高三数学一轮复习：复数的四则运算配套训练

高三数学必修二第七章复习配套训练

复数的四则运算

一、单选题

1.（2024•江西•一模）若（2-2i）z=i,则2=（）

11.11,c11•r>11・

AA.—+—inB.----------1C.-------1D.——+—i

44444444

2.（2024•四川•一模）已知i为虚数单位，则（l+iy+2（l—i）的值为（）

A.4B.2C.0D.4i

3.（2024•广东珠海•一模）复数z=工一（i为虚数单位），z的共辑复数为（）

-3+1

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

4.（2024•四川资阳•二模）复数z=（3—i）（l+i）2的共机复数口（）

A.2+6iB.2-6i

C.-2+6iD.-2-6i

z

5.（2024•江西九江•二模）已知复数z满足达=2-i,其中i为虚数单位，则一二

2+i

（）

,4+3i-4+3i八3+4i、3+4i

A.---------B.-------C.---------D.-------

5555

6.（2024•山西太原•一模）复数Z=°T）的共朝复数为（）

1+i

A.-1-iB.-l-2iC.-1+iD.-l+2i

7.（2024•四川乐山•三模）若复数z满足（l-i）z=（l+i）,彳是z的共轲复数，则彳的虚部为

（）

A.1B.-10.iD.-i

8.（2024•四川宜宾•三模）已知复数z满足T+z+UO且N是z的共辑复数，则z+2=

（）

A.-1B.1C.V3D.Y

1-i_

9.（2024•天津和平•二模）已知i为虚数单位，复数z=——,则n的共朝复数工=

2+217

)

A.1-111,1.D.-；i

1Bn.—+—1C.n—1

222:22

10.(2024•陕西铜川•三模）若复数z满足z(i—l)=2i,贝ijz=()

A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i

内蒙古赤峰•三模）复数z=-^—的共朝复数为（

11.(2024•)

1-2

A.i+：2B.i-2C.-2-iD.-2-i

已知复数4=3+后/2=百一i,

12.(2024•宁夏银川•一模）则ZjZ2=(

A.26B.4GC.26-3iD.273+3,

13.(2024•北京大兴•三模）已知-i）2为纯虚数，则实数=()

A.0B.1C.-1D.±1

14.(2024•陕西榆林•二模）i2020=()

A.iB.-i0.1D.-1

15.（2024•山西阳泉•三模）已知2+i是实系数方程/+度-4=0的一个复数根，贝|P+q=

（）

A.-9B.-1C.1D.9

二、多选题

16.（2024•山东济南•二模）已知方程£=1在复数范围内有〃个根，且这〃个根在复平面

内对应的点w等分单位圆.下列复数是方程f=l的根的是（）

A.1B.iC.D.cos400+isin400

22

17.（2024•福建宁德•三模）已知Z],Z2是两个复数，下列结论中正确的是（）

A.若4=%，则z^eRB.若Zi+z?为实数，则

ZZ

C.若4*2均为纯虚数，则,为实数D.若心为实数，则Z],Z2均为纯虚数

18.（2024•河南•三模）已知复数0=一▲+立i,而为。的共机复数，贝”（）

22

A.（00）=1B.692+=69+

C.lco2=0D.口+疗+疗+…+疗。24=1

19.（2024•浙江温州•三模）已知40是关于x的方程％2+px+夕=0（夕,夕£R）的两个根,

其中z1=l+i,则（)

；

A.Zj=z2B.z=C.p=—2D.q=2

20.（2024•辽宁沈阳•二模）设方程f+%+i=。在复数范围内的两根分别为4*2,则下列

关于4,Z2的说法正确的有（)

A.z：=z2B.z-D.乎2=1

三、填空题

21.（2024•湖南•三模）若复数4,Z2是方程炉—2元+10=0的两根，则z；+4Z2+2z2=

1l-2i

22.（2024•天津南开-二模）i是虚数单位，复数7k

1-21

23.（2024•山东青岛-二模）已知复数z满足（z+2）i=2z—l,则复数彳=

i是虚数单位，化简明口的结果为

24.（2024•天津河北・二模）

1-1

复数z=2zl6为虚数单位），贝^=

25.（2024•上海闵行•三模）

1

26.（2024•广东汕头•二模）写出一个满足（l+i>z£R,且同>2的复数z,z=

27.（2024•上海•三模）已知复数n满足（3-4i）z=5,则z=

若3^4是纯虚数，贝I实数a的值为

28.（2024•北京•三模）

1-ai

29.（2024•河南・三模）在复数范围内，方程/=16的解集为

30.（2024・安徽•三模）若复数n满足i（z—1）=2,则5=

参考答案:

1.B

【分析】根据复数的除法运算求得一%"再根据共相复数的概念分析判断.

ii(2+2i)11.

【详解】因为(2-2i)z=i,则2==--------1----1

2-2i(2-2i)(2+2i)44'

所以彳=—

44

故选B.

2.B

【分析】根据条件，利用复数运算法则及虚数单位的性质，即可求解.

【详解】因为(l+iy+2(l—i)=l+2i+i2+2—2i=2

故选:B.

3.B

【分析】先将该复数化简为复数标准形式，再写出共机复数即可.

1010(-3-i)10(-3-i)

【详解】z=°；=7。。.、=一丁^—=-3-i,所以z的共机复数为-3+i.

-3+1(-3+i)(-3-1)9-1

故选：B

4.B

【分析】根据条件，利用复数的运算及共机复数的定义，即可求解.

【详解】z=(3-i)(l+i)2=2i(3-i)=2+6i,则］=2-6i,

故选：B.

5.A

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

【详解】iz=2-i,贝Iz=K^=-l-2i,

1

,z-l-2i(-l-2i)(2-i)43.4+3i

古攵----=-------=--------------=-------1=---------

2+i2+i(2+i)(2-i)555,

故选：A.

6.C

【分析】利用复数的四则运算以及共机复数的定义求解即可.

【详解】z=(l-iX=(-2i)(l-i)=_1_.>二共朝复数为-i+i,

1+i2

故选：0

7.B

【分析】根据复数的除法运算计算即可.

依题意z=[==T=i

【详解】

l-i(l-i)(l+i)2

所以』=T,

z的虚部为—1.

故选：B.

8.A

【分析】由韦达定理即可求解.

【详解】由求根公式可知，若Z为方程z2+z+l=0的根，则其共机复数彳也是该方程的根,

故由韦达定理可知，z+z=-j=-l.

故选：A.

9.C

【分析】先利用复数的四则运算求出z,再结合共机复数的定义求解.

l-i(1-i)(2-2i)2—2i—2i+2i?1.

【详解】复数z—i

(2+2i)(2-2i)82

所以z的共辑复数彳i.

2

故选：C.

10.A

【分析】根据复数的除法运算即可化简求解.

2i阳-1)

【详解】复数z=]

故选：A

11.B

【分析】利用复数的运算化简z=-2-i,则共朝复数为1=i-2.

55(-2-i)

【详解】因为Z——--------=一2—i,

i-2(i-2)(-2-i)

所以共机复数1=_2+i,即1=i-2.

故选：B.

12.B

【分析】根据复数的乘法运算即可求出答案.

[详解]Z]Z2=（3+©）（6_i）=g（6+i）（^_i）=4g

故选：B

13.D

【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简（"Li）「再根据实部为0,虚部不为。得到方程

（不等式）组，解得即可.

【详解】因为一i)-=—2mi+i2=m2—1—2mi,

AZZ?_]_0

又（根-i）为纯虚数，所以4",解得加=±1.

-2mw0

故选：D

14.C

【分析】利用复数的乘方运算计算即得.

【详解】i2020=（i4）505=1.

故选：C

15.A

【分析】根据虚根成对原理2-i也是实系数方程尤2+内一4=0的一个复数根，再由韦达定

理计算可得.

（详解】因为2+i是实系数方程x2+px-q=0的一个复数根，

则2-i也是实系数方程炉+px-4=0的一个复数根,

-p=2+i+2-ip=-4

所以-=(2i)(2-i);解得

?+q=-5

所以p+4=-9.

故选：A

16.ACD

【分析】用立方差公式分解因式，求出根，再利用复数的运算直接代答案求解.

【详解】对于A选项，显然成立，故A正确；

对于B选项，故B错误；

由题X，-1=0,+])=0,令/=工3,贝U(7—1)(广+/+1)=。，

y1,或公主”即/=1,或八匚”

22

对于C选项，(一;一咚以=一(3+岑i)3=一(；+*i)2(；+*ip=.[#i—;+乎i)=l

成立，故C正确；

对于D选项，(cos40。+isin40°y=(cos40°+isin400)2(cos400+isin40

=(COS240°-sin240°+2isin40°cos40°)(cos40°+isin40°)

=(cos80°+isin80°)(cos40°+isin40j

=cos80°cos40°+icos80°sin40°+isin80°cos40°-sin80°sin40°

=cos(80°+40°)+i(cos80°sin400+sin80°cos40°)

=cosl20°+isinl20°

=i,故D正确；

22

故选：ACD.

17.AC

【分析】根据题意，复数a=〃+bi,Z2=c+di(a,Z?,c,dER),根据复数的运算法则和复数的

概念，结合选项，逐项判定，即可求解.

【详解】设复数」=。+历,Z2=c+di(a,仇c,dwR),则z2=c—应(c,d£R),

对于A中，由Z2=c—di,且4=手，可得4+历=。—%，所以a=c,b=—d,

所以zv=(a+bi)(c+di)=(a+bi)(a-bi)=a2+b2GR,所以A正确；

对于B中，由Z1+Z2=(a+c)+(Z?+d)i£R,可得Z?+d=0,即Z?=—d,

但。与c不一定相等，所以Z1与务不一定相等，所以B错误;

对于C中，由Z],Z2均为纯虚数，可得。=。=0力RO,drO,

z,bibr

此时乙二话=%eR，所以,正确;

z,a+bi(a+Z?i)(c-di)(ac+bd)+(be-ad)i

对于D中,由一为实数,

Z2c+di(c+di)(c-di)c2+d2

可得be—加=0,但。不一定为0,所以D错误.

故选：AC.

18.ABC

【分析】根据共辑复数的概念得石二-"1■一走i,然后根据复数乘法运算逐一计算即可判断

22

ABC;由1+0+1=0可得0"+0向+0"+2=。，然后可判断D.

【详解】对于A,因为。:一,+且八所以石=一工一且卜

2222

所以0•5=

22人22)

、2

(1技2/1技31技3,

对于B,1+52-------1-------1+_!_乌=------1----1------1-------1—=—1,

(221424424

~2r7

g+孝一/i=T，B正确;

。+后=

对于C,1++6t)2=1——+i+——+-^-i=——-^-i——=0,C正确;

222222424

对于D,因为］+0+02=0,所以(1+口+/2)/〃=CDn+CDn+}+a)n+2=0,

所以口+口2+03+...+啰2024=口+@2=_1,D错误.

故选：ABC

19.ACD

【分析】根据虚根成对原理得到Z2=l-i,即可判断A,再根据复数代数形式的乘法运算判

断B,利用韦达定理判断C、D.

【详解】因为Zl，Z2是关于x的方程x2+px+9=0(pM£R)的两个根且4=l+i,

所以Z2=l—i,即z=Z2，故A正确;

2

z；=(l+i)2=2i,zf=(l-i)=-2i,所以z：wz；,故B错误;

因为Z]+z2=(l+i)+(l-i)=2=-p,所以0=-2,故C正确;

又Z]Z?=F=2=q,故D正确.

故选：ACD

20.ABD

【分析】求解可得.=-g+#i,Z2=-g-2i,再逐个选项判断即可.

【详解】对A,由实系数一元二次方程求根公式知z=-；+?i,z2=-乎i,

则z：=+=—；-^~i=Z]（与ZpZ2顺序无关），故A正确；

对B,因为Z；=Zz3=l,所以Z13-Z23=O,故B正确；

2

对C,由A,Zj-z^=z2-z^0,故C错误；

对D,由韦达定理可得422=1,故D正确.

故选：ABD

21.4

【分析】将所求式子变形，结合韦达定理即可求解.

【详解】由韦达定理有Z]+Z2=2,平2=10,且Z；-24+10=0=>Z；=24—10,

以z；+Z]Z?+2z2=2Z]—10+Z]Z?+2z2=2(z1+z?)+—10—4+10—10—4.

故答案为：4.

22.3+4i

【分析】由复数除法法则直接计算即可.

ll-2i(11-20(1±21)1520

【详解】由题E=±1=3+41

(l-2i)(l+2i)5

故答案为：3+4i.

23.-i

【分析】利用复数的除法运算求解.

耳47」+2i_(l+2i)(2+i)_5i

【详解】易知二_(2-i)(2+i)_.所以5=—i.

故答案为：-i

24.i

【分析】利用复数的除法运算求解.

li_(li)2_2i

【详解】解:++t

1-i(l-i)(l+i)2

故答案为：i

25.-l+2i

【分析】先对z化简，然后可求