEN和21FEM中，

NDNE=乙FME

EN=EM,

/DEN=乙FEM

：.ADEN^AFEM,

JED=EF,

・•・四边形DEFG是正方形；

(2)CE+CG=AC,

证明：・・•四边形DEFG是正方形,

・・・DE=DG,NEDC+CDG=90。，

・・•四边形ABCD是正方形，

・・・AD=DC,NADE+NEDO90。,

.\NADE=NCDG,

在4ADE和4CDG中，

AD=CD

Z-ADE=乙CDG,

.DE=DG

AADE^ACDG,

JAE=CG,

JCE+CG=CE+AE=AC；

(3)CG=AC+CE,

如图：

•.•四边形ABCD为正方形，四边形DEFG为正方形，

，AD=CD,ZADC=90°,ED=GD,且NGDE=90。，

，ZADE=ZADC+ZCDE=ZGDE+ZCDE=ZGDC,

在AADE和ACDG中，

AD=CD

Z-ADE=4CDG,

LDE=DG

：.AADE^ACDG,

・・・AE=CG=AC+CE；

【解析】【分析】(1)过点E作EMLBC,垂足为M,作ENLCD,垂足N,先证四边

形DEFG为矩形，再证明△DEN^AFEM(ASA),可得DE=EF,根据正方的判定定

理即证；

(2)CE+CG=AC,证明：根据SAS证明AADE丝Z\CDG,可得AE=CG,从而得出

CE+CG=CE+AE

=AC；

(3)CG=AC+CE,理由：根据SAS证明AADE会ACDG,可得AE=CG,继而得

解.

25.【答案】(1)(10,6)

(2)解：如图所示，连接OC,

设点C(x,y),A(8,a),B(2,b),

四边形AOBC是线段AB的“关联平行四边形”,

・・・AO〃BC,AO=BC,

得出:"建口,

解得：〔占工

/.C(10,a+b),

OC=J102+(a+b)2,

当a+b=0时，

OC最小为10；

(3)解：如图所示，当点B在x轴上方，点A在x轴下方时，过点A作AH，x轴,

过点B作BGJ_x轴，

.,.ZAHO=ZBGO=90°,

四边形OACB为正方形，

.•.OA=OB,ZAOB=90°,

.\ZAOH+ZBOG=90°,

VZAOH+ZOAH=90°,

，ZOAH=ZBOG,

/.AAOH=ABOG,

，AH=OG=2,OH=BG=8,

/.A(8,2),B(2,-8),

由(2)可得:C(10,-6)；

如图所示，当点B，在x轴下方，点A，在x轴上方时,

同理可得：A，(8,-2),B,(2,8),

由(2)可得：C(10,6)；

综上可得：点C的坐标为(10,-6)或(10,6).

【解析】【解答】(1)解：如图所示，设点C(x,y),

•••四边形AOBC是线段AB的“关联平行四边形”，

/.AO/7BC,AO=BC,

in(8—0=x—2

后出：(8_0=y+2，

解得：

AC(10,6)；

故答案为：(10,6)；

【分析】(1)由A、B坐标，根据平行四边形的性质及平移的性质，可求出点C坐

标；

(2)如图所示，连接0C,先用含ab的式子表示出平行四边形对角线交点的坐标，

利用勾股定理求出OC,根据偶次幕的非负性即可求出OC最小值；

(3)分两种情况：如图所示，当点B在x轴上方，点A在x轴下方时，过点A作

AH_Lx轴，过点B作BG_Lx轴，证明AAOHwABOG,可得AH=OG=2,OH=BG=8,

即得A(8,2),B(2,-8),由(2)可得C(10,-6)；如图所示，当点B，在x轴下

方，点A，在x轴上方时，同理可求出结论.

26.【答案】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，

/.AD/7BC,AD=BC,

VEF=DA,

/.EF=BC,EF〃BC,

...四边形BCEF是平行四边形，

XVCE1AD,

.-.ZCEF=90o,

二平行四边形BCEF是矩形；

(2)解：四边形ABCD是平行四边形，

/.CD=AB=3,

VCF=4,DF=5,

/.CD2+CF2=DF2,

.♦.△CDF是直角三角形，ZDCF=90°,

.二△CDF的面积=»FxCE=*CFxCD,

.rP_4x3_12

=T-.

由(1)得：EF=BC,四边形BCEF是矩形，

二/FBC=90。，BF=CE考，

/.BC=VCF2-BF2=等，

.•.EF专.

【解析】【分析】(1)先证明四边形BCEF是平行四边形，再结合NCEF=90。，可得平

行四边形BCEF是矩形；

(2)先利用勾股定理的逆定理证明ACDF是直角三角形，ZDCF=90°,再利用等面积

法可得CE=等二学，最后利用勾股定理求出BC的长即可得到EF的长。

27.【答案】(1)④

(2)证明：如图，连接BD,

B

・・•四边形ABCD为菱形，

・・・AB=AD,AD||BC.

VZA=60°,

.二△ABD是等边三角形，ZABC=120°,

・・・AD=BD.

VBD平分NABC,

AZDBC=60°=ZA.

・「AE=BF,

AAADE^ABDF(SAS),

・・・DE=DF,NAED=NBFD.

VZAED+ZDEB=180°,

AZBFD+ZDEB=180°,

・・.四边形DEBF是完美四边形；

VZABC+ZD=180°,ZABC+ZABE=180°,

・・・NABE=ND.

又：AB=AD,

.,.△ADC也△ABE（SAS）,

，NACD=/E,AC=AE,

AZACE=ZE,

.\ZACD=ZACE,

/.即CA平分NDCB.

（2）VAADCABE

/.ZDAC=ZBAE,BE=CD,

，ZDAC+ZCAB=ZBAE+ZCAB,即NDAC=/CAE=90。，

•••△C4E为等腰直角三角形，

CE=也AC,即BC+BE=s[2AC,

:.BC+CD=y[2AC.

【解析】【解答]解：（1）平行四边形邻边不相等，故①不是完美四边形；菱形对角不

互补，故②不是完美四边形；矩形邻边不相等，故③不是完美四边形；正方形邻边相

等，且对角互补，故④是完美四边形.

故答案为：④；

【分析】（1）根据“完美四边形”的定义判断即可；

（2）连接BD,先利用“SAS”证明AADETaBDF可得DE=DF,ZAED=ZBFD,再

结合/AED+NDEB=180。，可得NBFD+NDEB=180。，从而得解；

（3）①延长CB至点E,使BE=CD,先利用“SAS”证明AADC/^ABE可得/ACD

=NE,AC=AE,再结合/ACE=NE,可得NACD=NACE,从而可得CA平分N

DCB；

②先证明△C4E为等腰直角三角形，可得CE=V^4C,即BC+BE=V^4C,即可得

到BC+CD=夜AC。

28.【答案】（1）证明：如图，过点B作BG〃MN交DC于G,

，BG_LAP,

AZCBG+ZBPA=90°,

四边形ABCD是正方形，

.,.AB=BC,ZABC=ZBCG=90°,

・・・NCBG+NCGB=90。，

・・・NCGB=NBPA,

(^CGB=^BPA

在^BGC与^APB中，zBCG=乙ABC,

.BC=AB

：.ABGC^AAPB(AAS),

(2)解：VABGC^AAPB,

・・・BG=AP,

・・•四边形ABCD是正方形，

・・・AB〃C