河南省部分2024届高三年级下册高考模拟考试数学试题（含答案解析）

河南省部分名校2024届高三下学期高考仿真模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/=2,3},3={引了=取7+20必，则何8=()

A.{0,1,2}B.{1,2,3}C.{0}D.{0,1}

2.若复数z=l+i,则々+1=()

Z+1

A.1B.V5C.—D.

55

3.在矩形48CD中，方=(1,2),AC=(x,0),则矩形4BC。的面积为()

A.5B.10C.20D.25

4.6人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法有()

A.240种B.192种C.144种D.96种

5.记V/8C的内角/,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=3,b2=c2+3c+9,/4BC的

平分线交边/C于点。，且3。=2,则6=()

A.245B.2疗C.6D.35

6.已知圆台。的上、下底面半径分别为4,々，且％=23若半径为右的球与O的上、下

底面及侧面均相切，则。的体积为()

/—/—26兀28兀

A.7V371B.8。3兀C.—^―D.—^―

7.已知函数/(刈=3$山(2》-三卜4cos,x-1,将〃x)的图象向左平移1个单位长度后，

得到函数g(x)的图象.若为，％是关于X的方程gQ)=。在。段内的两个不同的根，则

sinI—++x2I=()

3344

A.一一B.-C.—D.一

5555

8.已知函数/(x)=ax2+(a-2)x-lnx,a>Q,若函数/(无)没有零点，则。的取值范围是

()

A.(1,+℃)B.(2,+oo)D.(1,3)

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.下列命题正确的是()

A.已知变量X,y的线性回归方程》=0.3x-"且歹=2.8,贝=Y

B.数据4,6,7,7,8,9,11,14,15,19的75%分位数为11

C.已知随机变量X〜2(7,0.5),尸(X=左)最大，贝1］上的取值为3或4

D.已知随机变量X~N(0,l),尸(XNl)=p,则尸(-l<x<0)=；-p

10.下列函数中，最小值为1的是()

A./(x)=sin4x+cos2xB.f(x)=—----F-----------

sinx+1cosx+2

7

C.7(x)=2sinx+2cosx+sinxcosx+-D./(x)=1smx1+1cosx1

11.在平面直角坐标系xQy中，尸为曲线=8//(刈NO)上任意一点，贝！I()

A.E与曲线孙=1有4个公共点B.P点不可能在圆。:/+/=2外

C.满足/eZ且为eZ的点尸有5个D.P到了轴的最大距离为坟

三、填空题

12.已知f(x)为R上的奇函数,且/(x)+/(2-x)=0,当T<x<0时,/(x)=2T,则

“2+log?5)的值为.

13.已知尸，。是抛物线C:_/=8x上的两个动点，/(2,4),直线/P的斜率与直线的

斜率之和为4,若直线PQ与直线/：x-y+l=0平行，则直线尸。与/之间的距离等于.

14.如图，在平行四边形ABC。中，DC=41AD=42AC=4，AB=4AF=4EC,且斯交

/C于点G,现沿折痕4C将△/OC折起，直至折起后的。CL3C,此时AEFG的面积

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少打出8

环.根据统计资料可知，甲打出8环、9环、10环的概率分别为060.3,0.1,乙打出8环、9

环、10环的概率分别为0.7,0.2,0」，且甲、乙两人射击的结果相互独立.

(1)在一场比赛中，求乙打出的环数少于甲打出的环数的概率；

(2)若进行三场比赛，其中X场比赛中甲打出的环数多于乙打出的环数，求X的分布列与数

学期望.

16.如图所示，在三棱锥尸-48c中，平面尸平面NBC,PALAB,/P/C为锐角.

(1)证明：AB1AC-,

(2)若P4=PC=4B=4C=2,点、M满足国=3两，求直线4尸与平面/CM所成角的正弦

值.

17.已知数列｛%｝的前〃项和为5，%=1,%=3,%I+S“T=2(S“+1)("『2)

⑴求加

⑵若"=4〃cos(〃+l)兀,求数列也｝的前1012项和之z.

aa

n-n+l

22

18.已知双曲线£:三-t=l(a>0,6>0)的右焦点为R左、右顶点分别为M,N,点

P(Xo，%)(%H±。)是£上一点，且直线PM,PN的斜率之积为

⑴求2的值；

a

(2)过/且斜率为1的直线/交£于43两点，。为坐标原点，。为£上一点，满足

OC=AOA+OB-VA8C的面积为2店，求E的方程.

19.已知函数/'(x)=alnx+1(aw0).

X

⑴若f(x)>a对xe(0,+oo)恒成立，求a的取值范围；

试卷第3页，共4页

(2)当a=3时，若关于x的方程/(x)=--^-x2+4x+b有三个不相等的实数根々,

x2

且再<%<%,求6的取值范围，并证明：x3-x,<4.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ADBBDACAACDBD

题号11

答案BD

1.A

【分析】先求函数>=lg(-f+20x)的定义域，再根据对数函数的单调性求出其值域，最后

利用集合的交集定义即得.

【详解】对于歹=lg(—f+20x),由——+20%>0可得0<%<20,

又因—-+20x=-（x-10）+1009故得0<-%?+20x«100,

贝!1有3（-工2+20%）42,故3=（—8,2],则4口5={0,1,2}.

故选：A.

2.D

【分析】利用复数的四则运算先化简士+1,再求其模长即得.

2+2i（22i）（2-i）_b2

【详解】—+1+

Z+12+i（2+i）（2-i）B5

故选:D.

3.B

【分析】求出而=(x-l,-2),利用关.%=o求出x的值，即可求得|而结合|万|=0,

即可求得答案.

【详解】由四边形为矩形，得而=就=%-益=卜-1,-2)；

由48-40=0，得lx(x-l)+2x(-2)=。,解得x=5,从而40=(4,-2),

所以|益|=百，|五5|=国，所以矩形43C。的面积为百xa=10.

故选：B.

4.B

【分析】先排甲乙，再选一人排在甲乙中间，最后进行全排列即可得.

【详解】先对甲、乙两人进行排列有A；种，然后从剩下的4人中选1人站甲、乙两人中间

答案第1页，共15页

有C；种,

最后将甲、乙和中间的那个人看成1个元素，与其他3个元素进行全排列有A：种,

所以不同的站法有A；C；A：=192种.

故选：B.

5.D

12兀

【分析】根据题意，利用余弦定理求得COSB=-万，得到3=三，结合也叱=工”即+/88,

列出方程求得C=6,再利用余弦定理，即可求解.

【详解】因为Q=3及/=/+3C+9,可得/=/+/+QC,

由余弦定理得cos2=土土匚2=-1，

2ac2

2兀

又由0<5<兀，所以3=3-,

因为S/\ABC=S/\ABD+S&BCD，即;acsinZABC=g5。•(〃+c)sinNABD,解得c=6,

2冗

由余弦定理得〃=62+32-2x6x3xcos可=63,即b=35.

故选：D.

【分析】根据圆台的轴截面图，利用切线长定理结合圆台和球的结构特征求解心2,然后

代入圆台体积公式求解即可.

【详解】如图，设。的上、下底面圆心分别为a,a,则。的内切球的球心O一定在。。2

的中点处.

设球。与O的母线A8切于M点，则(W_L/3,OM=OOX=OO2=A/3,

答案第2页，共15页

AM=rx,BM=r2,所以/5=彳+弓=3不过4作/G_L5C，垂足为G,

则BG=-2—4=尸1，SAG2=AB2-BG2,得12=(34)2-片=8片，所以42=5/2=6,

所以Q的体积为:■|兀+6兀+和=6^］*2百=76兀.

故选：A.

7.C

【分析】利用辅助角公式化简/(%),根据图象的平移变换可得g(“)的表达式，再结合题意

利用正弦函数的对称性可得玉+%=不+0，即可求得答案.

【详解】/(x)=3sin(2x—'!'1—4cos(2x—W=5sin12x—}

其中9为辅助角，sin。=E，cos^=|^e^O,^^,

则g(x)=/(x+tj=5sin2(%+擀］一］一夕=5sin(2x-^),

当0,|-时，2工―夕£［_夕,兀一利一夕£(一］,。)it-(pe

因为X］,%是关于X的方程g(x)=a在［o,本内的两个不同根

­?X\—(P+一(P7171

所以1―\^=7=国+%2=7+。，

222

，兀、4

因止匕sin1万+芭+£J=sin(7i-\-(p)=-sm(p=~—.

故选：C.

8.A

【分析】根据给定条件，利用导数求出函数f(x)的最小值，再对该最小值的符号分类讨论

即得.

【详解】函数/(X)的定义域为(0,+8),求导得

，/、/、1lax1+(a-2\x-1(ax—l)(2x+l)

/(%)=2"+(a-2)—-=------------一,

X

当xe]o,}[时，/'(%)<0，当xe(：,+aJ时，八%)>0,故函数/(X)在(0,£|上递减，在

Q,+^上递增，

答案第3页，共15页

则当x=L时，函数1(x)取得最小值d』=0+lnq.

ayaJa

若则〃x"d£|=—+lna>0+0=0,从而〃x)没有零点，满足条件；

若0<E,由于/，］=0+1M40+0=0,/［1|=-1+ln4>0-1+lne=0,

故由零点存在定理可知/(无)在［：一］上必有一个零点，不满足条件.

所以。的取值范围是(L+8).

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将零点的存在性问题转化为极值点的符号问题，属于

较为常规的问题.

9.ACD

【分析】根据回归直线方程必过样本中心点［5)求出于，即可判断A,根据百分位数计算

规则判断B,根据二项分布的概率公式及组合数的性质判断C,根据正态曲线的性质判断

D.

【详解】对于A：因为回归直线方程必过样本中心点「5),

所以2.8=0.3嚏一。解得了=-4,故A正确；

对于B：因为10x75%=7.5,所以75%分位数为从小到大排列的第八个数，即为14,故B错

误；

对于C：因为X〜8(7,0.5),所以尸(x=4)=C：x［；］,(0V左W7且左eN),

由组合数的性质可知当左=3或左=4时C：取得最大值，则当左=3或左=4时尸(X=左)最大,

故C正确；

对于D：因为X〜N(0,l)且尸(X21)=。，

所以尸(X<-1)=尸(X21)=p,

则尸(一1<丫<0)二尸(-1；*<1)=3<_］卜/36>］+9。,故D正确.

故选：ACD

10.BD

【分析】对于A选项，把原式转化为二次型函数/。)=6皿2》-：)+；来求最值；

答案第4页，共15页

对于B选项，需要用到不等式证明中的代换1法即可;

对于C选项，需要把原式中的sinx+cosx换成乙这样又转化为二次型函数y=；«+2)2+l来

求最值；

对于D选项，遇到绝对值问题用平方思想，把原式化为尸(幻=1+回112刈即可判断.

【详解】对于A,f(x)=sin4x+cos2x=sin4x-sin2x+1=^sin2x-其最小值为:，

故A错误；

对于B,/(x)=--+—--=1f—r+—r-,V(sin2x+1)+(cos2x+2)l

sinx+1cosx+241sinx+1cosx+2'，」

2222

1f_cosx+2sinx+11C_|Losx+2~sinx+l1

=-2d—；----1---z----<—2+2*/------—z----=1,

41sinx+lcosx+2J4Vsinx+1cosx+2

、7\/

当且仅当sin2%=l,cos?x=0时等号成立，故B正确；

、rrt2-1

对于C.设，=sinx+cosx,zG[-V2,V2],则sinxcosx=2，

所以》=2,+।21+g=+2)2+1,

当/=-VD寸，5=4-2亚，故C错误；

对于D,/2(x)=1+|sin2x|>1,又/(x)20,

k冗

所以当sin2x=0,BPx=—,左EZ时，/(^)min=1,故D正确.

故选：BD.

11.BD

【分析】联立方程(一+歹2)3=8/必与盯=1即可判断A；利用基本不等式即可判断B；结

合B选项即可判断C；由+力3=8//得/+/=2x予，设加=/，〃=#，则关于

加的方程加3+“3=2%〃有非负实根,设/(,〃)=用_2加"+"3,利用导数即可判断D.

【详解】联立方程(/+力3=8x2/与孙=1,解得x=l,y=l或x=-l,y=-1,

所以£与曲线孙=1有2个公共点，A错误；

由(一+了1=8工2/48(^^^],得/+/42,

答案第5页，共15页

当且仅当炉=/=1时，取等号，故B正确；

由B知闻《血，故满足/£Z且％EZ的点尸仅有(-1,-1),。0)与(1,1),共有3个，故C

错误；

由(一+/)3=8-产得％2+,2=2/“，设加=，，〃=必，

则关于m的方程掰3+/=2加〃有非负实根，

设/(冽)=加3—2加〃+后f\m)=3m2-2n,显然/'(加)在［0,+8)上单调递增，

由八%)=0,得加=行，贝(叫小值=/［样卜()，解得心即/q,

所以|y区警，且等号可取到，D正确.

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：利用基本不等式得出一+/<2是判断BC的关键.

4

12.--/-0.8

【分析】由题设条件可得八久)的周期为2,应用周期性、奇函数的性质有

4

/(2+log25)=-/(log2^，根据已知解析式求值即可.

【详解】由题设，/(2-x)=-f(x)=f(-x),故f(2+x)=/(x),即/(%)的周期为2,

5544

所以/(2+log25)=/(2x2+log2-)=/(log2-)=-/(log2y),且—1<log2j<0,

所以/'(2+log25)=-2”叼4

_,4

故答案为：

13.—

2

【分析】设出直线尸。的方程，联立曲线，可得与纵坐标有关韦达定理，借助韦达定理转换

题目条件计算可得直线P。所过定点，或结合直线PQ与直线l：x-y+l=0平行可得具体方

程，后借助平行线间的距离公式计算即可得..

【详解】法一：

显然直线尸。的斜率不为0,故可设尸。:尤=即+:,

,可得>2一8叼一8%=0,

x=my+t

答案第6页，共15页

如图,设POq,yi）,Q（久2J2），贝U必+%=8见,％=-&,

所以△>0=>64/«2+32t>0n2nr+/>0,

k=必_4_1_4_8&

PA

则X]-2，?必+4,同理第

T-2%+4

88

由题意，^—―r+—77=4,

K+4V2+4

所以2（必+%）+16=必%+4（必+%）+16,贝！]=—2（%+%）,

即f=2%,直线尸0:》=叫+2机=机（了+2）,故直线P。恒过定点（0,-2）.

故当直线P。与直线x-y+l=O平行时，

两直线之间的距离等于定点（0,-2）到直线x-y+1=0的距离，

|0-（-2）+1|3后

即d=

#+（-1）2

法二：

由题意，设尸。：x-y+"?=o,

y'=8x,

由,得zca〉一8y+8〃？=0,

x-y+m=0

由A=64—32m>0,解得m<2.

设尸/J,。［三，为J，则乂+%=8,%%=85，又工（2,4）,

」「4%一4888（弘+为+8）=16

所以”3J£_2yf__2X+4y2+4必％+45+%升16m+6，

88

由题意，工=4,解得机=-2,故两平行直线之间的距离为叮0=逑.

m+6J22

答案第7页，共15页

故答案为：逑.

2

14.—

4

【分析】根据题意，证得E尸，43和BC1AC,得到平面D/C,得到平面。/C,

平面48C,过点E,尸作NC的垂线EM,尸N,证得EM_LNF,^^EF=EM+MN+NF>

求得|斯|=6,利用余弦定理和三角形的面积公式，即可求解.

【详解】如图所示，折起前，EF-AB=(ED+DA+AF>)-AB=ED-AB+DA-AB+AFAB

=3x4cos7i+2V2x4cos—+1x4cos0=0,所以EF_LAB,

4

在直角A/FG中，可得户G=4Ftan45°=l，

又由EG=FG=1,因为。1C_L8C,又因为0c=国。=Q4c=4，则4D-LNC,

由/O//8C,所以3c_LAC,

因为/CcC，=C,。0,/(7<=平面。/(7,则8CL平面。/C,

又因为8Cu平面48C,则平面。/C_L平面，3C,

分别过点瓦尸作/C的垂线EM,FN,垂足分别为点则EM1MN,MNLNF,

因为平面D/Cc平面48C=/C,且反Mu平面D/C,所以EA/_L平面48C,

又因为KVu平面43C,所以

由丽=而7+而而+而，

222

可得而2=EM+MN+NF=；+2+；=3,所以忸刊二百，

在AEFG中，可得cosZEGF=F+J舟=_1,

2x1x12

因为/EGFw(0,兀)，所以/£GF==,所以$=Jxlxlx^=".

3、EFG224

故答案为：W.

4

答案第8页，共15页

15.(1)0.3

(2)分布列见解析；0.9

【分析】(1)根据题意，得到事件包括：甲打出9环乙打出8环，甲打出10环乙打出8环

或9环，结合相互独立事件的概率计算公式，即可求解；

(2)根据题意，得到变量X的可能取值为0」,2,3,得到X〜8(3,0.3),求得相应的概率，

列出分布列，求得数学期望.

【详解】(1)解：设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件

则事件A包括：甲打出9环乙打出8环，甲打出10环乙打出8环或9环，

则P(A)=0.3x0.7+0.1x(0.7+0.2)=0.3.

(2)解：由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3,

由(1)知在一场比赛中，甲打出的环数多于乙打出的环数的概率为0.3,则X〜3(3,0.3),

所以P(X=0)=(1-0.3/=0.343,P(X=1)=C；x0.3x(l-0.3)2=0.441,

P(X=2)=C；x0.32x(l-0.3)=0.189,尸(X=3)=0,33=0,027,

所以随机变量X的分布列为：

X0123

P0.3430.4410.1890.027

所以期望为£(X)=3X0.3=0.9.

16.(1)证明见解析

⑵手

4

答案第9页，共15页

【分析】(1)先应用判定定理证明线面垂直，再由线面垂直得出线线垂直;

(2)应用空间向量法求出线面角正弦.

【详解】(1)在平面尸/C中，过点P作/C的垂线，垂足为0.

平面P/C_L平面/8C,且平面尸/CPl平面/8C=ZC,尸Du平面4PC,

故ED_L平面又/8u平面,所以PZ)_L48

又PAL4B,PACiPD=P,尸Du平面尸/C,P4u平面R4C,

所以/B_L平面尸NC,又/Cu平面尸NC,故481ZC.

(2)由(1)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系/一初z,

则/（0,0,0）,5（2,0,0）,P（0,l,6）,C（0,2,0）,

故丽=(2,-1,-百)

',79n、_______222百）

所以"W'H'-~，4C=（0,2,0）,AM=

7

设平面4cM的一个法向量加=(x,y,z),

m-AC=2y=0,

则_——►222r令2=1，则加=（一百,0,1）

m-AM=—xH——y-\——J攵=0,17

333

又因为万=(0,1,6卜

设直线AP与平面ACM所成角为。,

m-APV3_0

则sin6=cos（m,AP

IWIIZPI2^2~~4~

所以直线AP与平面ACM所成角的正弦值为心.

4

17.（1）S"=M

答案第10页，共15页

2024

⑵

2025

【分析】（1）根据求和的定义，整理可得数列的递推公式，结合等差数列的基本概念，可得

答案；

（2）由（1）整理通项公式，利用裂项相消，可得答案.

【详解】（1）当“22时，因为S“M+S“T=2（S“+1）,所以S"M-S"=S「S"T+2,

即0用-。,=2.又出-%=2,所以｛册｝是首项为1,公差为2的等差数列,

所以―3p=〃xl+网

(2)由(1)矢口，。〃=1+2(n—V)=2n—1,

b_4〃cos(〃+l)兀4n/八「1I1/八

=---------------------COS(H+1)兀=-----+-----cos(n+1)兀,

"4屋%+1(2〃—1)・(2〃+1)—12n+lJ

为奇数，

而COS(A7+1)71=所以见12=4+^2+，3+d++々011+4()12

为偶数,

1_2024

2025-2025

【分析】⑴根据尸（X。,为乂/片土"）是£上一点得到常=也交切，再结合直线尸PN

-a1

的斜率之积为:即可得到2=好；

5a5

（2）由（1）得到直线/的方程，然后联立直线和双曲线方程，根据历=2况+分得到

X3=A+X2，根据点。为月上一点得到（丸网+3）2-5（4乂+%）2=562,再结合双曲线方程

[%=儿必+>2

和韦达定理化简得到3+42=0,解方程得到4,最后根据V/2C的面积列方程，解方程得

到6即可得到双曲线的方程.

【详解】（1）

答案第11页，共15页

由尸宙,％）（/*士«）是£上一点，得与一当.=1,即'J叫叫,

aba2

由M（—见0）及N（Q,O）,得2____y°二次—力“2,

XQ—（2XQ+tZ片―/片―//

由直线PM,PN的斜率之积为!，得所以2=".

5a25a5

（2）由（1）,得E的半焦距°=直线/:7=尤-&6.

x2-5y2=5b2

联立i-W4x2-10V6bx+35b2=0,

y=x-yl6b

△=（-10痘>-4x4x35/>0.

5痴

%+%=三一

设40"1）,8（%2，丫2），则'

35/

玉%2=。一

x=耳+x

设反=（匕,为），由反=2方+赤，得32

%=为1+歹2

由C为片上一点，得考―5只=5/,则（〃]+々）2-5（4%+%）2=5〃,

化简，得丸2（%：-5%2）+（%；-5y1）+24（石马—）-5b2,

又AOi，yi）,B（%2，y2）在月上，则6；-5才=5b2,x^-5yl=5b2,

又有再入2—5%>2=再％2一5玉一yj6b）92-卜-4%俨2+566+工2”06=

—35/+7562-30/=1062,即有5b2A2+5b2+20Ab2=5b2，

整理，得丸2+4丸=0,解得a=0或丸=一4.

当a=0时，OC=OB，则B与C重合，不合题意，故；1=-4.

\^-B\=V2上一马|=拒/-4演,%-V25；bI-4x3?=y[5b,

答案第12页，共15页

点。(-4玉+%2，-4%+%)至!J直线>=了一八/?的距离为ci=\!-------J——...里

V2

|一4(西-弘)+|—4xy[6b+>/6b—V6ZJ|

V2V2

所以VN8C的面积5=!引/切=工、后又4扬=2•2,

22

2

由V4BC的面积为2A，得2而廿=2后,解得〃=1,故E的方程为3-必=].

【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元

并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量坐标运算进行转化变

形，结合已知条件得出结果.

19.(1)(0,1)

⑵[3比3-苫一：)，证明见解析

【分析】(1)分类讨论利用导数求最值判断不等式恒成立的条件；

(2)关于x的方程〃尤)尤2+4苫+6有三个不相等的实数根，即方程

x2

3inx+；V-4尤=6有三个不相等的实数根，设g(x)=3In尤+；V-4无，利用导数可得g(x)在

(0,1),(3,+8)内单调递增，在(1,3)内单调递减，求出函数极值确定6的取值范围，利用极值点

偏离证明无1