云南省玉溪市2024-2025学年高二年级上册9月一调考试 数学试卷（含答案）

2024—2025学年度上学期高二年级一调考试

数学试卷

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知/=卜|—gwsinxWl1,N=[L，O,11，则()

2.在平行六面体—4与G〃中，M为NC与8。的交点，若病=a,=~A^A=c,则

下列向量中与万而相等的向量为()

•「11

A.—aH—brc-Bc.—-aH—bT+c-

2222

八1-1f-n1-1-

C.la—b+cD.——a——b+c

2222

3.若函数/(x)在［2,+oo)上单调递减且对任意xeR满足/(I+x)=/(3-%),则不等式

/(3'一2)〉/(4)的解集是()

A.|-oo,-|U(2,+oo)B.|-oo,—C.(2,+oo)

4.在四棱锥尸-4BCD中，底面48C。是边长为3的正方形，尸底面45CD,PA=6,点G在侧

棱必上，且满足2PG=G8,则异面直线PC和。G的距离为()

、3V14宣3V15「3V21c3777

A.-------B.-------C.-------D.-------

1415777

5.空间中有三点/(0,0,0),C(-l,-2,l),且】=(—1,1,1)为平面4BC的一个法向量，则以

AB、NC为邻边的平行四边形的面积为()

A.—B.3A/^~c.3D.3-\/3

22

6.在矩形48CD中，AB=2,AD=243,沿对角线/C将矩形折成一个大小为。的二面角

B-AC-D,当点5与点。之间的距离为3时，cos9=()

1111

A.—B.—C.——D.——

3636

7.边长为1的正方体45CD—481G2中，E,尸分别是24，4乙的中点，M是。8靠近点8的四等

分点，尸在正方体内部或表面，DP-(EF+MF)=0,贝修丽|的最大值是()

A.1B.V3C.V2

8.已知点N,B,C,D,P,。都在同一个球而上，45CO为正方形，若直线尸0经过球心，且尸。，平面

4BCD.则异而直线尸4所成的角的聂小值为()

A.60°B.45°C.30°D.15°

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.己知2=(0,1,1),6=(0,0,-1),则)在B上的投影向量为[o,—g]

B.若两个不同平面a,夕的法向量分别是「，v,且】=(2,0,4),v=(-4,0,-8),则a〃尸

—•2—•3—•3—•

C.若0G=—。4+108+二。。，贝UN,B,C,G四点共面

555

D.若向量P=机x+〃y+左2,(x,y,z都是不共线的非零向量)则称夕在基底｛x,y,z｝下的坐标为

(m,〃,k),若方在单位正交基底｛a,b,c｝下的坐标为(1,2,3),则，在基底伍-3方+下的坐标为

10.如图所示是一个以48为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4,尸为线段NS的中点，其中C、D、E

是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成上一个以S为顶点的圆

锥的侧面，则关于此圆锥，下列说法不正确的是()

A.4CEF为正三角形8.64，平面。£厂

C.SQ〃平面CEFD.点D到平面CEF的距离为26)

11.如图，点尸是边长为2的正方体48。。一4片。。］的表面上一个动点，则()

A.当点尸在侧面ABCC上时，四棱锥尸-44］。］。的体积为定值

—•1—■1—.1—.

B.存在这样的点尸，使得4P=—48+—ZQ+—Z4

222

C.当直线NP与平面48C。所成的角为45°时，点尸的轨迹长度为兀+4J5

4V35

D.当4P=空£■时，点尸的轨迹长度为少士

33

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若复数2满足Z+31=8+2",则|2|=.

13.空间内四点/(0,0,0),5(1,0,0),C-,^-,0,。可以构成正四面体，则40=.

14.如图，在正方体4BCD—451GA中，40=4,点E,尸分别为其男，8片的中点，则平面EEQ截

正方体所得截面面积为,动点尸满足刀=》益+了1万+zN%,且x+y+2z=g,则当

|AP|取得取小值时二面角A.-AD-P的余弦值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

在如图所示的试验装置中，两个正方形框架4BCD,4BEF的边长都是2,且它们所在的平面互相垂直.

活动弹子M，N分别在正方形对角线NC和5尸上移动，且M4和NF的长度保持相等，记

MA=NF=a（0<a<26）.

（1）求"N的长；

（2）当MN的长最小时，求平面跖\%与平面跖V3夹角的余弦值.

16.（本小题满分15分）

如图，已知多面体48CD—451GA的底面48CD是菱形，侧棱8片，底面45CQ,且

cq=2历=4函=4皿.

B

(1)证明：A.C1BD；

（2）若NC=2G，BB}=\,ZABC=120°,求直线BC与平面与。，所成的角的正弦值.

17.（本小题满分15分）

如图所示，在长方体Z8C。—44cl2中，AD=\,AA{=AB=2,M为棱。'的中点.

(1)若尸是线段8M上的动点，试探究：4〃•40是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理

由；

(2)过4M作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围.

18.(本小题满分17分)

如图，三棱台48C—4gG，ABLBC,AC±BB{,平面45吕4，平面45C,

AB=6,8c=4,84=2,2。与4。相交于点。，~AE=2EB,且DE〃平面5CG4.

(2)平面45c与平面48c所成角为a,CQ与平面45c所成角为尸，求a+"的值.

19.(本小题满分17分)

如图1,在平行四边形Z5CD中，AB=2BC=4,ZABC=60°,E为CD的中点，将△ZQE沿/£

折起，连接3。与CD,得到的四棱锥如图2.

图1图2

(1)当AD为何值时，平面4DEL平面48CE?

(2)设丽=4丽(0</41),当5E_LQE时，是否存在实数4,使得直线//与平面48CE所成角

的正弦值为'迎？若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由；

10

(3)当三棱锥8-CQE的体积最大时，求三棱锥。-Z8E的内切球的半径.

月考卷参考答案

一、选接题

JTJTJT1717r

—,—,0,—卜中的兀表依次代入—VsinxKl验证，只有—，0,一满足

{462]262

-1<sinx<l,所以MnN=1—故选C.

2.C【解析】因为在平行六面体45CD—481GA中，

DM=^DB=^(DA+DC)=^(-A^D[+A^y所以

------——■——■—■1/——■——1——.1——.—-11

D.M=D,D+DM=A.A+-1-A,D,+A,B.A}=-A.B,——AD,+A,A=-a——b+c,故选C.

iii2、iii22

3.D【解祈】因为/(l+x)=/(3—x),所以/(x)的对称轴为x=2,/(x)在(2,+s)单调递减，则

/(x)在(—叫2)单调递增，又因为/(3x—2)>/(4),由对称性可得|3x-2-2|<|4-2],所以

2.

I3x—4]<2,—2<3x—4<2,—<x<2.故选D.

3

4.A【解析】如图，以点2为原点，AB,AD,NA分别作为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则8(3,0,0),C(3,3,O),Z>(0,3,0),尸(0,0,6),6(1,0,4).所以丽=(1,—3,4),PC=(3,3,-6),

——.fn-DC=x-3y+4z=0

DC=(3,0,0),设方=(x,y,z)为直线PC和。G的公垂线的方向向量，则有<_'

ii-PC=3x+3y-6z=0

可取元=(1,3,2),所以异面直线PC和DG的距离为\DC'n\=J==.故选A.

\n\V1414

5.D【解析】平面45c的一个法向量为为=(—1,1,1),则为•方=(—1,1,1>(1,叽2)=0,解得机=—1,

-►-►ABHe31

故8(1,—1,2),28=(1,—1,2),AC=(-1,-2,1),贝UcosZn=_==厂厂一,则

\AB\-\AC\V6-V62

sinA=A/1-COS2A=,则平行四边形面积为;[48|•|/C|sin/x2=；xj^xV6x^-x2

=3A/J.故选D.

6.B【解析】分别作BEJ_/C,DF1AC,垂足为E,F,则8=〈丽,丽〉.由4S=2,AD=2^,

AD•DCr~—►—►—►—►

可得ZC=4,所以--------=J3,AE=CF=i,EF=2.因为BD=BE+EF+FD,

AC

则|AD|2=BQ=《E+EF+FD）=BE+EF+FD+2BE-FD,即

9=3+4+3+2A/3-V3cos（兀—6）,故cos8二」.故选B.

7.B【解析】如图，建立空间直角坐标系，设尸(x/,z),则0(0,0,0),E1L0，g}FQ,0.1J,

所以而=1—赤=[—1,—(,1)则而+赤=]—?,—:，1)因为

—►—►►—►333Y+u

DP.(EF+MF)=0,又。尸=(x,y,z),所以——+=0,即2=-^,所以

|丽『=/+了2+22=/+了2,又04x〈l,Q<y<l,所以

/+/+1号wi+i+p|T|=3,当且仅当x=y=i,止匕时2=1时，等号成立，所以|加|的最

大值是故选B.

8.A【解析】设球的半径为R(R〉0),记48CD中心为。，因为48CQ为正方形，直线尸。经过球心,

且尸0，平西48CD.所以尸。过点。且尸0的中点为球心，设球心为G,以。为原点，OB、OC.0P分

别为x,y,z轴正半轴，建立空间直角坐标系。-乎,

设OA=OB=OC=OD=r(r>0),G(0,0,。(一R<t<R),

则/(0,-r,0),5(r,0,0),P(O,O,R+t),Q(O,O,R-t),

所以百=(0,—r,—A—/),QB=(r,O,t-R),所以强•9=—(/+R)«—R)=R?—/,

所以|再|=，,+(氏+/)2,|砺|=J/2+(R_Q2,

22

XOG+0B-=R,即/+/=氏2

所以cos(PA,QB)=P吗=R2T：=

\■\QB\M+(R+t)2义++(区一)2

R2_72_J.2<R]

2R^R2-t22R~2R2,

—­—■1

当且仅当f=0时等号成立，设直线P403所成的角为a贝。cosa=|cos〈P408〉|V5,又

0°<«<90°,所以0mhi=60°.故选A.

二、选择题

9.BD【解析】对于A,由于万=(0,1,1),6=(0,0,-1),则方在B的投影向量为

-b

|a|cos〈N,6〉•话j二V2xX(0,0,—1)=(0,0,1),故A错误;

对于B：若两个不同平面a,7?的法向量分别是M,v,且M=(2,0,4),v=(-4,0,-8),-2u=v,则

all用故B正确;

233—►2—►3—►3—►

对于C：由于一+1+二片1,对于。G=—04+105+±0C,故/,B,C,G四点不共面，故C错误;

555555

对于D：〃在单位正交基底伍下的坐标为(1,2,3),即7二5+2否+3W=(1,2,3),所以方在基

底｛/一瓦。+3,己〉下满足(1,2,3)=x(a-J)+y(a+B)+z"=(x+y)a+(y-x)b+zc

13

=(x+y/-x,z),故x+y=l,y-x=2,2=3,解得工二一务，y=—,z=3,则夕在基底

｛a-b,a+b,c｝下的坐标为I，3),故D正确.故选BD.

10.ABD【解析】选项A,该半圆围成的圆锥，如图所示,

设四棱底面半径为F,贝！1271r=4兀，：.r=2,CE=4,;E为NS的中点，。为40的中点，

FO//SD,且R9=2=」CE,，/。巫二乡。。，为等腰直角三角形，选项A错误；

2

选项B,若£4,平面CEE,则NNR9=90。，直角△ZCE中，AO=OF=AF=2,

ZAFO=60°,选项B错误；

选项C,•.•R9〃S£>,尸Ou平面EFC,S。〃平面EEC,选项C正确；

选项D,♦.•(?£，40,CELSO,r.CEL平面S4。，，平面CEFL平面£4。，，。到直线尸。的

距离即为。到平面CEF的距离，又FO//SD,D到直线FO的距离等于。到直线SD的距离，为百,

选项D错误，故选ABD.

H.ACD【解析】略

12.V7【解析】略

(FTrr\

13”.6—3J【解析】由已知正四西体4BC。的棱长为1,所以。的竖坐标为正四面体的高,

的外接圆半径为L=所以正四面体的高为A/6

—,而横坐标，纵坐

2sin60033

1e

0+1+-]0+0+—h

标即底面三角形4BC的重心坐标，巧，=------2=—,yD=--------2_=—,所以

口3236

(1V3

,故答案为.［只写对一个不给分］

〔263J(263J

14.18；-----【解析】略

5

四、解答题

15.解：(1)由题意可知，直线5C、BE、54两两垂直，以5原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(2,0,0),C(0,0,2),尸(2,2,0),£(0,2,0),

(

因为=NF=a,所以M2-42-正，2-正,。］

所以|跖V|=-2缶+4.

(2)|7W|=荷一2缶+4=J(a-扬2+2,当&=拒时，|肱V|最小.

此时，M,N为AC、3厂的中点，则〃(1,0,1),N(l,l,0),取MTV的中点G,连接NG,BG,

则,因为=BM=BN,所以ZGLJW,BGA.MN.

所以NZG5是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角,

因为第=11,—；

—■—■GAGB

所以cos〈G4GB)=———

\GA\-\GB\3

所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是

3

16.解：(1)因为2元《=4函，所以54〃幺4,

又因为，平面48CD,所以44］，平面48CD,

又因为BDu平面48CD,所以幺4,8。，

因为四边形45CQ是菱形，所以ADJ.ZC,

又因为NCn44］=Z，AC,Z4u平面幺4C,所以8。，平面幺耳。，

又因为4c平面N4C,所以AD，4c.

(2