辽宁省联盟2024年高考数学模拟卷（二）（含答案解析）

辽宁省名校联盟2024年高考模拟卷（信息卷）数学（二）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={x|x+6>x",B={xeN[-l<x<4},则Ap|B=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

2.已知复数z满足z（2+2i）=3』+3,贝ijz的虚部为（）

A.-6B.-3C.6D.15

3.在平行四边形A3C£>中，AE=2EC,EF=FB,贝l|（）

_.1—.5―.—■2—■5—■

A.AF=-AB+-ADB.AF=-AB+-AD

3636

—.5―.1—.—.5—•2—.

C.AF^-AB+-ADD.AF=-AB+-AD

6363

4.2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：

将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1,也能

被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联.若某天符合条件的顾客共有2000

人，则恰好获得1对春联的人数为（）

A.167B.168C.169D.170

_、£

5.设。=oS,。=log23,c=logel1，则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

6.现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A

级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，

则这5名游客不同的选择方案种数为（）

A.52B.72C.76D.100

7.已知抛物线C:;/=2px（p>0）的焦点为尸，过点尸的C的弦中最短的弦长为8,点8在C

上，。是线段跖上靠近点尸的五等分点，贝（。为坐标原点）的最大值为（）

A.-B.也C.撞D.B

5552

8.若至少存在一条直线与曲线〃”=2犬+3和g（x）=3T血（*0）均相切，贝脚的取值范

围是（）

A.[Te,O)B.[2e,+oo)

C.(Te,0)U(0,y)D.[-4e,0)U(0,+oo)

二、多选题

9.已知名?是两个不同的平面，/,根是两条不同的直线，则（）

A.若Iua,niuB，a///3,则/〃7〃B.若a,l&a,贝1!/〃£

C.若a_L4，〃zuci!,则D.若1」ajn〃l,mu0,则<z_L£

10.设函数〃x）的定义域为D,若VxeD,记/⑵（力=/（/（初为在。上的2次迭

代，/⑶（X）=/（〃〃X）））为了（为在。上的3次迭代,依次类推，

#依）=/=（/（…〃力）））为了⑺在。上的〃次迭代，即泮⑺=/（/（"—）⑴），则（）

A.若/（%）=依+瓦4工1,贝！|/（"）（x）=a0（x+—^Y]+Y^-

B./（x）=ax+&,/^10）（x）=1024%+1023,则a=2,6=l

C.若〃x）=2x+l,则/网）（32）能被17整除

D.若f（x）=0,a口0,则产°°）（x）=〃x）

X

11.双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线

22

的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，双曲线氏土-二=1的左、右焦点分别为

46

片，鸟，从F2发出的两条光线经过£的右支上的A,8两点反射后，分别经过点C和。，其中

反，万匠共线，贝U（）

试卷第2页，共4页

B.当点C的坐标为RM,J而）时，光线由工经过点A到达点C所经过的路程为6

C.当福.通=通2时，八8月月的面积为12

D.当荏.而=褶时，cos4《A=-雪

三、填空题

12.若随机变量X~/〃,力，且P（X24）=P（X<1）=0.4,则尸］|《X<］=.

13.已知圆C:d+y2-2依一2丁+1=0关于直线x-y-l=0对称，圆C与x轴交于A8两点,

则|的=__________

14.已知函数小）=$皿2犬+夕）（夕|<今］满足了［e］=70若“X）在区间『加上恰有

2个零点，则机的取值范围为.（用区间表示）

四、解答题

15.已知数列｛%｝的前〃项和为%且4s“=5%-2.

⑴证明：｛%｝是等比数列，并求其通项公式；

⑵设。=（-1）"管,求数列也｝的前100项和小.

16.如图，在三棱柱ABC-4与£中，侧面A41GC,底面ABC,底面三角形ABC是以AC

为斜边的等腰直角三角形，侧面AAQC是边长为2的菱形，且幺AC=60。.

B

（1）求点A到平面ABC的距离;

⑵求直线\B与平面AB,C所成角的余弦值.

17.已知函数/（x）=（«x—l）eAi+3（aw0）.

⑴求的极值；

⑵设0=1,若关于X的不等式/-在区间［T,y)内有解，求6的取值范围.

18.第十四届全国冬季运动会(简称冬运会)于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自

治区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治

区首次承办全国综合性运动会.为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学组织大学生举办了一次

主题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔

赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院参加该大

学的冬运会知识竞赛.

(1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道题

或答错4道题即终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰.已知大学生甲答

对每道题的概率均为,，且回答各题的结果相互独立；

2

(i)求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率；

(ii)设甲在初赛中答题的道数为X,求X的分布列和数学期望.

(2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否则

被淘汰已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为尤(。＜尤＜1)，

3道题全答对的概率为1，且回答各题的结果相互独立,设他能参加学校比赛的概率为了(x),

O

求“X)的最小值.

19.设动点G(x,y)到点尸(1,0)的距离与它到直线/：x=4的距离之比为;，记点G的轨迹为

曲线C.

(1)求C的方程；

⑵A为C与X轴的负半轴的交点，8为直线尤=1与C在第一象限的交点，直线/'过点(-2,3),

且与C相交于M,N两点，过点N作垂直于x轴的直线分别与直线AB,AM相交于点P,Q,

分别记△⑷V。与△AP。的面积为E与邑，求证：S,=2S2.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ACCABDBDBDAC

题号11

答案ABD

1.A

【分析】求出集合A与集合B后，借助交集定义即可得.

【详解】由x+6>d可得_2<x<3,即A={X-2<x<3},

B={XGN|-1<X<4}={0,1,2,3,4},故4仆3={。/，2}.

故选：A.

2.C

【分析】设出复数z的代数形式，利用复数乘法及复数相等求解即得.

【详解】设复数z=a+历（a,、£R）,由z（2+2i）=3%+3,得（〃+历）（2+2i）=3a+3—3历,

f2a—2Z?=+3

化简得2a—2b+（2a+20）i=3a+3—3历，贝火,解得a=—15,/?=6,

[2a+2b=-3b

于是z=-15+6i,所以z的虚部为6.

故选：C

3.C

【分析】运用平行四边形法则和三角形法则，结合线性运算法则解题即可.

【详解】如图，由题意霹=2皮,可知衣*=|（通+正）,厂是班的中点，

所以通」通+工通，通+，（通+而）=9顺+，加

222363

故选：C.

4.A

【分析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为{q}，根据

题意结合等差数列的通项求出其通项公式，进而可得出答案.

答案第1页，共13页

【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为{4},

则。“T既是3的倍数，也是4的倍数，

故见T为12的倍数，所以是首项为0,公差为12的等差数列，

所以4,=⑵-11,

41<«„<2000,BP1<12M-11<2000,且“eN*,解得登，

且〃eN*,又167<誓<168,所以恰好获得1对春联的人数为167.

12

故选:A

5.B

3

【分析】根据指数函数、对数的单调性结合中间值“1”、即可比较大小.

2

]blo3]lo]3

【详解】。=0.5久0.5°=「=§2=-g29>-log28=-,

1=log66<c=log6ll<log66^=-.

综上，a<c<b.

故选：B.

6.D

【分析】分类讨论与甲为一组的人数情况，结合分组分配问题的解法即可得解.

【详解】若甲1个人一组，则其他两组人数分别为1,3或2,2,

则不同的选择方案有C；(C：A；+C；)=2x(4x2+6)=28种；

若甲和另外1个人两人一组，则其他两组人数为1,2,

则不同的选择方案有A；=4x2x3x2=48种；

若甲和另外2个人三人一组，则其他两组人数为1,1,

则不同的选择方案有点以；=6、2乂2=24种；

所以共有28+48+24=100种选择方案.

故选：D.

7.B

【分析】由题意得2P=8,得C的方程为丁=8X,R2,0),设由

答案第2页，共13页

一¥

540,不妨设点在第一象限，易知尸为锐角，当取最

丽=4加得＜3NOOsin/DOF

大值时，直线OD的斜率左也最大，运用斜率公式结合基本不等式可得上即当sin/DOF

取最大值时tan/DOF=L,由同角基本关系求出sin/DO/即可.

2

【详解】因为过点尸的C的弦中最短的弦长为8,所以2。=8,

即C的方程为/=8x,F（2,0）.

,2、

设2今,%,D(x,y),

o7

由。是线段3F上靠近点尸的五等分点，得丽=4而,

(2\

所以|尤一卷,>_%=4(2—x,_y),

I8)

2片

X_A=4(2-X)540

故，8，即，

4

y-y0=~y

不妨设点8在第一象限，易知ND■为锐角,

当sin/DOb取最大值时，直线OD的斜率左也最大,

”y_觊82

又X64+常64-°『642,

一十%2J%

%Vo

64

当且仅当一=%,即为=8时取等号,

%

止匕时tanNDOb=」

2

21——,cosZDOF=2小

COS2Z£)OF=

l+tanVDOF55

sinZDOF=tanZDOFcosZDOF=-x*=6,

255

即sinZDOF的最大值为好

5

故选：B.

8.D

【分析】分别假设公切线的切点,然后根据题意列出方程并化简，进而转化为两个函数有交

点即可.

答案第3页，共13页

【详解】「(无)=4x,g，(x)={,设公切线与曲线y=f(x)相切于点(占,2x^+3),与曲线y=

90)相切于点口2,3-11%乂々>0),

则切线方程分别为y=4中-2尤；+3,y=-—x+t+3-l\wc1,

-2%；+3=/+3-/lrLX2(2),

由①得芯=2，

16X2

代入②得t=8xflnx2-Sxl.

/z(j;)=8x2lnx-8x2(x>0),

则”(x)=8x(21nx-l),

所以当0<%<八时，h'{x)<0,当人时，/f(%)>0,

所以拉。)在区间(o,捉)内单调递减，在区间(加,+")内单调递增，

所以〃OOmm=〃(J^)=-4e,

又当Xf+00时，妆力-»+00,

所以八。)的值域为［-4e,+oo),

所以♦的取值范围是［Te,0)u(0,+8).

故选：D.

9.BD

【分析】对于AC：根据空间中空间中线、面关系分析判断；对于B：根据线面平行分析判

断；对于D：根据面面垂直分析判断.

【详解】对于A项，建lua,muB，a〃§,贝以〃加或/与加异面，A项错误；

对于B项，因为m//a,则maua,〃z〃a,且相〃/,可得a〃/,

又因为auejua,所以/〃”，B项正确；

对于C项，当e_L/?,〃zua时，_L£或根//£或u/7或机与夕相交，C项错误；

对于D项，若/_La,加〃/,则〃zJ_c,又mu/3,所以a_L£,D项正确.

答案第4页，共13页

故选：BD.

10.AC

【分析】对于AB：根据题意结合等比数列求和公式分析判断；对于C：根据题意结合二项

式定理分析判断；对于D：根据题意结合周期性分析判断.

【详解】对于选项A：若/(力=办+。(“片1),

nnn2nn

则,㈤(力=ax+a-'b+a-b+---+ab+b=ax+b=a^x-+£,

所以(x)=a"(无J+l，故A项正确；

Va-\)1-a

对于选项B：由〃x)=ax+Z?,

<i_10A

得⑼(％)=40X+a9b+c^bH—+ab+b=+b----J=1024%+1023,

(〜吟

所以。=1024,。-=1023,解得。=2/=l或。=—2]=—3,故B项错误;

Ij)

对于选项c：若〃x)=2x+i,则/Max*a+i)—：!,

所以/(100)(32)=33X2100-1=33X1625-1=33X(17-1)25-1

=33©；1725一片1724+0723-《；1722+…+417-1)-1

25242322

=33(Cg17-C^17+Cgl7-Cgl7+...+C2517)-34

所以，wo)(32)能被"整除，故C项正确;

对于选项D：若/(%)=三=(4彳0),

X

所以〃x)=/是以2为一个周期的迭代函数，所以，WO)(X)=XH/'(X),故D项错误.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：准确理解题干给出的“〃次迭代函数”的概念并正确应用，是解决本题

的关键.

答案第5页，共13页

11.ABD

【分析】根据双曲线的渐近线的斜率，可得判定A正确；根据双曲线的定义，求得由尸2经

过点A到达点C所经过的路程,可判定B正确;根据向量的数量积的运算，得到〃.诙=0,

得到设忸用=〃，列出方程，求得九=6,进而可判定C错误；在直角*28中，

结合cos/月84=,可判定D正确.

【详解】如图所示，过点工分别作E的两条渐近线的平行线44,贝以4的斜率分别为逅和

一2

^6

----,

2

对于A中，由图可知，当点A3均在E的右支时，上<-逅或所以A正确；

22

对于B中，光线由尸2经过点A到达点C所经过的路程为怩H+g。=|耳4|-2a+|AC|

22

=\FlC\-2a=yl(2>J10+V10)+(^-0)-4=6，所以B正确；

对于C中，由荏.亚=宿，得覆•(而一福)=0,即为月.丽=0,所以

设忸用=〃，贝U怛囚=〃_2a=〃-4,

TT

因为ZABO=E，所以/+("-4)2=(2C)2=40,整理得〃2一4九-12=0,

解得“=6或九=-2(舍去)，所以忸耳|=6,\BF2\=2,

所以△即任,的面积S=；忸周•忸周=6,所以C错误;

\BFA2J10

对于D项，在直角△耳中，8$/片区8=谓=R苏=?，

所以cosN£gA=-cosN居月一吟，所以D正确.

故选：ABD.

12.0.1/—

10

答案第6页，共13页

【分析】利用正态分布的对称性得到答案.

【详解】因为且尸（X24）=P（XW1）=O.4,则〃=111=|,

所以呜

-<X<4-P（X>4）=0.5-0.4=0.1.

故答案为：0」

13.2g

【分析】先根据圆关于直线对称，得到直线经过圆心，求出圆心，再运用弦长公式求解即可.

【详解】圆C:-2ax-2y+1=0,（x-a）2+（y-1）2=a2,圆心C（a,l）,

因为圆C关于直线x-y-l=。对称，所以-1=0,解得a=2,

所以圆C:（x-2y+（y_l）2=4,圆心C（2,l）,半径厂=2,则圆心C（2,l）到x轴的距离4=1,

所以=2j以-储=273.

故答案为：2瓜

F43K67兀）

凡［石，而J

【分析】运用正弦型函数的性质求解即可.

【详解】由题意可知f（x）的最小正周期7=与=兀，因为丁一9=£<9,所以直线

2oo244

71717

4+8_7兀为/（尤）图像的一条对称轴，则/（x）在直线x=《右侧的零点依次为

X=~=4848

7兀+1_19兀7兀+31_43兀7兀+51_67兀

481一石，丽］.而，丽彳—石，…，

若“X）在区间已⑷上恰有2个零点，则加€堂，誓］.

\34o4o）

43兀67K

故答案为:

15.⑴证明见解析，4=2x5”、

（2）100.

【分析】（1）利用给定的递推公式，结合见=5“-57（〃22）及等比数列定义推理得证，再

求出通项公式.

（2）利用（1）的结论求出/，再利用分组求和法计算即得.

答案第7页，共13页

【详解】(1)数列｛七｝中，4S“=5a”一2,当〃22时，4S„_,=5a,一一2,两式相减得g=5%,

而4=岳=；卬-；,解得4=2,所以｛4｝是首项为2,公比为5的等比数列，

通项公式为%=2x5"-.

B

(2)由⑴知，bn=(-1)-log5=(-1/-log5=(-1)».(2«+l),

所以Zoo=01+伪)+(4+。4)+,一+(区9+6100)=(一3+5)+(—7+9)+…+

(-199+201)=2+2+2+---+2=2x50=100.

16.(1)6

【分析】（1）取AC的中点。，连接ACAQ,根据题意证明A。，平面ABC,所以4。的

长即为点A到平面A3C的距离，即可求解；

（2）以。为坐标原点，。民。CDA所在直线分别为x,y,z轴，由线面角的向量求解方法可

求得直线与平面ABtC所成角的余弦值.

【详解】（1）

取AC的中点。，连接ACA。，

因为侧面441GC为菱形，且4,AC=60。，

所以AA41c为等边三角形，所以AOLAC.

又平面A5CL平面MGCAOu平面44〈C，平面A4CCn平面ABC=AC,

所以平面ABC,

答案第8页，共13页

所以4。的长即为点A到平面ABC的距离，

又A。=A41sin/41AC=凡sin600=6,

故点A到平面ABC的距离为6.

(2)连接。B,因为AB=BC,所以OBLAC,则。氏DC,£招两两垂直.

以。为坐标原点，。民。C%所在直线分别为％，M2轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由题可知D（0,0,0）,3（1,0,0）,C（0,1,0）,A（0,-1,0）,4（0,0,君），贝I

48=（1,0,-^）,AB=（l,1,0）.

由A4=AB，得用（LL

设平面阴。的法向量为弁=（x,%z）,CB；=（1,0,A/3）,DC=（0,1,0）,

n-CB.=x+=0

则—

n•DC=y=0

取Z=6,得为=卜3,0,后）.

IT

设直线与平面阴C所成角为，，0e0,-,

则sin0=cosAfi,n\

所以cos。=Jl-sirr2。=—,

2

即直线\B与平面AB,C所成角的余弦值为-.

17.(1)答案见解析

⑵“）.

答案第9页，共13页

【分析】（1）利用导数分类讨论函数的单调区间，可求极值;

（2）问题等价于=+x在区间［-1,"）内有解，令g（x）=j3+x（尤2-1）,利用导数

ee

求函数最小值即可得b的取值范围.

【详解】（1）r（x）=（«x-l+«）ev+1,令（⑺=0,得苫=丁.

当a＞0时，由/（无）＜。，得了＜与@，由尸（无）＞。，得主＞9，

故/（x）在区间（-电宁）内单调递减，在区间（9,内单调递增，

所以/（尤）在彳=上画处取得极小值，且极小值为上里］=3-无极大值；

当“＜0时，由尸（无）＞。，得尤〈匕由/（无）＜0,得x＞匕

aa

故了（无）在区间（-双宁）内单调递增，在区间内单调递减，

所以/（X）在x=U处取得极大值，且极大值为乂工£］=3-无极小值.

ayaJ

综上，当4＞0时，/（》）的极小值为3_41，无极大值；

当“＜0时，”X）的极大值为3—/，无极小值.

（2）。=1时，等价于+则人2/+尤在区间［-1,内））内有

ee

解.

令g（x）=g+x（x"l），则g，（x）.e"~：+2）,

ee

令h[x}=e'+i—(x+2),x2—1,贝J"(x)=ev+1-l在[-1,—)上单调递增，有h'(x)>K(-1)=0,

所以/z（x）在区间［T-）内单调递增，BP/I（X）＞/I（-1）=0,

所以g〈x）NO在区间［T”）内恒成立,

所以g（x）在区间［T-）内单调递增，即g（x）2g（-l）=l,即

故b的取值范围是［L+°°）.

393

此(1)(i)-；(ii)分布列见解析,E(X)=«

⑵;

答案第10页，共13页

【分析】(1)(i)利用二项分布求解概率即可.

(ii)利用离散型随机变量的求解方法求出分布列，再计算数学期望即可.

(2)依据题意得到具体的/(x),再利用导数求解最小值即可.

【详解】(1)(i)由题可得甲回答了4道题进入决赛的概率为f

甲回答了5道题进入决赛的概率为x-x-=-,

113

所以甲至多回答了5道题就进入决赛的概率为、+二=、.

16816

(ii)由题可知X的可能取值为4,5,6,7,

贝i」P(X=4)=2x(n=-,

P(X=5)=2xC：xX——X——=——,

2；224

15

尸(X=6)=2xC；xX—=——

216

5

P(X=7)=C；x

16

所以X的分布列为

841616

11s593

则E(X)=4x-+5x-+6x—+7x—.

84161616

(2)设乙答对第3道题的概率为y,则=

O

所以fM=x2y+x2(l-y)+C\x(l-x)y

=-2x2y+f+2xy=x2H---------,0<xv1,

4x4

3

1Qr_1

则小)=2>彳="

答案第11页，共13页

（2X-1）（4X2+2X+1）

=------------------,

4x2

所以当0<x<g时，f,（x）<0；当:<x<l时，r（x）>0,

所以/（无）在（o，；）上单调递减，在上单调递增，

〃、一

所以/。焉=/d匕）丁